2024年1月“九省联考”模拟卷数学试题（附答案解析）

2024年1月“九省联考”卷数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360,284,290,300,188,

240,260,288,则这组数据的百分位数为75的快递个数为（）

A.290B.295C.300D.330

2.已知数列｛4｝是无穷项等比数列，公比为q,贝广31”是“数歹U｛%｝单调递增''的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

22

3.已知圆（?:炉+产-10>+21=0与双曲线>/=1（。>0/>0）的渐近线相切，则该双

曲线的离心率是

A.-y2B.-C.—D.^/5

32

4.已知加，〃是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若“〃/〃，且〃ua,则B.若〃z_L〃，且“ua,则〃

C.若且7〃//4,则a//尸D.若〃且根_L£,则a//月

5.冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠

久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.

某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用

30°,45°,60°,90。，120。，150。等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中

的美学要求.该同学取端点绘制了（如图乙），测得A8=3,3D=4,AC=AD=2,

若点C恰好在边8。上，请帮忙计算sin/ACD的值（）

11

D.

16

6.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行.秉

持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划

聚焦简约、规模适度.在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒

完成.若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生,

则不同的传递方案种数为（）

A.18B.24C.36D.48

7.已知。是三角形的一个内角，满足cos6-sine=-'^,则(sin8+cos6)cos2e

-----------------=()

5sin。

292D.2

A.—B.-----C.一

510510

22

8.已知椭圆C：予+方=1（。>6>0）的焦点分别为月，月，点A在C上，点B在y轴

2

上，且满足然，期，AF2=-F2Bf则。的离心率为（)

A.|B.立C.正D.好

2235

二、多选题

9.已知复数Z=l-3i,z=(2-i)2,23=”她，则(

2)

1+1

A.Z1+z2=4+7iB.4/2,Z3的实部依次成等比数列

C.而㈤=2七|D.4*2/3的虚部依次成等差数列

10.已知函数〃x）=Asin（s+0）（A>O,0>O,|d<|J的部分图象如图所示.则（）

B.在区间—,2TI上单调递增

C.函数/'（力的图象向右平移器个单位长度可以得到函数g（x）=2sin2x的图象

D.将函数/（元）的图象所有点的横坐标缩小为原来的：，得到函数

TT

h（x）=2sin（4x+—）的图象

6

11.定义在R上的函数满足+?-6=6-/弓-尤），且〃x）=/（1-尤）.若

尸（x）=g（x）,则下列说法正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.27r为/'(x)的一个周期

B.g(x)-g皆-x)=。

C若/(x)皿+小心=2,则，=1

D./(x)在号)上单调递增

三、填空题

12.若集合人=卜,2-2尤-24WO},8=卜帆2<x<7〃2+2},ACB=0,则病的最小

值为.

3兀

13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为号，侧面积分别为际和

S乙,体积分别为％和％.若9=2,则}=________.

J乙%

____23

14.已知实数。，"满足4"+2a=3,log2、3b+l+6=),贝普+不匕二.

四、解答题

15.已知函数/(>:)=三炉一3/一9元

⑴当°=3时，求〃尤)在区间［0,4］上的最值；

(2)若直线/：12x+y-l=0是曲线y=/(x)的一条切线，求”的值.

16.“村54”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体

育赛事一一榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民

族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.

某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性

别有关，随机抽取了男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生20

女生15

合计100

2

2_n(ad-bc)

,"(a+Z?)(c+d)(a+c)9+d)•

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计,

这两名男生进球的概率均为1,这名女生进球的概率为:，每人射门一次，假设各人进

球相互独立，求3人进球总次数X的分布列和数学期望.

(2)求AS与平面上4£＞所成角的正弦值.

18.已知抛物线d=4y,Q为抛物线外一点，过点。作抛物线的两条切线，切点分别为

A,B(A8在y轴两侧)，QA与分别交X轴于

⑴若点。在直线产-2上，证明直线A3过定点，并求出该定点；

(2)若点。在曲线*=_2y-2上，求四边形的面积的范围.

19.已知有穷数列A：卬a2,,%523)中的每一项都是不大于〃的正整数.对于满足

的整数机，令集合A(M={44=帆，k=l,2,­,"}.记集合4根)中元素的个

数为s(")(约定空集的元素个数为0).

(1)若46,3,2,5,3,7,5,5,求45)及s(5)；

⑵若卷+£}++£]="'求证："，％，，为互不相同；

⑶已知4=〃，。2=万，若对任意的正整数Z；i，+，0)都有，+或，.+jwA(%),

求为+%++%的值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.

【详解】将数据从小到大排序为：188,240,260,284,288,290,300,360,

8x75%=6,所以75%分位数为29070°=295.

故选：B

2.D

【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要

条件得解.

【详解】若可<。，q>i,则数列｛4｝单调递减，故4>1不能推出数列｛4｝单调递增；

若｛%｝单调递增，则4>。，q>l,或4<。，。<“<1,不能推出4>1,

所以是"数列｛4｝单调递增”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

3.C

【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程笈-缈=。，再由圆C,求得圆心为C(0,5),

c5

半径/-2,利用直线与圆相切，即可求得上=9,得到答案.

a2

22〃

【详解】由双曲线宁-方可得其一条渐近线的方程为y=,%,即云--=。，

又由圆C：/+,2_]0,+21=0,可得圆心为。(0,5),半径r=2,

,I—5司5〃5〃c5

则圆心到直线的距离为4=」2=一，则吆=2,可得e=£=],

y]b2+(-a)2cca2

故选C.

【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考

查了推理与运算能力，属于基础题.

4.D

【分析】构建正方体，利用其特征结合空间中直线与平面的位置关系一一判定选项即可.

答案第1页，共14页

如图所示正方体，

对于A,若相，力，夕对应直线AB,CD与平面ABCD,显然符合条件，但机ua,故A错误；

对于B,若〃?，“，夕对应直线AB,CB与平面A3CD,显然符合条件，但mua,故B错误；

对于C,若m,a,/3对应直线AB与平面HGCD,平面HGFE,显然符合条件，但尸ca="G,

故C错误；

对于D,若〃z_L0,且相J_?，又a,P是两个不同的平面，则&//6，故D正确.

故选：D

5.C

【分析】先根据三条边求出cosNADB,利用平方关系得到sinZADB,即可根据等腰三角形

求解.

【详解】由题意，在△ABD中，由余弦定理可得，cosZADB==t+~9=~,

2ADBD2x2x416

因为NAD2e（0,兀），所以sinZADB=4-cos?NADB=/（挣=吟,

在.ACD中，由46=4£）=2得5m448=5布44£）8="5,

16

故选：C

6.B

【分析】分第一棒为丙、第一棒为甲或乙两种情况讨论，分别计算可得.

【详解】当第一棒为丙时，排列方案有C；团=12种；

当第一棒为甲或乙时，排列方案有A；A；=12种；

故不同的传递方案有12+12=24种.

故选：B

7.B

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式sin,0+cos2〃=l,可求tan。的值，进而利用三

角函数恒等变换的应用化简，即可计算得解.

答案第2页，共14页

【详解】因为cosO-sinO=-@,两边平方得l-2sin0cos6=3,

55

49

即2sin6cos。=《，可得(sin8+cos夕『=♦1+<2sin^cos0=—

4

因为6是三角形的一个内角，且2sin9cos9=M,所以sin®>0,cos8>0,

所以sing+cos<9>0,得sin。+cos。=---，

5

又因为cos。-sin。=一避^，sin0+cos0=，

55

联立解得：sin0=,cos6=^^,故有：tan0=2,

55

从而有(sine+cos6)cos2e_sinJ+cos。cos2^-sin2^_tan^+11-tan2^_9

sin。sin。cos2^+sin2^tan。1+tan2^10

故选：B.

8.D

【分析】设A（x。,%）,先根据班;，A月88得x0=gc,^=yc2,代入椭圆方

程可得25e4-50e2+9=0,进而解方程可得e=好.

5

鸟（G0）,其中°2=片一/,

设A(尤0,%),3(0,y),则然=(£?-%,-%),F2B=(-c,y)

22

A居=(-c—尤0，-%),期=(-),存+普=1,

ab

233(333、

因A&=不丹8，得月台;不人入:不小一天厂为卜下一不毛厂不为，

D乙乙\乙乙乙J

’33[5

~c=^c~^xoxo=TC

故3得3，

y=-2y°y=~2y°

由AK，%得A/3月=(―c—5)(—c)+(―%)(—y)=0,

得c2+c%+y%=0即c2+1c2-：y；=0,得y：

329

答案第3页，共14页

由*和，得£1+工I，—,e

c

a

ab

化简得25/-50/+9=0,又椭圆离心率ee(0,1),

所以心，得

故选：D

9.ABC

【分析】由题意由复数乘除法分别将Z2/3化简，再由复数加法、共轨复数的概念即可判断

A；复数的实部、虚部以及等差数列、等比数列的概念即可判断BD,由复数模的运算即可

判断C.

,、28+10i(8+10i)(l-i)

【详解】因为Z2=2-i)-=3—4i,=.J；./=9+i,所以z+z2=4-7i,

所以Z+z2=4+7i,故A正确；

因为z-z2,Z3的实部分别为1,3,9,所以4，z2,Z3的实部依次成等比数列，故B正

确；

因为4,z2,Z3的虚部分别为-3,-4,1,所以4,z2,Z3的虚部依次不成等差数列，故

D错误；

回团=亚＞＜，5肉=2闫=2乂5=10,故C正确.

故选：ABC.

10.ABD

【分析】由题意首先求出函数/(x)的表达式，对于A,直接代入检验即可；对于B,由复

合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD,直接由三角函数的平移、伸缩变换法

则进行运算即可.

T5冗Jr12冗

【详解】由图象可知4=2,---,解得T=7i,0=2,

41264ty

又=所以2sin[]+夕]=2,即方+9=0+2析,左eZ,结合[同＜],可知左=0,夕=看，

所以函数“X)的表达式为〃x)=2sin(2x+",

答案第4页，共14页

对于A,由于小曰=2$也］/皆=0,即〃x)的图象关于［4,o］中心对称，故A正

确；

Sjr冗77r2s冗77rQjr

对于B,当xe—,2K时，r=2x+ze—c—,由复合函数单调性可知f(x)

3Jo|_2oj|_22_

5K

在区间彳，2兀上单调递增，故B正确；

对于C,函数的图象向右平移:个单位长度可以得到函数

g(x)=2sin2(无一胃+聿=2sin^2x-^,故C错误；

对于D,将函数Ax)的图象所有点的横坐标缩小为原来的《1，得到函数//(x)=2sin(4x+：7T)的

图象，故D正确.

故选：ABD.

11.ABC

【分析】选项A,只需将x进行替换，得至IJ/(x)=26-/(工一兀)，进一步得出/(X+2TI)=/(X)；

TT7T

选项B,将等式+-6=-尤)两侧对应函数分别求导即可；

选项C,满足/(尤+；)-6=6-/(三7),得出“X)图象关于点弓⑼中心对称，

函数了(力的最大值和最小值点也关于该点对称，求值即可；

选项D,已知条件中函数/'(*)没有单调性，无法做出判断.

TT7T

【详解】对于选项A,由/(x+§)-6=6-/(§-x),

将x替换成X-；,得〃x)=26-

57r

因为/(x)=/(y-x)，

57r2元

由上面两个式子，f(--x)=2b-f(--X)；

将X替换成5与元-x,f(x)=2b-f(x-n),所以〃尤+兀)=2。-/(元)；

所以/(x+2TT)=2b-f(x+n)=2.b-(2b-/(%))=/(%),

所以2兀为了(尤)的一个周期，所以A正确；

IT7T

对于选项B,将等式〃尤+§)-6=6--x)两侧对应函数分别求导，

答案第5页，共14页

TTjr/jr

得「（无+耳）=（（3-幻，即g（x）=g（"y-X）成立，所以B正确；

对于C选项，满足了。+至-6=6-吗-x）,即函数图象关于点（V）中心对称，

函数/（X）的最大值和最小值点定存在关于点弓力）中心对称的对应关系，

所以,（x）max+/（x）min='故。=1,C正确；

2

对于选项D,己知条件中函数7（X）没有单调性，无法判断了（力在弓,勤）上单调递增，所

以D不正确；

故选：ABC.

12.6

【分析】先求出集合A={X|TVX46},然后由ACB=0,从而求解.

【详解】由丁一2天一24<0,解得所以A={x|-44x46},

因为AcB=0,m2>0>所以

所以机2的最小值为6.

故答案为：6.

13.迷/法

55

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为。乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积

公式可得q=2勺再结合圆心角之和可将？々分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆

锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为总乙圆锥底面圆半径为弓,

则乎=胃」=2,

所以弓=2弓,

3乙兀丫2

又手+学=1,则—=所以八=g，4=；，

所以甲圆锥的高九=j/2-；/2=#八

乙圆锥的高〃2=j/2-=/2=孚/

所以

答案第6页，共14页

故答案为：迤.

5

14.1

【分析】由log?师讦+6=：可变形为2晦”叫+bg2（36+l）=3,故考虑构造函数

f{x）=T+x,判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求6.

____o

【详解】因为1幅师力+6=；化简得1咆（36+1）+（3。+1）=3.

所以2幅酬+1）+iog2（3Z?+l）=3,又4"+2a=2?"+2a=3,

构造函数〃x）=2'+x,

因为函数y=2",，=龙在（-oo,+oo）上都为增函数，

所以函数/（X）在（-«）,—）上为单调递增函数，

由/⑴=3,/.2a=log,（3Z>+1）=1,

解得°=g，匕=:,

**•ClH---Z?=1.

2

故答案为：L

15.（l）/（x）mn=-27,/^）_=0

（2）a=3

【分析】（1）求导后，根据广（X）正负可确定〃X）在［0,4］上的单调性，由单调性可确定最

值点并求得最值；

（2）设切点为卜。微x；-3x；-9xJ,结合切线斜率可构造方程组求得/和0的值.

【详解】（1）当〃=3时，/（^）=X3-3X2-9X,贝U/'（x）=3d—6X—9=3（X—3）（X+1）,

.•.当xe［0,3）时，r（x）<0；当xe（3,4］时，/^）>0；

\〃x）在［0,3）上单调递减，在（3,4］上单调递增，

。（比小了⑶-27,/Wniax=max{/（0）,/（4））,

答案第7页，共14页

又〃0)=0，/(4)=64-48-36=-20,"(x)1mx=0.

（2）由题意知：/'（犬）=办2一6%-9,

设直线/与“X）相切于点底皆只-3年-

—6XQ-9=-12

则:a?八，消去。得：XQ-2x+1=0,解得：/o=l，

x30

-o-3%o-9x0=l-12x0

贝!Ja—6—9=—12,解得：a=3.

16.（1）有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关

⑵分布列见解析，E（X）==

6

【分析】（1）根据男女生各50名及表中数据即可填写2x2列联表，然后根据计算

=100x(30x35-15x20)2从而求解

z2

50x50x45x55

（2）根据题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,列出分布列，计算出期望从而求解.

【详解】（1）依题意，2x2列联表如下：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生302050

女生153550

合计4555100

零假设区）：该中学学生喜欢足球与性别无关,

2

Z的观测值为/=100x(30x35-15x20)2=100^9091,

50x50x45x5511

9.091>7.879=%。。5,根据小概率值1=。.005的独立性检验，推断名不成立,

所以有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.

（2）依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,

2

(x=o)=h-|15

P=Q(x=i)=c；X—=

亭-218

答案第8页，共14页

2

28412

尸(X=2)=C；x—x—=—

318929

所以X的分布列为:

X0123

1542

P

181899

4211

数学期E(X)=0X，1XR+2x-+3x-=

99

17.(1)证明见解析

⑵*

【分析】(1)利用正四棱锥与正四面体的性质得到多面体PS-ABCD的棱长全相等，从而

利用线面垂直的判定定理证得P,E,£S四点共面，再利用线面平行的判定定理即可得解；

(2)依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角，从而得解.

【详解】(1)分别取相＞,8C,PS的中点E,EG,连接PE,PF,GF,SF,EF,

由题意可知多面体PS-ABCD的棱长全相等，且四边形ABCD为正方形，

所以EF_LBC,PF±BC,SFLBC,

因为EFcPF=F,石尸,PFu平面PEF,

所以3C/平面PEF,同理平面PFS.

又平面尸即平面尸检=尸尸，所以P,E,£S四点共面.

^囱^EF=AB=PS,PE=PF=SF,所以四边形PEFS为平行四边形，

所以PS//EF,又EFu平面ABCZZPSg平面A3CD,

所以尸S//平面ABCD

(2)以尸为原点，以庄,所在直线分别为％y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设AB=1,

答案第9页，共14页

2J

所以EP=-，0,4，胡=[o,；,O),AS=3叵

29~2,~2

一L+竺=。

EP•—0

设平面PAD的一个法向量为n=(%y,z)，则|'即《22

EA•n=0

—y=0

12)

令z=l,则x=0,y=O,所以〃=(夜,0,1).

设AS与平面PAD所成角为6,

3=上但——3

则l«|-|AS|69113，

xJ—।-----1—

V442

即AS与平面24。所成角的正弦值为交

3

18.（1）证明见解析，定点（0,2）

(2)[3,+oo)

【分析】（1）设出直线A3的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合48

处的切线方程求得直线AB所过定点.

（2）先求得四边形的面积的表达式，然后利用导数求得面积的取值范围.

【详解】（1）设4（%,%）,5（%2，%），。（%0，%），直线九：丁=履+8

联立<“4’，可得Y一4Ax-4m=0,A=164之+16根.

y=kx+m

A,3在在轴两侧,x{x2<0,/.m>0,.\A>0,

答案第10页，共14页

%+%=4k,xrx2=-4m,

由得y=*,y，f,

所以A点处的切线方程为y-%尤；=1■尤］（无一无J,

整理得y=芳-?，

同理可求得B点处的切线方程为y=学-

尤1+%5

5==2k

可得

%=4=f

又一.2在直线>=-2上,.-.-m=-2,/.m=2.

・•・直线AB过定点（0,2）.

（2）由（1）可得。（2匕一加），。在曲线f=一2、一2上,

4k°=2m-2,:.m>l.

由（1）可知SMN2=gm」12」

q（2机）|玉—卜

QB2k+2x2|=2+m||x1—x2\,

2

=；（4左2+3机）也一司=；（4左之+3瓶）.Ja+%2『一4须入2

一S四边形AAW5=§QAB~S.MNQ

=；（4公+3m）-J（4左J—4（-4旬二^-（2m-2+3m）•V8m-8+16m

二:（5m-2）•N6ni-2=gyj（5m-2）2（6m-2）,

令/（%）=（5%-2）2（6%-2）（%之1）,—（%）=2（5元一2）（45兄一16）＞0,「"（%）在［1,收）单调递增,

答