《3.1.1椭圆及其标准方程》课件与同步练习

第三章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程（第一课时）如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆椭圆的画法课题引入注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：（1）必须在平面内;

（2）两个定点---两点间距离确定;(常记作2c)

（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.(常记作2a,

且2a>2c)

1.椭圆定义：

平面内与两个定点

的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

．若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a<F1F2轨迹是什么呢？轨迹是一条线段轨迹不存在学习新知思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）;两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）.由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．求动点轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P(M);(3)用坐标表示条件P(M),列出方程;(4)化方程为最简形式;(5)证明以化简后的方程为所求方程(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)坐标法复习基础♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy2.求椭圆的方程：原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；

(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)学习新知解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2的坐标分别是(

c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标学习新知两边除以得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，再平方学习新知

叫做椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程,其中学习新知如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢?(

a222)0ba1ybx2>>=+如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）如图所示,焦点则变成只要将方程中的调换，即可得也是椭圆的标准方程。总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：3.椭圆的标准方程:1oFyx2FM12yoFFMx学习新知

图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；

方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.

焦点在y轴的椭圆项分母较大.学习新知练习1.下列方程哪些表示椭圆？

若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?巩固练习

例题讲评

你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点.

例2：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。解：以两焦点所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy。则这个椭圆的标准方程为:根据题意:2a=3,2c=2.4,所以：b2=1.52-1.22=0.81因此，这个椭圆的方程为：F1F2xy0M待定系数法例题讲评练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；(1)a=,b=1,焦点在x轴上；(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；

(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.巩固练习练习3.已知椭圆的方程为：，请填空：(1)a=__，b=__，c=__，焦点坐标为__________，焦距等于__.(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=___.

变式：

若椭圆的方程为,试口答完成（1）.5436(-3,0)、(3,0)8巩固练习回顾小结求椭圆标准方程的方法一种方法：二类方程:三个意识：求美意识，求简意识，前瞻意识已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的台球盘，点A、B是它的两个焦点，焦距是2c，椭圆上的点到A、B的距离的和为2a，当静放在A的小球（半径不计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A时，求小球经过的路程。探索提升能力第三章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程（第二课时）焦点在y轴上,中心在原点:焦点在x轴上,中心在原点:椭圆的标准方程:(这两种坐标系下的方程形式,是最简的)12yoFFMx(1)(2)b2=a2—

c2cab12yoFFx其中F1(-c,0)，F2(c,0)其中F1(0,-c)，F2(0,c)M课题引入1oFyx2FM椭圆的定义图形标准方程焦点坐标a,b,c的关系焦点位置的判断F1(-c,0)，F2(c,0)F1(0,-c)，F2(0,c)

看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.12yoFFMx1oFyx2FMcabM知识概括

已知方程表示焦点在x轴

上的椭圆，则m的取值范围是

.(0,4)变1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是

.(1,2)变2:方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；③表示焦点在x轴上的椭圆。复习练习例1、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，求:的周长。yxoAB例题讲评4a=4例题讲评注:①这样设不失为一种方法.例题讲评例3、如图，在圆x2+y2=4上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.oxyPMD例题讲评分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M运动，我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程.

因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4①把x0=x,

y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4,即所以点M的轨迹是椭圆.例题讲评

解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),点B的坐标是(5,0),

点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.课本第109页练习第4题典型例题巩固练习

已知定圆x2+y2-6x-55=0，动圆M和已知圆内切且过点P(-3,0)，求圆心M的轨迹及其方程.解：已知圆化为：(x-3)2+y2=64,圆心Q(3,0),r=8，所以P在定圆内.设动圆圆心为M(x,y)，则|MP|为半径.又圆M和圆Q内切，|MQ|=8-|MP|,|MQ|+|MP|=8，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以2a=8,b2=7，故动圆圆心M的轨迹方程是：典型例题1.已知定圆O1:x2+y2-6x-55=0，定圆O1:x2+y2+6x+8=0，动圆M和已知圆一个内切，一个外切，求圆心M的轨迹及其方程。变式练习变式1：已知定圆O1:x2+y2-6x-55=0,定圆O1:x2+y2+6x－7=0,动圆M和已知圆一个内切,一个外切,求圆心M的轨迹及其方程.变式2：已知定圆O1:x2+y2-6x-55=0,定圆O1:x2+y2+6x+8=0,动圆M和已知圆都内切,求圆心M的轨迹及其方程.例5：已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点。（