江苏省连云港市灌南县二中2023-2024学年高一数学第二学期期末监测试题含解析

江苏省连云港市灌南县二中2023-2024学年高一数学第二学期期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线与直线平行，则实数A．0 B．1 C． D．2．在正方体中为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C． D．3．观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是（）①正方体②圆锥③正三棱柱④正四棱锥A．①② B．②④ C．①③ D．①④4．已知某路段最高限速60km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如图所示（单位：km/h），若从中任抽取2辆汽车，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A． B． C． D．5．等差数列中，若，则=()A．11 B．7 C．3 D．26．若，则一定有（）A． B． C． D．7．函数在的图像大致为A． B．C． D．8．矩形中，，若在该矩形内随机投一点，那么使得的面积不大于3的概率是（）A． B． C． D．9．若，则（）A． B． C．2 D．10．在正方体中，异面直线与所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知指数函数上的最大值与最小值之和为10，则=____________。12．若复数（为虚数单位），则的共轭复数________13．已知，且是第一象限角，则的值为__________.14．如图，在直四棱柱中，，，，分别为的中点，平面平面.给出以下几个说法：①；②直线与的夹角为；③与平面所成的角为；④平面内存在直线与平行.其中正确命题的序号是__________.15．若，，则__________．16．382与1337的最大公约数是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和同向.18．（1）从某厂生产的一批零件1000个中抽取20个进行研究，应采用什么抽样方法？（2）对（1）中的20个零件的直径进行测量，得到下列不完整的频率分布表：（单位：mm）分组频数频率268合计201①完成频率分布表；②画出其频率分布直方图.19．的内角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，且的面积为，求的值．20．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；(3)甲同学发现，其物理考试成绩(分)与班级平均分(分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据:，，，.参考公式：，，(计算时精确到).21．在等差数列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据两直线的平行关系，列出方程，即可求解实数的值，得到答案．【详解】由题意，当时，显然两条直线不平行，所以；由两条直线平行可得：，解得，当时，直线方程分别为：，，显然平行，符合题意；当时，直线方程分别为，，很显然两条直线重合，不合题意，舍去，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线平行的条件，准去计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2、B【解析】

取BC中点为M，连接OM，EM找出异面直线夹角为，在三角形中利用边角关系得到答案.【详解】取BC中点为M，连接OM，EM在正方体中为底面的中心，为的中点易知：异面直线与所成角为设正方体边长为2，在中：故答案选B【点睛】本题考查了立体几何里异面直线的夹角，通过平行找到对应的角是解题的关键.3、B【解析】

正方体的三个视图都相同，①不符合；圆锥的正视图和侧视图相同都是三角形，俯视图为圆，②符合；正三棱柱的俯视图是等边三角形，正视图和侧视图都是长方形，但是长不同宽相同，③不符合；正四棱锥的俯视图是正方形，正视图和侧视图都是相同的等腰三角形，④符合，故选B.4、A【解析】

求出基本事件的总数，以及满足题意的基本事件数目，即可求解概率.【详解】解：由题意任抽取2辆汽车，其速度分别为：，共15个基本事件，其中恰好有1辆汽车超速的有，，共8个基本事件，则恰好有1辆汽车超速的概率为：，故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，属于基本知识的考查.5、A【解析】

根据和已知条件即可得到．【详解】等差数列中，故选A．【点睛】本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题．6、C【解析】

由题,可得,且,即,整理后即可得到作出判断【详解】由题可得,则,因为,则,,则有,所以,即故选C【点睛】本题考查不等式的性质的应用,属于基础题7、C【解析】

由解析式研究函数的性质奇偶性、特殊函数值的正负，可选择正确的图象．【详解】易知函数（）是偶函数，图象关于轴对称，可排除BD，时，，可排除A．故选C．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是由解析式分析函数的性质，如单调性、奇偶性、函数的极值、最值、特殊值、函数的值的正负等等．8、C【解析】

先求出的点的轨迹（一条直线），然后由面积公式可知时点所在区域，计算其面积，利用几何概型概率公式计算概率．【详解】设到的距离为，，则，如图，设，则点在矩形内，，，∴所求概率为．故选C．【点睛】本题考查几何概型概率．解题关键是确定符合条件点所在区域及其面积．9、D【解析】

将转化为，结合二倍角的正切公式即可求出.【详解】故选D【点睛】本题主要考查了二倍角的正切公式，关键是将转化为，利用二倍角的正切公式求出，属于基础题.10、C【解析】

首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.【详解】连接．因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角．又,可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，故选：C【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据和时的单调性可确定最大值和最小值，进而构造方程求得结果.【详解】当时，在上单调递增，，解得：或（舍）当时，在上单调递减，，解得：（舍）或（舍）综上所述：故答案为：【点睛】本题考查利用函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据指数函数得单调性确定最值点.12、【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．13、；【解析】

利用两角和的公式把题设展开后求得的值，进而利用的范围判断的范围，利用同角三角函数的基本关系求得的值，最后利用诱导公式和对原式进行化简，把的值和题设条件代入求解即可.【详解】，，即，，两边同时平方得到：，解得，是第一象限角，，得，，即为第一或第四象限，，.故答案为：.【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记三角函数中的公式，属于中档题.14、①③.【解析】

利用线面平行的性质定理可判断①；利用平行线的性质可得直线与的夹角等于直线与所成的角，在中即可判断②；与平面所成的角即为与平面所成的角可判断③；根据直线与平面的位置关系可判断④；【详解】对于①，由，平面平面，则，又，所以，故①正确；对于②，连接，由，即直线与的夹角等于直线与所成的角，在中，，显然直线与的夹角不为，故②不正确；对于③，与平面所成的角即为与平面所成的角，根据三棱柱为直棱柱可知为与平面所成的角，在梯形中，，，，可解得与平面所成的角为，故③正确；对于④，由于与平面相交，故平面内不存在与平行的直线.故答案为：①③【点睛】本题是一道立体几何题目，考查了线面平行的性质定理，求线面角以及直线与平面之间的位置关系，属于中档题.15、【解析】

由等比数列前n项公式求出已知等式左边的和，再求解．【详解】易知不合题意，∴，若，则，不合题意，∴，，∴，，又，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，解题时需分类讨论，首先对的情形进行说明，然后按是否为1分类．16、191【解析】

利用辗转相除法，求382与1337的最大公约数.【详解】因为，，所以382与1337的最大公约数为191，故填：.【点睛】本题考查利用辗转相除法求两个正整数的最大公因数，属于容易题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）根据向量的运算可得，再根据平面向量共线基本定理即可证明三点共线；（2）根据平面向量共线基本定理，可设，由向量相等条件可得关于和的方程组，解方程组并由的条件确定实数的值.【详解】（1）证明：因为，，，所以.所以共线，又因为它们有公共点，所以三点共线.（2）因为与同向，所以存在实数，使，即.所以.因为是不共线的两个非零向量，所以解得或又因为，所以.【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，三点共线的向量证明方法应用，属于基础题.18、（1）系统抽样；（2）①分布表见解析；②直方图见解析.【解析】

（1）因需要研究的个体很多，且差异不明显，适宜用系统抽样.（2）①直接计算频率即可.②根据①中计算出的数据，用每一组的频率/组距作为纵坐标，即可做出频率分布直方图.【详解】某厂生产的一批零件1000个,差异不明显,且因需要研究的个体很多.

所以适宜用系统抽样.（2）①频率分布表为分组频数频率20.160.380.440.2合计201②频率分布直方图为.分组频数频率频率/组距20.10.0260.30.0680.40.0840.20.04合计201【点睛】本题考查频率分布表和根据频率分布表绘制频率分布直方图，属于基础题.19、（1）（2）【解析】

（1）对等式，运用正弦定理实现边角转化，再利用同角三角函数关系中的商关系，可求出角的正切值，最后根据角的取值范围，求出角；（2）由三角形面积公式，可以求出的值，最后利用余弦定理，求出的值．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴在中；（2）∵的面积为，∴，∴，由余弦定理，有，∴．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.20、（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】

(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算和，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案.【详解】(1)记物理、历史分别为，思想政治、地理、化学、生物分别为，由题意可知考生选择的情形有，，，，，，，，，，，，共12种他选到物理、地理两门功课的满情形有，共3种甲同学选到物理、地理两门功课的概率为(2)物理成绩的平均分为历史成绩的平均分为由茎叶图可知物理成绩的方差历史成绩的方差故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可)(3)，,关于的回归方程为当时，,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.21、（1）bn=3n－1；（2）Sn=(n－1)·3n+1【解析】

(1)由a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项得，a22=a1·a5⇒(a1+d)2=a1·(a1+4d)··⇒a12+2a1d+d2=a12+4a1d⇒d2=2a1d，又d≠0，所以d=2