西藏林芝市第二中学2024届数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析

西藏林芝市第二中学2024届数学高一下期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设x,y满足约束条件2x-y+2≥0,8x-y-4≤0,x≥0,y≥0,若目标函数z=abx+y(a，A．2 B．4 C．6 D．82．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．在一个平面上，机器人到与点的距离为8的地方绕点顺时针而行，它在行进过程中到经过点与的直线的最近距离为（）A． B． C． D．4．已知三棱锥，若平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．5．如图，圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点（与A、B均不重合），则图中直角三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．7．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是()A． B．C． D．8．已知圆C的半径为2，在圆内随机取一点P，并以P为中点作弦AB，则弦长的概率为A． B． C． D．9．的展开式中含的项的系数为（）A．-1560 B．-600 C．600 D．156010．在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某工厂生产三种不同型号的产品,产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本,样本中种型号产品有16件,那么此样本的容量=12．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．13．方程在区间内解的个数是________14．已知函数一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．15．函数f（x）＝log2（x+1）的定义域为_____．16．数列满足，当时，，则是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写的值；若不存在，就填写“不存在”_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以9元/千克收购；方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．参考数据：．18．已知函数，其中数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列．（1）若，，分别写出数列和数列的通项公式；（2）若是奇函数，且，求；（3）若函数的图像关于点对称，且当时，函数取得最小值，求的最小值．19．已知f(x)=（Ⅰ）化简f(x)；（Ⅱ）若x是第三象限角，且tanx=2，求f(x)20．已知直线：，一个圆的圆心在轴上且该圆与轴相切，该圆经过点．（1）求圆的方程；（2）求直线被圆截得的弦长．21．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.(1)求证：是锐角三角形；(2)若，求的面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

画出不等式组对应的平面区域，平移动直线至1,4时z有最大值8，再利用基本不等式可求a+b的最小值.【详解】原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z=abx+y(a，b>0)过直线2x-y+2=0与直线8x-y-4=0的交点1,4时，目标函数z=abx+y(a，即ab=4，所以a+b≥2ab=4，当且仅当a=b=2时，等号成立.所以【点睛】二元一次不等式组的条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如3x+4y表示动直线3x+4y-z=0的横截距的三倍，而y+2x-1则表示动点Px,y与2、D【解析】

利用基本不等式求得的最小值，根据不等式存在性问题，解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】由于，而不等式有解，所以，即，解得或.故选：D【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性问题的求解，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.3、A【解析】

由题意知机器人的运行轨迹为圆，利用圆心到直线的距离求出最近距离．【详解】解：机器人到与点距离为8的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变，机器人的运行轨迹方程为，如图所示；与，直线的方程为，即为，则圆心到直线的距离为，最近距离为．故选．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．4、B【解析】

根据题意画出三棱锥的图形，将其放入一个长方体中，容易知道三棱锥的外接球半径，利用球的表面积公式求解即可.【详解】根据题意画出三棱锥如图所示，把三棱锥放入一个长方体中，三棱锥的外接球即这个长方体的外接球，长方体的外接球半径等于体对角线的一半，所以三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球的表面积.故选：B【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题，对于三棱锥三条棱有两两垂直的情况，可以考虑将其放入一个长方体中求解外接球半径，属于基础题.5、D【解析】

利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案．【详解】AB是圆O的直径，则AC⊥BC，由于PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，即有BC⊥平面PAC，则有BC⊥PC，则△PBC是直角三角形；由于PA⊥平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，则△PAB和△PAC都是直角三角形；再由AC⊥BC,得∠ACB=90°，则△ACB是直角三角形.综上可知：此三棱锥P−ABC的四个面都是直角三角形.故选D.【点睛】本题考查直线与平面垂直的性质，考查垂直关系的推理与证明，属于基础题.6、D【解析】

先求出的模长，然后由可求出答案.【详解】由题意，，，所以与的夹角为.故选D.【点睛】本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.7、B【解析】

先求出直线的倾斜角，进而得出所求直线的倾斜角和斜率，再根据点斜式写直线的方程.【详解】已知直线的斜率为，则倾斜角为，故所求直线的倾斜角为，斜率为，由直线的点斜式得，即。故选B.【点睛】本题考查直线的性质与方程，属于基础题.8、B【解析】

先求出临界状态时点P的位置，若，则点P与点C的距离必须大于或等于临界状态时与点C的距离，再根据几何概型的概率计算公式求解.【详解】如图所示：当时，此时,若，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半径为2的圆环内，所以弦长的概率为：.故选B.【点睛】本题主要考查几何概型与圆的垂径定理，此类题型首先要求出临界状态时的情况，再判断满足条件的区域.9、A【解析】的项可以由或的乘积得到，所以含的项的系数为，故选A.10、D【解析】

根据三角形面积公式求得；利用余弦定理求得；根据正弦定理求得结果.【详解】由题意得：，解得：由余弦定理得：由正弦定理得外接圆的直径为：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1．【解析】

解：A种型号产品所占的比例为2/(2+3+5)=2/10，16÷2/10=1，故样本容量n=1，12、6【解析】

设等比数列{an}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2•a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，an．利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为Tn．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化简即可得出．【详解】数列为正项的递增等比数列，，a2•a4=81=a1a5，即解得，则公比，∴，则，∴，即，得，此时正整数的最大值为6.故答案为6.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13、4.【解析】分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.详解：，所以或，因为，所以或或或，故解的个数是4.点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.14、【解析】

由函数的图象可得T=﹣，解得：T==π，解得ω=1．图象经过（，1），可得：1=sin（1×+φ），解得：φ=1kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜，可得：φ=，故f（x）的解析式为：f（x）=．故答案为f（x）=．15、{x|x＞﹣1}【解析】

利用对数的真数大于，即可得解.【详解】函数的定义域为：,解得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查对数函数定义域，考查学生对对数函数定义的理解，是基础题.16、70【解析】

构造数列，两式与相减可得数列{}为等差数列，求出，让=0即可求出.【详解】设两式相减得又数列从第5项开始为等差数列，由已知易得均不为0所以当n=70的时候成立，故答案填70.【点睛】如果递推式中出现和的形式，比如，可以尝试退项相减，即让取后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）255；（2）；（3）选择方案②获利多【解析】

1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多．【详解】（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，，；从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，．记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：，，，从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.（3）方案①收入：（元）；方案②：低于250克的芒果收入为（元）；不低于250克的芒果收入为（元）；故方案②的收入为（元）．由于，所以选择方案②获利多．【点睛】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18、（1），；（2）；（3）1【解析】

(1)根据等差数列、等比数列的通项公式即可求解；(2)根据奇函数的定义得出，化简得，解方程可得(3)将化成的形式，依题意有，从而得到，因为当时，函数取得最小值，所以，两式相减即可求解.【详解】（1）由等差数列、等比数列的通项公式可得，；（2）因为，所以即，所以又由，得（3）记，则，其中；因为的图像关于点对称，所以①因为当时，函数取得最小值，所以②②-①得，因为，当，时，取得最小值为0【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、三角函数的化简以及正弦型函数图像的性质，考查较全面，属于难题.19、（Ⅰ）f(x)=cosx【解析】

（Ⅰ）利用诱导公式进行化简即可，注意符号正负；（Ⅱ）根据化简的的结果以及给出的条件，利用同角的三角函数的基本关系求解.【详解】解：（Ⅰ）f(x)=（Ⅱ）∵tanx=2，∴sinx=2cosx∵x是第三象限角，∴f(x)=【点睛】（1）诱导公式的使用方法：奇变偶不变，符号看象限，这里的奇变和偶不变主要是看π2（2）同角三角函数的基本关系：sin220、（1）；（2）.【解析】

（1）由题意设圆心，半径，将点代入圆C的方程可求得a，可得圆的方程；（2）求出圆心C到直线l的距离d，利用勾股定理求出l被圆C所截得弦长．【详解】（1）∵圆心在轴上且该圆与轴相切，∴设圆心，半径，，设圆的方程为，将点代入得，∴，∴所求圆的方程为