《3.1椭圆》同步练习

《3.1椭圆》同步练习一、单选题1．椭圆的长轴长为（）A．1 B．2 C． D．42．方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A． B．C． D．3．椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A． B． C． D．4．已知是椭圆的两焦点,过点的直线交椭圆于点A、B,若,则(

)A．11 B．10 C．9 D．165．已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（）A． B．C． D．6．设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的点，，则的离心率为（）A． B． C． D．7．已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于（）A．1 B．3 C．6 D．1010．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为()A． B． C． D．二、多选题11．已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（）A．C的焦距为 B．C的离心率为C．圆D在C的内部 D．的最小值为12．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则（）A． B． C． D．13．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（）A． B． C． D．三、填空题14．焦点在轴，两准线间的距离为，焦距为的椭圆方程为________.15．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______；当时，椭圆的焦点坐标为______.16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.17．已知两定点和，动点在直线：上移动，椭圆以，，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为__________.四、解答题18．求下列椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，离心率，且经过点；（2）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的倍，并且过点.19．椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）（1）求椭圆标准方程．（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．20．已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．⑴求椭圆C的标准方程;⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度．21．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，点为上顶点，直线交椭圆于点.（1）若，，求点的坐标；（2）若，求椭圆的离心率.22．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．23．已知椭圆的焦距为，短轴长为.（1）求的方程；（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.答案解析一、单选题1．（椭圆的长轴长为（）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【解析】由可得，即所以长轴长为故选：D2．方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】方程表示椭圆的充要分条件是，解得：，，，所以，，是正确选项的真子集，对照四个选项，只有符合.故选：B.3．椭圆的一个焦点坐标为，则实数（）A． B． C． D．【答案】D【解析】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.4．已知是椭圆的两焦点,过点的直线交椭圆于点A、B,若,则(

)A．11 B．10 C．9 D．16【答案】A【解析】如图，由椭圆可得：，则又且则故选5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设椭圆标准方程为：.短轴长为，，解得：.离心率，又，，椭圆的标准方程为.故选：.6．设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的点，，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，∵，，∴，，又，∴，，∴的离心率为：.故选：D.7．已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足，即，，满足，即必要性成立，即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B.8．点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，又为圆的任意一条直径，则，在椭圆中，有，即，所以，，故的取值范围为.故选：B.9．已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于（）A．1 B．3 C．6 D．10【答案】C【解析】由椭圆方程可得,,𝑎-²=25，2a=10，由椭圆的定义可得点M到另一焦点的距离等于6，故选C.10．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为点在第一象限，所以，因为，所以，当时，满足，，所以，所以，所以直线的斜率为，当时，，不符合题意.综上所以直线的斜率为.故选：A二、多选题11．已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（）A．C的焦距为 B．C的离心率为C．圆D在C的内部 D．的最小值为【答案】BC【解析】依题意可得，则C的焦距为，.设，则，所以圆D在C的内部，且的最小值为.故选：BC.12．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得，（*），故A正确；，故B正确；（*）两式相加，可得，故C不正确；由（*）可得，两式相乘可得，，故D正确.故选：ABD13．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，解得，，由题意可得，解得，又，所以，，所以，该椭圆离心率的取值范围是.故符合条件的选项为BD.故选：BD.三、填空题14．焦点在轴，两准线间的距离为，焦距为的椭圆方程为________.【答案】【解析】设椭圆方程为，依题意，解得.所以椭圆方程为.故答案为：15．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______；当时，椭圆的焦点坐标为______.【答案】；.【解析】①根据椭圆的方程特征，方程表示椭圆，则解得：；②时，椭圆的方程，焦点在轴，其坐标分别为故答案为：①；②16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.【答案】【解析】由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则，故有，解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为.故答案为：.17．已知两定点和，动点在直线：上移动，椭圆以，，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为__________.【答案】【解析】由题意得，，所以，当取最小值时，椭圆的离心率有最大值，设点关于直线：的对称点为，则，解得，所以，则，所以，所以当时，椭圆的离心率最大，此时，故答案为：四、解答题18．求下列椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，离心率，且经过点；（2）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的倍，并且过点.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因为焦点在轴上，即设椭圆的标准方程为，∵椭圆经过点，.①，由已知，即.②，把②代入①，得，解得，∴椭圆的标准方程为.（2）若焦点在轴上，设方程为因为椭圆过点,所以，又，椭圆的标准方程为，若焦点在轴上，设方程为因为椭圆过点，,所以，又，∴椭圆的方程为综上，所求的椭圆方程是或19．椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）（1）求椭圆标准方程．（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．【答案】（1）椭圆的标准方程为：+=1，（2）椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e==．【解析】（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），则2a=+=2，即a=，又∵c=2，∴b2=a2﹣c2=6，故椭圆的标准方程为：+=1，（2）由（1）得：椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e==．20．已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．⑴求椭圆C的标准方程;⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度．【答案】（1）；（2）【解析】⑴由，长轴长为6得：所以∴椭圆方程为⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,∵直线AB的方程为②把②代入①得化简并整理得所以又21．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，点为上顶点，直线交椭圆于点.（1）若，，求点的坐标；（2）若，求椭圆的离心率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，，所以椭圆的方程为，直线，，所以或，所以点的坐标为.（2）设，则，因为点为上顶点，所以，因为，所以，所以.在三角形中，,在三角形中，,所以，即.22．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，得，即，∴a2＝4b2，依题意设椭圆方程为：，把点（4，1）代入得b2＝5，∴椭圆方程为；（2）因为直线交椭圆于不同的两点