自动控制原理 课件 第七章 离散控制系统

1《自动控制原理》

第七章离散控制系统7.1信号的采样与复现7.2z变换与z反变换7.3采样控制系统的数学模型7.4采样系统性能分析

在连续系统中，系统各处的信号都是时间的连续函数，这种在时间上连续，在幅值上也连续的信号称为连续信号或模拟信号。近年来，随着脉冲技术和数字计算机的蓬勃发展，离散控制系统的应用越来越广泛。与连续系统显著不同的特点是离散系统中至少有一处或几处信号在时间上为离散的脉冲或数字信号。实际中，当连续系统中的信号以间断方式获得时，该连续系统也就变成离散系统。图中的A/D和D/A转换器起着模拟量与数字量之间的转换作用。A/D转换器相当于一个采样开关，D/A相当于一个保持器。由于这类系统中有采样脉冲或数码信号，因此对这类系统的研究虽然可以借鉴连续系统中应用的方法，但还需要研究它本身的特殊性。7.1信号的采样与复现7.1.1信号的采样将连续信号加到采样开关K的输入端，采样开关以周期T秒闭合一次，闭合的持续时间为τ秒，在闭合期间，截取被采样的幅值，作为采样开关的输出。开关闭合的持续时间τ很短，远小于采样周期T和装置的时间常数，因而τ可近似地认为趋于零，即把实际的窄脉冲视为理想脉冲。

7.1.2信号的复现1、采样定理系统中通常要把采样信号恢复成原连续信号。但是信号能否恢复到原来的形状，主要决定于采样信号是否包含反映原信号的全部信息。香农采样定理：假设原信号的最高次谐波的角频率为，采样信号的采样角频率为，如果采样周期满足下列条件，即则可无失真地再恢复为原连续信号。2、保持器若采样频率满足采样定理，把采样后的信号通过理想的低通滤波器滤去高频分量，滤波器的输出就是原来的连续信号。由于理想频率特性的滤波器是不存在的。工程上只能采用具有低通滤波功能的保持器来代替。保持器是将采样信号转换成连续信号的装置，可分为零阶、一阶和二阶保持器。零阶保持器的作用是把当前时刻的采样值，保持到下一个采样时刻到来之前。零阶保持器的单位脉冲响应是一个幅值为1、宽度为T的矩形波对上式取拉氏变换，可求得零阶保持器的传递函数为其频率特性为，代入上式绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线7.2z变换与z反变换7.2.1z变换采样信号对上式进行拉氏变换令，将记作，就变成了以复变量z为自变量的函数。称此函数为的z变换。记作采样函数z的变换是变量z的幂级数

表示采样脉冲的幅值；z的幂次表示该采样脉冲出现的时刻，包含着量值与时间的概念。7.2.2变换的性质与拉氏变换的性质相类似，z变换有线性定理、位移（时位移、复位移）定理、初值定理和终值定理等。见书中附表。特别注意终值定理。7.2.3z变换的求法1、级数求和法根据定义求解例7.1己知，求其z变换。解：则它的z变换式为令，则上式所示的等比数列是收敛的。可以得到当时a=0，由上式可得到单位阶跃函数的变换为2、部分分式法设f(t)的拉氏变换F(s)为将上式展开为部分分式和的形式，即则相应的时间函数为由上例中的结果求取f(t)的z变换。例7.2求的z变换解：用部分分式法对上式展开得其原函数为由式例7.1可求出3、用查表法求若已知函数的拉氏变换，用部分分式法将其展开，查附录1对应即可。7.2.4z反变换将变换为采样信号的过程为z反变换。z反变换可以记作求z反变换的方法通常有以下两种：1、长除法把式展开成按升幂排列的幂级数后相除

项的系数时间函数在采样时刻时值例7.3求的z反变换解：进行长除法运算得到查表得到2、部分分式展开法此法与用部分分式展开法求拉氏变换的思路类同。即是将通过部分分式分解为低阶的分式之和，直接从z变换表中求出各项对应的z反变换，然后相加得到。例7.4

已知解：将F(z)展成部分分式查表，得到所以7.3采样控制系统的数学模型7.3.1脉冲传递函数的定义采样控制系统常用的数学模型是脉冲传递函数。离散系统脉冲传递函数的定义为：在零初始条件下，输出离散时间信号的z变换C(z)与输入离散信号的z变换R(z)之比，即其中从物理意义来看，离散系统的脉冲传递函数就是系统单位脉冲响应函数采样值的z变换，即

是单位冲激响应的离散表示。若系统的输入，则输出信号的z变换。7.3.2开环系统的脉冲传递函数1、串联环节的脉冲传递函数当环节串联时，环节之间有、无采样开关的存在，其等效的脉冲传递函数是不同的。当环节之间有采样开关存在，根据脉冲传递函数的定义得则脉冲传递函数为当n个环节串联时，其脉冲传递函数为当环节之间没有采样开关存在，根据脉冲传递函数的定义，脉冲传递函数为由此可知，两个串联环节间无采样器隔开时，则等效脉冲传递函数等于两个环节传递函数乘积经采样后的变换。当n个环节串联时，其脉冲传递函数为例7.7

假设图原中，，试求两种连接形式的脉冲传递函数。解：对于第一种连接，脉冲传递函数为对于第二种连接，脉冲传递函数为例7.8

求零阶保持器与环节串联时的脉冲传递函数，结构图如图所示。解：具有零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数为因为所以查z变换表，进行z变换，得2、并联环节的脉冲传递函数两个环节并联显然有即n个环节并联，等效脉冲传递函数为所有环节的脉冲传递函数的和。7.3.3闭环系统的脉冲传递函数1、闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法

采用按定义计算，根据系统的结构列写出各变量之间的关系式，然后消去中间变量，求得系统输出量的z变换与输入量的z变换之比。例7.9求出下图所示系统的C(z)解：对于连续环节，有对于连续环节，有代入得到采样后有取z变换后，整理得因为采样后最后进行z变换得到2、闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法如果系统从输入信号进入反馈回路后，至回路输出节点前，至少有一个真实的采样开关，这时可以用简易法计算系统闭环脉冲传递函数。其步骤为：（1）将离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输出表达式；（2）表达式中各环节乘积项需逐个决定其“*”号。（3）取变换，把有“*”号的单项中的变换为，多项相乘后仅有一个“*”号的其变换等于各项传递函数乘积的变换。例7.10

系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数解：去掉采样开关后，连续系统的输出表达式为对上式进行脉冲变换（加“*”）变量置换得7.4采样系统性能分析7.4.1采样系统的动态性能无论连续系统还是采样系统，系统动态性能都和系统闭环极点位置有密切关系。研究采样系统脉冲传递函数闭环极点（特征根）在平面上的位置，可以定性地了解系统参数对动态性能的影响，这对系统分析和校正均具有指导意义。一般情况下，闭环脉冲传递函数可以表示为系统在单位阶跃输入信号作用下，输出z变换为取z反变换，求得系统输出在采样时刻的离散值式中第一项为的稳态分量；第二项为的暂态分量。1、实数极点（1）设为正实数，则对应的暂态分量按指数规律变化。又当①，系统将是不稳定的。②，极点在单位圆与正实轴的交点上，则对应的响应分量为等幅序列。系统则处于稳定边界。③，极点在单位圆内的正实轴上，则对应的响应分量按指数规律衰减。且极点越靠近原点，其值越小且衰减越快。（2）设为负实数，则对应的暂态分量按正负交替方式振荡。①，极点在单位圆外的负实轴上，对应的响应分量为正负交替发散振荡形式。②，极点在单位圆与负实轴的交点上，对应的响应分量为正负交替等幅振荡形式。③，极点在单位圆内的负实轴上，对应的响应分量为正负交替收敛振荡形式。2、复数极点当为复数时，则必为共扼复数，对应的暂态响应分量为余弦振荡形式，振荡角频率与共扼复数极点的幅角有关。1)，极点在单位圆外的平面上，则对应的响应分量为增幅振荡形式，系统将是不稳定的2)，极点在单位圆上，则对应的响应分量为等幅振荡形式，系统处于稳定边界。3)，极点在单位圆内，则对应的响应分量为衰减振荡形式。7.4.2采样系统的稳定性采样控制系统稳定的充分必要条件为：系统闭环脉冲传递函数的所有极点均位于平面单位圆的内部。1、z平面与s平面的影射关系因为因此所以s平面上的虚轴对应到z平面上，幅角由-π经0变化到+π，相应的点在平面上逆时针画出一个以原点为圆心，半径为１的单位圆。当幅角由-

时+

，相应的点就沿单位圆逆时针转无穷多圈。平面的虚轴映射到平面上，是以原点为圆心、半径为１的单位圆。s平面左半平面映射到z平面上是单位圆内部；s平面右半平面映射到z平面上是单位圆外部区域。例7.11

图所示系统中，设采样周期T=1秒，试分析当K=4和K=5时系统的稳定性。解：系统开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为系统的闭环特征方程为（1）将K=4和T=1代入方程，得解得由于z1、z2均在单位圆内，所以系统稳定。（2）将K=5和T=1代入方程，得解得由于z2在单位圆外，所以系统不稳定。2、劳斯稳定判据使z平面的单位圆内映射到一个新的平面的虚轴之左，此新的平面我们称为w平面。在此平面上，我们就可直接应用劳斯稳定判据。作双线形变换同时有令、，代入整理，得若有即为z平面中的单位圆方程，若极点在z平面的单位圆内，则有，对应于w平面中的，即虚轴以左；若，则为z平面的单位圆外，对应于w平面中的，就是虚轴以右。利用上述变换，可直接应用连续系统中所介绍的劳斯稳定判据来判别离散系统的稳定性。例7.12已知系统结构如图所示，采样周期秒。试用劳斯判据确定系统稳定的值范围。解：系统开环脉冲传递函数代入T=0.1秒，，所以特征方程即将代入，得化简后得由劳斯表，使一列各元素均大于零，得7.4.3采样系统的稳态误差该系统的误差脉冲传递函数为则误差信号的z变换为假定系统是稳定的，即的全部极点均在z平面的单位圆内，则可用终值定理求出稳态误差为由于开环脉冲传递函数的极点与开环传递函数的极点相对应。因而类似于连续系统，采样系统按其开环脉冲传递函数所含的极点数而分为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。1、阶跃输入r(t)的z变换为，得

为静态位置误差系数。对于0型系统，由于其开环传函中不含的极点，因而Kp为一有限的常值。对于Ⅰ型和Ⅰ型以上的系统，因为它们的Kp为无穷大，所以稳态误差为零。也就是说，系统在阶跃输入信号作用下，无差的条件是开环传函中至少有一个z=1的极点。2、斜坡输入信号

r(t)的z变换为，得