2023年天津市河北区高三二模数学试题 答案解析(附后)

天津市河北区2023届高三二模数学试题

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设全集U={0,1.2.3.4.5},集合」={E€N|H<3},B={0,3,4.5},则(Cr/)(JB=()

A.{1.5}B.{0.1.5}C.{3.1.5}D.{().3.1.5}

2.若则是的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知圆锥的顶点和底面圆周均在球。的球面上，若该圆锥的底面半径为，高为6,则球。的表面积

为()

A.327TB.18万C.617rD.8()7?

4.函数/(工)=1+加|工|的图象大致为()

[50,60),[60.70),[70,80).[80*90).[90.1001分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确

第1页，共18页

的是（）

A.图中的X值为0.020B.得分在［80,100］的人数为400

C.这组数据的极差为50D,这组数据的平均数的估计值为77

6.已知双曲线一匕=is〉（）》>（））的右焦点为F,以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一

a2fc2

条渐近线交于A,B两点.若04=23月（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.巫B.小C.x11D.、7

3333

且在［0,+8）上单调递增，若。=/（1咤0+），b=/（log^j-^）,

7.设/"）是定义域为R的偶函数，

<,/（-3则a,b,c的大小关系为

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

8.将函数V=、in?r的图象向右平移，个单位长度，得到函数〃—/"）的图象，则下列说法正确的是（）

A.若,=：,则/"）是奇函数

4

B.若/=彳，则/"）在区间上单调递减

C.若P=则/（『）的图象关于点（20）对称

D.若9则在区间01上单调递增

9.在AABC中，角B,C的边长分别为b,c,点。为AABC的外心,若廿+产=2八则前.而的取值

范围是（）

A.——,0^B.（（）,2）C.—1+oo）D.——,2^

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共3。分。

10./是虚数单位，则复数二.

11.（小一%）'的展开式中含/项的系数为.

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12.抛物线r=2p.r(p>0)的准线截圆M+/一2〃-8二()所得弦长为4,则抛物线的焦点坐标为

13.设X,//€/?,G>1,b>1,若鹏=那=3,a4-b=25/3»则二+一的最大值为__________，

£y

|log3x|,0<x<3

14.已知函数/(/)=<sin（二r）.3W工415若存在实数门…小心”>满足h<I2<<力，且

/(11)=/(12)=/(J,3)=/(•»•!),则，1及一，(工3-3)(X4-3)的取值范围是.

15.在5道题中有3道代数题和2道几何题，不放回地依次抽取2道题，则第1次和第2次都抽到代数题

的概率为；在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.

三、解答题：本题共5小题，共6。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

B+C

在△.13。中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知csin—«sinC.

i1：求角A的大小；

(2)若b—2,sin3彦，求边C及疝1(23+用的值.

7

17.本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC—481G中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA=A4=3,D,E

分别为BC,上的点，且俏温t(0<f<1).

(1)若》=；,求证：4D〃平面ABE；

?若f=g,求直线与平面为/?£所成角的正弦值；

(3)若平面.4G。与平面AC。的夹角为求实数t的值.

•J

18.本小题12分।

已知数列｛%｝的前。项和为S”，满足：也=%+i(nwN*)

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（1）求证：数列m,j为等差数列；

（2）若㈣=5,令公=一,数列W，」的前。项和为7：,若不等式45（7%+1-霸）石》»2-防1对任意!»・

恒成立，求实数m的取值范围.

19.（本小题12分）

22

设椭圆C：/+£=1（"〉匕〉0）的左、右顶点分别为A,B,上顶点为。，点P是椭圆C上异于顶点的

动点，已知椭圆的离心率,=©,短轴长为

2

Ui求椭圆C的方程；

⑵若直线A。与直线BP交于点M,直线。P与x轴交于点N,求证：直线MN恒过某定点，并求出该定

点.

2。（本小题12分）

已知函数/（r）=jhi"-”ln.r+（1-，其中e是自然对数的底数.

□I当〃一I时，求曲线，//1」在点1/11卜处的切线方程；

⑵当a=c时,求函数/"）的单调区间；

（3）求证：函数f（x）存在极值点，并求极值点3的最小值.

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答案和解析

1.【答案】。

【解析】【分析】

本题考查并集、补集的运算，属于基础题.

利用集合间的基本运算，即可得到答案；

【解答】

解：因为u={0,1.2.3.1.5},B={0.3,4,5},

4={r6AT|T<3}={0,1,2},所以C『A={3.15},

所以（C（.4）UB{0,3.15}.

故选：/）.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要是考查了充分、必要条件的判定，属于基础题.

根据充分、必要条件的判断即可得解.

【解答】

解：若,令“2」,1,满足ac=",但<i/1>；

若“=〃，则ac=IH-一定成立，

所以""C=IK-是""―/，"的必要不充分条件.

故选：B.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查球的体积和表面积，属于基础题.

根据圆锥的几何特征求出球的半径，则球的表面积可求.

【解答】

解：设球的半径为R,

「圆锥的高底面圆的半径r=2，5,

12

R=[h-R）+/，即加=（6一H）2+12,

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解得：7?=4,

故该球的表面积S-—4亓x42-647r.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查函数图象的识别，函数的单调性，属于基础题.

当I-0时，函数/(J)=L+hi(f),由函数的单调性，排除('.D；当r〉()时，函数-+hi.r,

XX

代入特殊值验证，排除.1

【解答】

解：当/<()时，函数f[.r)=-+ln(-.r),

X

由函数“=：.//=lu(-在(-8,0)上递减，

可得/(.r)=-+ln(-r)在(-X.O)上递减，排除C.D；

X

当r>()时，函数/")=1+In.r,此时/(1)=：+hi1=1,

j-1

而选项A中在。时的最小值为2,故可排除入，只有B正确，

故选

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了通过频率分布直方图求频率、频数、平均数等，属于基础题.

根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1,频数以及平均数等的计算，对每个选项进行逐一分析，

即可判断和选择.

【解答】

解：对于4由(0.005+工+0.035+0.030+0.010)x10=1,可解得r=0.020,故选项A正确；

对于8,得分在80分及以上的人数的频率为(0.030+0.010)x10=0.1,

故人数为1000x0.4=400,故选项B正确；

对于C,频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项C不正确；

对于D,这组数据的平均数的估计值为：55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77,故

选项D正确.

故选：('.

6.【答案】A

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【解析】【分析】

本题考查了双曲线标准方程的理解与应用，双曲线几何性质的应用，点到直线距离公式的运用，离心率定

义的应用，属于中档题.

设双曲线的一条渐近线方程为"—H为AB的中点，可得由市=2加，可知H为。A

a

的四等分点，用两种方式表示QH|,可得关于a,b,c的方程组，结合〃=©2—。2,即可求出双曲线的

离心率.

【解答】

解：设双曲线的一条渐近线方程为!/="r,H为48的中点，可得厂〃1八/3,

a

所以归〃I=，口—乒,

又61=20B，

所以\OH\=3\BH\=3，。2—夕,

因为O”|=y/\OF\2-\HF\2=x/c2-^，

则3,—月=^/c2—b2,

整理可得9“2-d=8/，

即9a2—c2=8c2-8a2,

则17/=9/，可得f2=《=g,

a£9

故€=手，

3

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所以双曲线C的离心率为匕.

3

故选：.4.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了函数的奇偶性与单调性在比较大小中的应用，属于基础题.

先利用偶函数的定义将a,b,c转化，再利用函数的单调性比较大小即可.

【解答】

解：因为logg宏=一地廷通，且函数/(工)为偶函数，

-

所以“=/(logg±)=/(瓯殳俏)，b=/(log^-^)=/(log^v^),c=/(35).

易知0<3T<；<:=<log^y/2<1<log^y/3,

且函数〃工)在[0,+8)单调递增，所以a>b>c.

故选”

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查正弦型函数的性质与平移变换、余弦型函数的奇偶性、利用诱导公式化简，属于中档题.

由函数平移得〃r)=sin(2工一2/)，讨论9=：9，结合正余弦函数的性质判断奇偶、对称性以

及他：上的单调性，即可得答案.

【解答】

解：将函数！/=sin2z的图象向右平移<个单位长度，得到函/(.r)=sin(21一20,

当F=彳时，/(I)=sin(2T-J)=-cos2r为偶函数，

在时，有2re[0.同，/")单调递增，故A,B错误；

当「=3时，”])=sE(2r-TT)=-sin2r,

此时，/(^)=-sin7r=0,即的图象关于点60)对称，

在.re[。，2时，有2r€[0,句，/(./)不单调，故C正确，D错误.

故选：(,.

9.【答案】D

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【解析】【分析】

本题考查了向量的加减与数乘混合运算，考查了向量的数量积的应用，属于中档题.

根据已知得出b的范围，再求出记.而关于b的关系式，进而得到取值范围.

【解答】

解：取BC的中点D,则即前•反;丁()，

因为*=幼一廿>0,则乂6-2)<0,即()<b<2,

所以〃•而=配•(力+加)=初•初=(而一幅)](而+荏)

=：(而~~血2)=|(i>2-C2)=-(26-62)]=/-/>=(〃_；)_；,

所以一:《灰"而<2,

4

则就.而的取值范围为一2)

故选：D.

10.【答案】：+.

【解析】【分析】

本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题.

根据复数代数形式的除法运算法则计算可得;

【解答】

皿3+4z(3+4z)(l-«)3-3/'+Ai-4i271.

所・1+i(14-i)(l-i)222

故答案为：22*,

%

11.【答案】

8

【解析】【分析】

本题考查指定项系数，属于基础题.

在二项展开式的通项公式中，令x的寨指数等于5,求出r的值，即可求得展开式中含/项的系数.

【解答】

解：•••(6，)的展开式中，通项公式为O+I=G(㈤'

令'9=5,求得，•=：，，可得展开式中含项的系数cl

故答案为：一~—■

O

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12.【答案】（后,0）

【解析】【分析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系，是基础题.

p

先写出准线方程，整理得圆的标准方程，从而得到圆心和半径，再利用弦长得到关于p的关系式，求出

,即得焦点坐标.

【解答】

解：抛物线炉一>0）的准线为：-r=,

圆M+/-Zg-guO,即M+（u-1产=9,圆心是（0,1）,半径是r=3,

故圆心到准线的距离为d=\,而弦长为4,故（1）2+22=r2=9,

解得什通，故抛物线的焦点停0）,即（《（））.

故答案为：（述.（））.

13.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查了指对互化，对数函数的单调性及基本不等式在求最值中的应用，同时考查了转化思想的应用，

属于中档题.

根据指对互化公式得到/】<g3,II-1<>«63,-+-=+=bg3a+bg;jb=bg3（M）,结

合基本不等式可得到最值.

【解答】

解：因为“〉I,I）.-1,aJ—bu=3,G+fe—2\/3,

所以/=kg3,!/log//1

1111

_+_=----+-----

Xy10gH3logfc3

2

=log3a+log3t>=log..）（ab）&=log3（^^）=1,

当且仅当a=b=\/5时，等号成立.

故答案为I-

14.【答案】1；（0,27）

【解析】【分析】

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本题考查分段函数的应用，对数函数的图象性质以及三角函数的对称性，进行转化是解决本题的关键，属

于中档题.

作出函数/Ir)的图象，结合图象可知・〃♦/人•口一门之间的关系，利用此关系直接求出,再将

(心-3乂口-3)转化为关于八：的二次函数求范围即可.

【解答】

|logx|,0<x<3

73r

解：作出函数/")—《.(\Q「一r的图象，如图，

Nini尸).34,rW15

因为/(・门)=/(・门)=/"：，)=/(,门)，<力<

所以由图可知，-log3r1=log：',即1"'2=I,=9,且3<丁3<6,

(.T3-3)(T4-3)=-3(13+l4)+9=^3(18—13)—45=一工3?+1813—45,

「”-.r：，l、r,厂,在：小，上单调递增，

0<y<27,

即(X3-3)(X4-3)的取值范围是(0,27).

故答案为：1；(0,27)

15.【答案】；-；

1

；2

【解析】【分析】

本题考查古典概型、条件概率，属于中档题.

用.1,(/=1.2)表示第/次抽到代数题，用B表示第2次抽到几何题，利用排列数和古典概型概率公式即

可求解第1次和第2次都抽到代数题的概率；先计算尸(4。，P(48),结合条件概率的计算公式，即

可求解在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

【解答】

解：用.4,(/=1.2)表示第/次抽到代数题，用B表示第2次抽到几何题，

A'23X23

所以第1次和第2次都抽到代数题的概率口44)=字=1i=寿，

Ar,5x11()

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因为P（A）=3口3孽寻〉

所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:

3

P"）二元J

P(B\Ai)=

尸（小）-y_2

5

QI

故答案为：］什；9.

16.【答案】解：（1）根据正弦定理,

B+CB+C

由csill1，-m可得sinfrsin=sinAsinC

22

即sin。sin三六—=sinA>in(',即sincos—=2sin\«>s'>in('

2222

4TT,4

因为0<C<JT,O<A<7T,所以sinC>0,0<-<-,cos->0.

所以sin^=1,即］=

a2

（2）由正弦定理=7==高，可得g旧，解得“=«,

sinAsmB——

根据余弦定理可得a2=y+M—26ccosA,

即7=4+/—左，c2-2c-3=0,解得c=3或，•—―1(舍去।

故c=3.

因为/,《〃，所以“<4=Q,所以cosB=\/l—sin2B=

所以sin2〃2sinBcosB=2x-

777

cos2/?=1-2sin28=1—2x

所以sin(2/6+4)=sin2/?cos.1jcos2/?sin4=■

【解析】本题考查了正弦定理，三角恒等变换以及余弦定理等知识的综合应用，考查了计算能力和转化思

想，属于中档题.

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n-L-CAAA

(1)根据正弦定理化简为sinC'in---=sin.Uinf',从而可得sin])=2：)co.sin「，结合

角的范围可得sm4=i,从而可求得4=1；

22J

(2)由正弦定理求得“二v斤，再根据余弦定理可求得r-=3,由sin130求得cos。,进而求得

7

siii2B,cos2B，再结合两角和的正弦可得sin(2B卜A).

17.【答案】解：(I)如图,

C,

1BDCE1

当f=，)时，赤岛tT5，即点。，分别为BUBIG的中点，

在直三棱柱ABC-AxBiCi中，AAX//BB^AAX=BBX,

所以四边形HBXAXA为平行四边形，

连接DE,则DE"BB\.DE二BB[,

所以DE//AAi.DE=AAi,

所以四边形I)EAiA是平行四边形，

所以AD//AXE.

又因为八"平面AEZL&EC平面AiEB,

所以AD//平面A^B.

⑵因为A4..平面ABC,又//UC=9(r,

所以以AB,AC,分别为X轴，V轴，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-.rt/z,

则点.41(0.0.3).B(3.0.0),C(0.3.0),

当，=:时，jiT'r'/?*>>即点D,E分别为B('.B](\的中点，则.,.3),

2,Z>CCiLi\/\x£/

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所以4d=(0,3,—3),=(3,0,—3),，

设平面斗/"「的一个法向量为〃i=("”.「)，

'—t,A_Q3o_3c=0

则(n-L，即《3」3,n,令"=I,则b=-\,c=I,

可.砧=0(2a+26=°

所以平面的一个法向量为^=(1,-1.1),

\祝，记0-3-3展

则5引=许=砺丁『

令直线1('与平面」由£所成角为0,则§也。=卜05〈彳？,出力=等，

所以直线小。与平面所成角的正弦值为W.

3

(3)由(2)可得.4(0.0.0),0(0.3.3),

所以招=(0.3.3),加=(3,0,0),睨=(一3.3,0),前=£前=(-3t3f.O),

所以而=而+前=(3—3f.3h0).

设平面1C,/)的一个法向量为//；=(./•.//.;),

(n\AC\=03j/+3?=0

大1宿.初=0即(3(l-f)T+3///=0*

取n：=(t,t-l.l-t),

又平面ADC的一个法向量为芯=(0.0,1),

平面ACiD与平面AC。的夹角为:，

”‘尔•示7F1II1—f1，1

所以LLI=«»-=-,即,==5,得广一4t+2=0,

|ni||n2|32，3找一期+22

又因为0</<I,所以f=2—血.

【解析】本题考查线面平行的证明，空间向量法求线面角、平面与平面的夹角，属于中档题.

(1)由t,得到点。，E分别为的中点，易得四边形BB\AXA为平行四边形，四边形

DEAXA是平行四边形，进而得到AD//A{E,再利用线面平行的判定定理证明；

⑵建立空间直角坐标系.4--nr-,求得直线的方向向量和平面的法向量，根据线面角的空间向量的求法

即可求解；

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（3）设平面ACiD的一个法向量为击=（J.”.：），再由平面ADC的一个法向量为«2=（0.0.1）,根据

平面4GD与平面ACD的夹角为:，由[徜=<•%：求解.

18.【答案】解：⑴由题设，&=""+1）,则.s；,.1=（»~1）（«"-»+1）（n22）,

所以即=&_&一=^^1_包_1当一+1）='孙'-8/）出1+1,整理得

（〃—2）fin=（71—l）an_j—1,贝！I（〃-1=〃斯1,

所以（〃一l）an+i—（n—2）a,t=na„-I-（n-i+1,即1）（（/,-,-1Ii）=2（n1）〃,，，

〃一1¥（）,

所以。“+1+a〃—i=2a”，故数列卜，〃｝为等差数列，得证.

」由2S]="I+1,可得—I,又结合"I的结论知：公差d〃—〃|=4,

,11111

所以〃”=1〃-3,故儿=下=—―,令品=7jnu-7；=——+；+•••+.,[，

an4n-34〃+14n4-58〃+1

所以（■..,।二72,，3-7:]=----+--…+$―TT+$―T7E+5—，且〃W-V*,

in+54〃+9on+18n+58n4-9

11140〃+31八

所以c""一=际昌+际时-1^1=（如+1）（8，，+5）（丽+9）<°，即<的，

所以，在nE[1,4-00）且nJV*上&+LTn递减，则（入“+1-斯）“皿=/一上=1I，

2

要使45（瑞+1-Tn）&〃/-5/〃对任意fl恒成立,即m-5m-14=（m-7）（m+2）>0,

所以m€（-oc.-2]U[7.+OC）.

【解析】本题考查数列的递推关系，等差数列的判断与证明，不等式的恒成立问题，考查运算化简的能力,

属于较难题.

⑴利用〃“.S〃关系可得(〃-2)〃“二("一1)。〃」一1,即有(n-l)an+i=naH-1,将两式相减并整理

有♦1+a”i=2%,即可证得结论.

(2)由(1)的结论及题设可得bn=-^―,令Cn=T>„+1-Tn,则C“+i=凡+3-Ik+1,运用作差法比较

In—3

它们的大小，即可确定｛△“+I-Z｝的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围.

2b=2,

=Va^l?=,解得｛；：；，

｛aFI-

故椭圆C的方程为1+1/2=1;

4

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⑵设直线BP的方程为“=队"-2)(卜/。且自羊士］I,

直线DP的方程为V=物工+1(切¥0且灯#士!),

则直线DP与x轴的交点为、(—(-o)，

直线AD的方程为1/=：1+1，则直线BP与直线入。的交点为V(盛普，三、

2

将H=®r+1代入方程1+『=1,得(4向+l).r2+8上*=0,△>0,

4

则点P的横坐标为JT=4，点P的纵坐标为1/1>=卜丁必言i+1=余鲁，

将点P的坐标代入直线BP的方程U=木(工一2),

整理得(1+2fc2)(1-2A->)=-2A-1(l+2k2-，

1+2k2#0,2ki+4岛后=2k,-1,

由W.N点坐标可得直线MN的方程为：

4k他/1\2岛板工+2包2k\k2X+2后—1—4品后

'4岛左2+2k2+2kl-1('kJ2k2—12k2—1

112k\.

即y=oz―-2)+1,

则直线MN过定点(2,ll.

【解析】本题主要考查求椭圆方程，以及直线与圆锥曲线的综合应用问题，考查了圆锥曲线中的定点问题,

属于较难题.

利用椭圆的离心率及其短轴长联立方程组即可求解；

⑵设直线BP和直线DP的方程，并求出直线入。的方程，再求出点M、N的坐标，及直线MN的方程，

即可求出直线MN恒过某定点.

20.【答案】解：⑴当a=1时，/(x)=-Inx+(x-f)2,/(I)=—In1+(1—e)2=(1