17.2 勾股定理的逆定理（原卷版）

八年级下册数学《第十七章勾股定理》17.2勾股定理的逆定理知识点一知识点一互逆命题与互逆定理●互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.●互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.◆1、对互逆命题的理解：①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反；②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式.◆2、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理.知识点二知识点二勾股定理的逆定理●勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.◆1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；．③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.◆2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC中，∠C=90°在△ABC中，a2+b2=c2结论a2+b2=c2∠C=90°区别勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”.勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.联系两者都与三角形的三边有关系.知识点三知识点三勾股数●勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．◆1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．◆2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．◆3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…◆4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：①确定是否为三个正整数a，b，c;②确定最大数c；③计算较小两数的平方和是否等于c2;④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.题型一逆命题与逆定理题型一逆命题与逆定理【例题1】下列定理中，逆命题是假命题的是（）A．在一个三角形中，等角对等边 B．全等三角形对应角相等 C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 D．等腰三角形两个底角相等解题技巧提炼1、写出一个命题的逆命题的关键是分清原命题的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，判断一个命题是真命题要证明，判断一个命题是假命题只有举一个反例即可.2、判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可，如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理.【变式1-1】（2022秋•长春期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是．【变式1-2】下列三个定理中，存在逆定理的有（）个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-3】下列定理中，没有逆定理的是（）A．两直线平行，同旁内角互补 B．两个全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两内角相等的三角形是等腰三角形【变式1-4】下列命题：①两直线平行，内错角相等；②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；③等边三角形是锐角三角形，其中原命题和它的逆命题都正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【变式1-5】下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形；③全等三角形的对应边相等；④同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型二利用三边关系判定直角三角形题型二利用三边关系判定直角三角形【例题2】（2022秋•大渡口区校级期末）下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（）A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15解题技巧提炼判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法：（1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.【变式2-1】（2022秋•新华区校级期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝2∠B＝2∠C C．AB=34，BC＝3，AC＝5 D．∠A＝20°，∠B＝【变式2-2】（2022秋•绿园区校级期末）木工师傅想利用木条（单位都为：米）制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．7，24，25 D．9，12，15【变式2-3】（2022秋•招远市期末）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝3，b＝2，c=5 B．a＝40，b＝50，c＝60C．a=54，b＝1，c=34 D．a=41，b＝【变式2-4】（2022秋•莱阳市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2﹣b2＝c2，则下列说法正确的是（）A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．∠A是锐角【变式2-5】已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形．（1）a＝11，b＝31，c＝21；（2）a＝m2﹣n2，b＝m2+n2，c＝2mn（m＞n，m，n为正整数）．【变式2-6】（2022秋•埇桥区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求AD的长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．题型三根据三边满足的关系式判断三角形的形状题型三根据三边满足的关系式判断三角形的形状【例题3】（2022秋•市中区校级月考）若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是．解题技巧提炼解题过程中主要运用了非负数的性质和勾股定理的逆定理，已知三角形三边长，判断三角形是否为直角三角形，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.【变式3-1】（2022春•岚皋县期末）已知三角形三边长为a，b，c，如果a-6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，则△ABCA．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形【变式3-2】（2021秋•兴隆县期末）已知a，b，c满足|a-8|+b2-10b+25+（c-（1）求a，b，c的值；（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．【变式3-3】已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．小明的解题过程如下：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），②所以c2＝a2+b2，③所以△ABC是直角三角形．④请根据上述解题过程回答下列问题：（1）小明的解题过程中，从第（填序号）步开始出现错误；（2）请你将正确的解答过程写下来．题型四勾股定理及其逆定理解决面积问题题型四勾股定理及其逆定理解决面积问题【例题4】（2022春•惠城区期末）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD=32千米，AD=4（1）求小溪流AC的长．（2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）解题技巧提炼不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积.【变式4-1】（2022秋•下城区校级月考）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为．【变式4-2】（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．（1）求四边形花圃ABCD的面积；（2）求C到AD的距离．题型五巧添辅助线构造直角三角形题型五巧添辅助线构造直角三角形【例题5】（2022春•广西月考）在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝210，求BC边上的高．解题技巧提炼当问题中没有呈现直角三角形，但需要用勾股定理时，就要通过添加辅助线构造直角三角形.【变式5-1】（2021春•勃利县期末）如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．【变式5-2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（）A．61 B．261 C．13 D．12【变式5-3】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．（1）求证：AB⊥BC．（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．【变式5-4】（2022•北京模拟）已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．题型六勾股定理及其逆定理的实际应用题型六勾股定理及其逆定理的实际应用【例题6】（2022春•开福区校级月考）如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？解题技巧提炼解答此类问题的关键是应从实际问题入手，将其转化为数学问题，利用勾股定理及其逆定理来解答即可结合.【变式7-1】（2021秋•楚雄州期末）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得∠B＝90°，AB＝4m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，如果种植草皮费用是200元/m2，那么共需投入多少钱？【变式7-2】（2021秋•连州市期末）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了5海里．货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．【变式7-3】（2022秋•莱西市期中）如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．【变式7-4】（2021秋•陈仓区期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【变式7-5】（2021春•淮南期中）如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元．（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省．（2）并求出铺设水管的最省总费用．题型七勾股数的辨别题型七勾股数的辨别【例题7】（2022秋•邢台期末）下列各组数中是勾股数的是（）A．1，3，2 B．12，16，20 C．32，42，52 D．0.5，1.2，1.3解题技巧提炼判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.【变式7-1】（2022秋•峄城区校级期末）下列各组数中，是勾股数的是（）A．32，42，52 B．3，4，7 C．0.5，1.2，1.4 D．9，12，15【变式7-2】（2021秋•东源县校级期末）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．7，24，25【变式7-3】（2021春•河间市期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？题型八勾股数的规律猜想题题型八勾股数的规律猜想题【例题8】（2022秋•皇姑区校级月考）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为．解题技巧提炼对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42=52，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到62+82=102和92+122=