2024年高考第一次模拟考试数学试题（北京卷01）（解析版）

2024年高考第一次模拟考试（北京卷01）

数学

第I卷（选择题）

一、单项选择题

1.已知全集。=2,集合A={xeZ|—2Vx<2},3={-1,0,1,2},贝|圆可门3=（）

A.{-1,2}B.{1}C.{0,1}D.{2}

K答案]]D

[[解析U由题可知4={行％—2Vx<2}={—1,0,1},

易知^A={xeZ|xeA},所以&A)CB={2}.

故选：D

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,-1),则z3=()

A.1B.

c.2D.2V2

K答案XC

K解析》由题意可得z=l-i,故I=i+i，进而zi=(l+i)(l-i)=2,

故选：C

3.已知向量a,b满足1。1=5,\b\=6,a-b=-6，则cos<a,a+Z?>=()

,31019门1719

A.B.-----C.—L).—

35353535

K答案』D

K解析X忖=5,|“=6,〃.匕=一6,.,・々•(〃+人)=何/=52—6=19.

\a+t\=J(a+b)=\a+2a-b+b="25—2x6+36=7,

因止匕，cos<a,a+b>=

5x735

故选：D.

4.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,+。）上单调递增的是（）

A.y=x3B.y=-x2+1C.y=log,xD.>=，'-

•~2-x,x<0

［答案XD

［解析》对于A,因为（T）:一尤3,所以y=V为奇函数，故A不符合，

对于B,根据二次函数的性质可得>=-必+1在（o,+e）上单调递减，故B不符合，

对于C,>=log2尤的定义域为（0,+功，不关于原点对称，为非奇非偶函数，故C不符合，

对于D,因为函数的定义域为R,>=州且］臼=少，故为偶函

［2-*,尤<0［2,x<0

数，

在（0,+8）上，y=2"函数在区间（0,+8）上单调递增，所以D符合，

故选：D.

5.已知（2x+1|的展开式中，x的系数为80,则"=（）

A.—1B.±1C.+2D.2

［答案XB

［［解析』（2X+£［展开式的通项为（+I=G（2尤广［qJ=G25-Z/2,,

当5—2r=l,有r=2,则展开式中x的系数为。二3/=80］=80,

所以。2=1,解得a=±l.

故选：B

6.设。，，是两个不同的平面，人〃是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）

A.若机_Lcr,m±n,则〃//aB.若a_L£,mLa,n工。,则切_L〃

C.若〃//a,m±n,则nz_LaD.若a//。，mua,nu（3,则初/〃

K答案』B

K解析】由题意，对于A中，若m_La,m±n,则〃//a或〃ua,所以不正确；

对于C中，若〃//a,m±n,则机与。可能平行，相交或在平面。内，所以不正确;

对于。中，若。//月，m^a,nu0,则机与孔平行、相交或异面，所以不正确；

对于3中，若。_L尸，m±cr,nL/3,,根据线面垂直的性质，可证得m_L〃成立，

故选：B.

JI

7.ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,6,c,已知B=bcsinA=8sin3,a=4,

则6=（）

A.4B.2A/3C.2币D.2四

K答案XB

K解析U因为人csinA=8sin3,由正弦定理得拉*a=86,;.ca=8

又。=4,:.c=2

由余弦定理/=a2+c2—2accosB=16+4—2x4x2x—=12,

2

则b=2小

故选：B.

8.已知｛%｝是等差数列，S”是其前〃项和.则“%>%”是“对于任意〃eN*且方3,Sn>S^

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［［答案］］B

（解析』由等差数列前“项和公式知：S“=g〃2+（a「g）〃，

.••要使对于任意〃eN*且方3,">邑，则d>0,即｛4｝是递增等差数列，

“对于任意〃eN*且"3,Sn>S3”必有“a4>%”，

而出>%，可得d>0,但不能保证“对于任意"eN*且"力3,5“>$3”成立，

.•.“%>的”是“对于任意"eN*且"3,S„>邑”的必要而不充分条件.

故选：B.

9.在直角梯形ABCD中，已知3C7/AD,AB±AD,AB=4,BC=2,AD=4,若P为CD

的中点，则P4PB的值为（）

A.-5B.-4C.4D.5

［答案］］D

K解析U由题意可知，DA=2CB,PD=-PC,|PD|=|^c|=1^42+22=75.

tanZPDA=2,cosZPDA=—

5

BCHAD,NBCD=TT—NPDA,

PAPB=^PD+DA^^PC+CB)=(PD+2CB)•(-P£)+CB

=-PD2-PD-CB+2CB2=-5-2xy/5xcos(^-ZPDA)+2x4

=-5-2x75+8=5.

故选：D.

10.如图，已知正方体ABC。-44GR的棱长为1,点〃为棱AB的中点，点尸在正方形

BCC4的边界及其内部运动.给出以下四个结论：

①存在点P满足+尸〃=石；

TT

②存在点尸满足/RPM=5；

③满足AP1D,M的点p的轨迹长度为£；

④满足MP±D.M的点p的轨迹长度为正.

其中正确的结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

K答案Uc

K解析U如图所示，建立空间直角坐标系,

则A(i,o,o),A(o,o,i),G(0,1,1),

动点P设为尸(x,Lz)

①点M关于平面BCBG的对称点为M，当动点P在点监时，

此时(9+尸2)3=〃跖=3+@]+1=半<6,

当动点尸在点G时，此时PM+PD1=C1D1+C1M=1+|=|>75,

所以存在点P满足PM+PD|=石，所以①正确；

②PM=(l—x,_5，—z],PD}=(—x,—1,1—z),

jr1

若ND]PM=于则PR=-x(l-x)+--z(l-z)=0,

化简得：卜一]+[-]=0,解得：<:,即尸匕臼，

/~2

满足题意，所以②正确；

③AP=(x-l,l,z),

若AP_LRM,贝I]AP-A"=;c-l+；-z=0,即z=x-1，

取BC中点E,BB/中点/，则点P的轨迹为线段EF,长度为巫，所以③错误;

2

④=2M=[1,；,一1],

—■—13

若MP_LRM,则+_z=0,即z=x――,

44

取BF中点H,BE中点K,则点P的轨迹为线段”K,长度为正，所以④正确.

故选：C.

第II卷（非选择题）

二、填空题

11.已知函数，（x）=3x+log3X,则.

［答案X^3-1

［解析》因为函数/。）=3工+1083冷

所以巾=3；+1吗>旃T，

故K答案］为：g-1.

22

12.双曲线十%=1（“>0的>0）的渐近线为等边三角形。4B的边。4,。8所在直线，直线A3

过双曲线的焦点，且|AB|=2,则。=.

1答案》|

K解析U由题意和双曲线的对称性可知，ZAOF=30，

b

又因为双曲线的渐近线方程为y=±2尤，

a

从而tanZAOF==—,即/?=a,

3a3

又由等边三角形性质可知，|。尸|=百|£4|=立|A5|=^=c,

2

又由=/+/可知，〃3

3

故（答案》为：j.

13.已知函数/（%）=sinx,若对任意的实数。£（_?式），都存在唯一的实数分£（0,㈤，使

/9）+/（0=0,则实数机的最大值是—.

3兀

（答粒—

4

K解析U由/（尤）=sinx,ae（-^,-1）,

<Jo

则/⑷e,存在唯一的实数尸e（0,㈤,使/（a）+/（£）=0,

即f邛）=k,ke有且仅有一个解，

（1亚、

作函数图像y=/（Z?）与直线y=-，^，

I227

7?37r

当两个图像只有一个交点时，由图可知，—<m—,

44

3兀

故实数加的最大值是下

3兀

故（答案』为：—

14.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应

用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升,

上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：”今有竹9节，下3节容量4升，上4

节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第5节容量是

升.（结果保留分数）

K答案H

66

K解析》记从下部算起第〃节的容量为。〃

由题意可知：数列｛%｝为等差数列，设其公差为d,

95

%+%+%=3%+3d=4

则〃6+%+。8+%=44+26d=3'解得：＜

d」

66

；.%=q+4d=g,即从下部算起第5节容量是粤升.

6666

故K答案U为：-^2•

66

x+2,x<-a,

15.设a>0,函数/(元)="八2-九,一。《尤给出下列四个结论：

-y[x-X,x>a.

①/(x)在区间("1,+s)上单调递减；

②当时，〃x)存在最大值；

③设M(龙，1/(玉))(占Wa),N(X2，/(X2))(X2>a)，贝力MN|>1；

④设P(玉,〃W))(玉<-4).若设。存在最小值,则a的取值范围是

H.•

其中所有正确结论的序号是.

[[答案]]②③

K解析U依题意，«>0,

当尤<-。时，f(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当-aVxVa时，/(尤)=,C2_尤2,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为。的圆在x轴上方

的图像(即半圆)；

当x>。时，/(x)=-V^-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

对于①，取。=；，则“X)的图像如下，

2:2

显然，当xe(a-l,+co),即xe(-g,+co卜寸，在1-g,0)上单调递增，故①错误;

对于②，当a21时，

当尤<-a时，/(x)=x+2<-a+2<l；

当一a<光时，/(x)=一%2显然取得最大值a；

当x>a时，/(%)=-^/x-l<-Va-1<-2,

综上：/（X）取得最大值。，故②正确;

对于③，结合图像，易知在网=。，%>。且接近于x="处，

<4）仆（尤2，/优»（尤2>a）的距离最小,

当玉=°时，y=/（不）=0,当%>a且接近于x=a处，y2=/（x2）<-\/a-l,

此时，|4见>%-%>&+1>1，故③正确；

因为P（演,/（玉））（玉<-4）,0卜4，/（%4））（义2-。），

结合图像可知，要使|尸。|取得最小值，则点尸在/（x）=x+21x〈-上，点。在

同时户。的最小值为点。到/（x）=x+<-1j的距离减去半圆的半径a,

此时，因为〃x）=y=x+2（x<-£|的斜率为1,贝产8=-1,故直线0P的方程为丁=一工,

联立fy仁=-xx+2'解得［［x==-1l，则N/T」、）'

显然P（-l,l）在“X）=X+2［尤<-力上，满足闸取得最小值，

即。=3也满足户。|存在最小值，故a的取值范围不仅仅是,故④错误.

故K答案】为：②③.

三、解答题

16.已知函数/'(x)=sinox,g(x)=J§cos0x(0>0),/?(x)=3cos2a>x+^/3sma>xcosa)x.在下

列关于函数与g(x)图像的三个条件中选择一个作为已知，使函数〃(x)唯一确定，并

求解下列问题.

⑴求函数〃(X)的R解析』式；

⑵若对于VxeR,存在唯一的℃[0,问,使得/z(a-x)=/z(a+x),求机的取值范围.

条件①：两函数图像在[0,2可内有且仅有两个交点；

条件②：两函数图像的相邻两交点的水平距离为兀；

条件③：两函数图像最高点间的最小水平距离为

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

解：(1)选条件①：

由两函数图象在[0,2可内有且仅有两个交点，无法确定〃x),g(x)的周期，所以求不出。,

所以函数Mx)不确定.

选条件②：

(法一)因为sin(yx=6cos(yx,所以tan(yx=«',

所以(ax=工+丘,女eZ,即x=—+—,keZ,

33a)co

假设两个相邻的交点分别为4(和乂),现々，为)，且不<马.

所以由题息可知％2一再=—=兀，故①=1.

(D

(法二)因为sinGx=gcosGx,所以2sin(ox—§]=0,

所以tyx一工=E，keZ,BPx=-+—Z,

33a)CD

假设两个相邻的交点分别为A(石,y),与(%2，%)，且王<9.

71

所以由题意可知尤2-再=—=兀，故&=1.

(D

选条件③:

兀

CDXx=—+2^71,女1£Z

由题意可知，两函数图像最高点4(%』),3(%,1)应该满足如下关系:

兀

COX2=—+2左2兀,攵2Gz

所以两函数图像最高点间的距离为|。玉-0尤2］=co\xx-x^=^+2kit,keZ*

又因为两函数图像最高点间的最小距离为：，所以0=1.

2

号汨*吊2尤=底心+小|.

由口=1可知/z(x)=3cos2x+V3sinxcosx=3x

(2)因为对于VwR,存在唯一的aw［0,同,使得//(〃-%)=力(a+%),

所以函数力(光)图像的对称轴有且仅有一条落在区间［0,m］上.

因为工式。,何，所以—,—+2m,

因为力(力图像的对称轴有且仅有一条落在区间［0,m］上.

所以工＜2a+二〈至，即'(根

2321212

故旭的取值范围为TT看7卷兀).

17.羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体ABCDEF,四边形ABC。与四

边形ADEF均为等腰梯形，其中砂〃AD〃BC,AD=4,EF=BC=AB=2,ED=回,

M为AO中点，平面BCEF与平面ADEP交于EF.再从条件①，条件②，条件③中选择一

个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题：

(1)求证：BM，平面CDE；

(2)求二面角3-/史-/的余弦值.

(3)在线段AE上是否存在点Q,使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为无，若存在，求

7

出的值，若不存在，请说明理由.

条件①：平面CDE，平面ABCD；

条件②：平面ADEF_L平面ABC。;

条件③：EC=26.

（1）证明：等腰梯形ABCD,M是AD中点，MD=BC,又MD〃BC,

故四边形BCDM为平行四边形，故引1〃CD,

BMz平面CDE,CDu平面CDE,故BM//平面CDE.

（2）解：选①：连接AC,AE,作CSLAD于S,则DS=1,CS=6AC=20,

同理可得AE=3应，AC2+CD2=AD2,故AC_LCD,

平面CDE_L平面ABCD,平面CDEc平面ABC。=CD,ACu平面A5CD,

故AC_L平面CDE,ECu平面CDE,故AC_LEC,

EC"=AE2-AC-,故EC=&,止匕时£D2=EC2+£）C2,故EC_LOC,

如图所示：以CE»,C4,CE为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

A（0,2A/3,0）,B（-1,A/3,0）,网0,0,#）,F.1,区回£＞（2,0,0）,M（l,V3,0）,

p-AB=-a-6b=0

设平面历史的法向量为p=(a,b,c),

p-AE=-2回+辰=0

取c=l得至-与'与』

p-AF=-x-币y+A/6Z=0

设平面A£F的法向量为4=(尤,y,z),

p-FE=x_6y=0

取y=i得至=；PQ=一9,孝，1］（"1，夜）=_^^+#+忘=0,

所以二面角B-AE-尸的余弦值为o.

选②：取3c中点为N,EF中点为尸，连接和MN

平面ADEFJ_平面ABCD,故平面ADEF"平面ABCD=AD,

PMLAD,PMu平面AD所，故平面ABCD,MN1AD,

如图所示：以"N,MD,M尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

>

y

A（0,—2,0）,B（V3,-l,0）,C（V3,l,0）,D（0,2,0）,E（0,l,3）,F（0,-l,3）,M（0,0,0）,

BA=卜百,-1,0）,AE=（0,3,3）,

/、n-BA=0—x/3x—y=0

设平面84E1的一个法t向量〃=（x,y,z）,\,

7n-AE=0[3y+3z=0

令x=6，则>=—3,z=3,则〃=（也,一3,3）

易知力=(—1,0,0)是平面AEF的一个法向量，

/\m-nA/7

cos(九〃)=同耳=---,根据图像知二面角3—AE—尸为钝角，

所以二面角3—AE一万的余弦值为一近.

7

选③：取中点G,连接CG和EG,易知EGLAD,CGLAD,

EC=243,EG=3,CG=5EC2=EG1+CG2,

故EGLCG,

TT

故二面角E-A。-C=x，

2

故平面AD£F_L平面ABCD,

取BC中点为N,EF中点为P,连接MP和MN

平面ADEF_L平面ABCD,平面ADEF］平面ABCD=AZ),PMLAD,

PMu平面ADE-故PA/_L平面ABCZJ,故MN_LAD,

如图所示：以“N,MD,MP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

后续同②；

⑶解：若选择①：

设看=几，力^囚』'40=彳4"=(°，-2后，依)，

Me=M4+A2=(-l,-2V3A+V3,V62),

UMQ,p)卜=—,限=也

11M-H6义扃;菽画通17'

解得2=粤1,均不满足题意，故不存在点Q.

若选②或者③：

设笔=2,Ae[O,l],AQ=4AE=(O,3Z3；l),MQ=MA+AQ=^0,32-2,32.),

卜母=回心:+(3尸生解得"=

均不满足题意，故不存在点Q.

18.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对A,B,C三道题目

的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.规则如下：按照A,B,C的顺序做题，只有

做对当前题目才有资格做下一题.

题目ABC

3j_£

做对的概率

424

获得的奖金/元3264128

[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]

(1)求甲没有获得奖金的概率；

(2)求甲最终获得的奖金X的分布列及期望；

(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终

获得的奖金期望最大？(不需要具体计算过程，只需给出判断)

31

解：(1)甲没有获得奖金为事件则尸(M)=l-了=:；

44

(2)分别用A,B,C表示做对题目A,B,C的事件，则A,B,C相互独立.

由题意，X的可能取值为0,32,96,224.

尸（x=o）=尸（可=；；

_o1o

P（X=32）=P（AB）=zx-=-;

P（X=96）=P（ABC）=—x—x—=—

'7v742432

3113

P（X=224）=P（ABC）=—x—x—=——

I7v742432

所以甲最终获得的奖金X的分布列为

X03296224

1393

P

483232

1393

E（X）=0x-+32x-+96x—+224x—=60.

483232

(3)按照A,CI顺序:

尸（x=o）=尸（可=：，

P（X=32）=P%）=%»

_Q1I3

P（X=160）=P（ACB）=-x-x-=一

332

311一

P（X=224）=P（ACB）=-x-x-=32

所以甲获得的奖金X的分布列为

X032160224

£933

P

4163232

1933

£1（x）=0xz+32义n+160xf+224x^■=54按照B,A,C顺序：

P（X=0）=P（B）=-,

P（X=64）=P（BA）=-x-=-）

1339

P（X=96）=P（&@=—X—X—

24432

1313

P（X=224）=P（BAC）=—x—x—=——

v7v724432

所以甲获得的奖金X的分布列为

X06496224

]_93

P

583232

石(X)=56按照民C,A顺序:

P（X=O）=P（B）=-,

133

X--

p（X=64）=P（8e）=O-48-

-Z

P（X=192）=P（BCA）=-x-x-=—,

1133

P（X=224）=P（BCA）=—x—x—=—

,7v724432

所以甲获得的奖金X的分布列为

X064192224

313

P

2-83232

矶X)=51按照CAI顺序:

p（x=0）=p（c）=-,

产(X=128)=尸(C可=：x；=3

_1Q1Q

P（X=160）=MCAN）=—X—X—=—

''\744232

1Q13

P（X=224）=P（CAB）=—x—x—=——

'7v744232

所以甲获得的奖金X的分布列为

X0128160224

3133

P

4163232

E（X）=44按照C,B,A顺序:

P（X=O）=尸（0=:，

111

P（X=128）=P（CB）=:-X—=一,

428

1111

P（X=192）=P（CBA）=—X—X—=——,

42432

1133

P（X=224）=P（CBA）=-x-xr-

所以甲获得的奖金X的分布列为

X0128192224

3113

P

483232

E（X）=43综上，改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同,

按照4B,C的顺序获得奖金的期望最大.

19.已知A,5,C是椭圆M。上1上的三个点，。是坐标原点.

⑴当点8是椭圆W的右顶点，且四边形。4BC为菱形时，求此菱形的面积;

⑵过右焦点/的直线/（与x轴不重合）与椭圆交于A,8两点，点若。例=

求实数加的取值范围.

解：⑴椭圆印：1+产=1的右顶点8的坐标为（后,0卜

因为四边形。4BC为菱形，所以AC与相互垂直和平分,

,代入椭圆方程得：+疗=1,即〃?=土且,

所以可设A

/42

4e_

所以菱形。4BC的面积为==V

（2）当直线AB垂直x轴时，m=0,此时符合题意;

当直线AB与x轴不垂直时，设直线A3的方程为,=左(》-1)，

尤22一

----Fy=1

由＜2'，得

y=^(x-1)

由A=(-4阴2-8(1+2阴伊_1)>0得了31i.

2(产-1)

设4(%,%),3(%,%)，则%+%=9

x1M=---------

1+23-1+2左2

_2k

所以％+%=刈与+尤2-2)=丁中■

1\Z/C

2k2k

所以线段A3中点E的坐标为

1+2-'1+2女2

k1(12k2\

由题意知上wO,故直线ME的方程为y+二==-7%—二F，

1+2女7T1+2%J

kk

令x=0,y=-------y，BPm=-------大，

1+2左之1+2左2

k1A/2FT

当%＞o时，得=币记=1"二彳，当且仅当左=卫，等号成立，

k

nk1、四六

同理，当上＜0时，得。＞'"=17素=二；之一不，当且仅当左=-半，等号成立,

k

综上所述，实数，"的取值范围为-坐，手.

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20.已知函数/(%)=尔In%-Y+KMER).

(1)当机=1时，求曲线＞=/(%)在点(1,/⑴)处的切线方程;

⑵若/(x)WO在区间口,+⑹上恒成立，求7〃的取值范围；

⑶试比较ln4与④的大小，并说明理由.

解：(1)当m=1时，/(x)=xlnx-x2+l,

••/'(1)=lnx+l—2x,

所以曲线八X)在点(1J⑴)处切线的斜率左=/'⑴=—i,又/⑴=0,

所以曲线八X)在点处切线的方程为y=-(%-1)即元+y-1=0.

(2)外力4。在区间[1,+oo)上恒成立，即nuinx-%?+1«o,对Vx£[l,+oo),

BPmlnx-x+—<0,对V%£[l,+co),

g[x}=m\nx-x+^~,只需屋工).<0,

，/、m11-x2+mx-1J,\

g(%)=——1--=----2——，元虫+孙

XXX

当机<0时，有mx<0,则g'(x)<0,

g(x)在[l,+oo)上单调递减,

.•.g(x)Wg⑴=0符合题意,

当机>0时，令/1(%)=-%2+痛一1,

其对应方程-f+mx—1=0的判别式A=m2-4,

若AW0即0vmV2时，有力(%)<0,即g'(x)«O,

.•.g(x)在[1,+8)上单调递减，

「.g(x)<g⑴=0符合题意，

若△>()即机>2时，/z(x)=-x2+mx-l,对称轴IX/z(l)=m-2>0,

方程-1+皿-1=0的大于1的根为％=

f

/.XG(1,XO),/z(x)>0,gpg(x)>0,

XG(X0,+OO),/z(x)<0,即g'(x)<0,

所以函数g⑺在(L%)上单调递增，，g(x)>g⑴=0,不合题意.

综上，〃力40在区间[1,+8)上恒成立，实数机的取值范围为(F,2].

(3)由(2)知，当加=2时，/(%)<0,在区间[1,+s)上恒成立，

即_1,对Vxe[l,4<o),

取工=