数学文化 课件 0-序：数学与文化

数学文化薛有才，教授，山西临猗人。主要研究方向为：计算数学、数学教育、科学技术哲学。主要讲授课程为：大学数学、高等代数、解析几何、概率与统计、数值分析、信息与编码、数学文化学、宏观经济学等。教师简介课程简介

数学文化主要包含的内容有：对数学的认识、数学的思想与方法、数学文化史、数学文化的价值、数学史上著名事件的意义分析、著名数学家及其影响；等。

重点在数学的思想与方法及数学的文化价值。主要参考资料《数学文化学》，郑毓信等著，四川教育出版社。《数学文化》，张楚廷编，高等教育出版社。《数学哲学与数学文化》，黄秦安著，陕西师范大学出版社。《数学的思想、方法和应用》，张顺燕著，北京大学出版社。文理交融，全面发展，会当凌绝顶，一览众山小！序言——数学与数学文化章节目录1.数学的基本特征2.什么是数学3.数学是人类文化最重要的部分

数学最基本的特征：

（1）抽象性

（2）逻辑演绎性

（3）应用的广泛性

（4）语言性（5）教育的深刻性1.数学的基本特征（1）数学的抽象性

提起数学的抽象性，每个人都有深刻的体会。例如，数字“3”,不是“3个人”、“3个苹果”等具体物件的数量，而是完全脱离了这些具体事物的抽象的“数”。

数学中研究的形——三角形、四边形等，也不是三角板、长方形纸片或足球场等具体形状，而是与这些具体事物完全无关的、抽象的“几何图形”。

数学中的等式“3=3”，也是完全抽象的。如果我们说，3公斤干枯的杨树叶等于3公斤黄金，大家一定会发出一片嘘声。但是“3=3”并没有告诉我们左边的3是黄金还是杨树叶。当然，我们更不用说今天的代数数论、抽象代数学、拓扑学等现代数学分支了。

为什么数学必须是抽象的？它具体点可以么？事实上，数学的抽象性主要是由于数学研究的对象。数学是模式的科学，它研究事物及其相互间量的关系。它必须抛开事物具体的物理特征，而仅研究事物所具有的量的关系。还是让我们通过例子来说明吧。例1七桥问题

18世纪时,帕瑞格河从哥尼斯堡(现属于俄罗斯)城中流过,河中有两个岛,把该城分为四个部分，河上7座桥，将两岸和岛连接，如图1所示。城里的人从桥上走来走去，有人便提出这样一个疑问：一个人能否依次走过所有的桥，而每座桥只走一次？如果可以的活，这个人能否还回到原来出发地?这就是有名的“七桥问题”。许多人都在试验，每天都有许多人在想法“不重复地走遍”所有这七座桥。但是，没有人能够完成这一“壮举”。这个问题有答案么？

图1

图2图3

欧拉把问题抽象为：把城市的4个部分不断缩小，最后都缩成一点，而把连接两部分陆地的桥，设想成连接这两点的一条线，于是得到一个“图”，如图2（或图3）所示。于是，原来的问题就变为：这个图能否一笔画成而不重复？如果可以的话，起点是否与终点重合？几个定义

由彼此相连接的顶点和边组成的部分图形(子图)，称为图的一条“链”或“路”。如果一条路首尾相连，则称为回路，或环。

一个图,如果每两个顶点都有且只有一条边相连，则称之为“完全图”。如果图G的一条链，包含了G的所有顶点和边，则称之为“欧拉链”；特别地，如果一条回路包含G的所有顶点和边,则称之为“欧拉回路”。于是，七桥问题就变成：图2是否为一个欧拉链？或者，它是否为一个欧拉回路？几个定义

为此，需要关于顶点的几个概念。

一个顶点所聚集的边的数目,称为该顶点的“度”。顶点的度是奇数,称为“奇顶点”；顶点的度是偶数,称为“偶顶点”。

关于一个图是否为欧拉链或者欧拉回路，有一个简单的判定准则。我们把它写成定理的形式：定理

定理1(欧拉回路判定准则)一个连通图(图中任何两个顶点都能够用一条链来连接)是欧拉回路的充要条件是它的奇顶点的个数是0或2。

由此可以得到图是否可以一笔画的判定准则:

定理2(一笔画判定准则)如果一个图上的奇顶点的个数是0或2,该图就可以一笔画,否则不能一笔画。特别地,若奇顶点的个数为0,即图上没有奇顶点,则该图不仅可以一笔画,而且起点还能与终点重合。

据此，对于上述七桥问题很容易得出结论：因为图上的4个点都是奇顶点，所以它不是欧拉回路，也不是欧拉链，所以它不能一笔画。从而知道哥尼斯堡七桥问题的答案是否定的。

这就是数学中的抽象过程，陆地再大再广，在所研究的问题中作用并不大，它们与一个点的作用相当。桥也不管长短曲直与宽阔，完全可以用一条曲线代替。抽象的结果，走路问题变成了一笔画问题。数学抽象方面的特点:

第一，在抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切。

第二，数学的抽象是经过一系列阶段而产生的；抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。数学中许多概念是在抽象概念之上的抽象。例如，群的概念。

第三，数学抽象的特殊性在于数学对象是借助于明确的定义建构的；在严格的数学研究中，我们都只能依据相应的定义和推理规则进行，而不能求助于直观。例如，“虚单位i”就是人们为了满足运算而构造出来的。（2）数学的逻辑演绎性

获取知识有很多方法，经验的方法、归纳的方法、类比的方法。

远古时期的数学公式由经验积累而成。例如，古人对许多图形求面积的方法就是在多次反复体验的基础上得出来的。

类比的方法也在很多场合运用，如数学以平面的性质类比得出立体空间的性质。当然这些类比得到的结果还必须进行证明。

使用得更为广泛的另一种推理方法是归纳法。归纳过程的本质在于：在有限的几个例子的基础上概括出一些总是正确的结论。归纳法在科学实验中是基本的推理方法。尽管由归纳推理得出的结论，似乎被事实证明是正确的，但还不能说这些结论就确定无疑。归纳推理的方式还有其它的限制。比如我们不能采用归纳方法将一项未经试验的法律对社会的作用作出结论。演绎法：

数学中还有一种更重要的获取知识的方法，这就是古希腊人发展的演绎法。所谓演绎法是一种运用理性思维形式从一些普遍性结论或一般性原理中推导出个别性结论的论证方法。例如，在数学上，从原始概念和公理出发，运用演绎思维得出一些定理，然后再依据这些定理以及定义等继续进行推理论证，得出一个比较完整的数学理论系统。欧几里得几何学是世界上第一个演绎推理系统，它从几个不证自明的公理与一些基本定义出发，运用演绎推理方法，得到一系列几何（数学）定理，形成一个完整的公理化体系。演绎法：

演绎法有很多优点:

首先，如果前提确定无疑则结论也确定无疑；

其次，与试验相反，即使不利用或缺乏昂贵的仪器，演绎也能进行下去；

再次，在行动之前，用演绎推理我们就已经知道结论。

演绎法具有的这些优点，使得它有时成了唯一有效的方法。例如，计算天文距离不可能使用直尺，而且试验也只能使我们局限在很小的时空范围内，但是演绎推理却可以对无限的时空进行研究。

我们说数学是精确的，如“3+5=8”,是精确的,不是近似的，估计的；欧氏几何定理“三角形三内角之和等于180°”，是从几何公理和定理，经过逻辑推导出来的。数学的精确性，来源于数学的演绎推理。

设有10本书，共3类，文学类（A类），史学类（B类）、数学类（C类），证明至少有一类书有4本或4本以上。这个问题很容易通过反证法证明。

假设A类、B类、C类的书都不超过3本，那么所有的书加起来就不超过9本。这与有10本书相矛盾。所以，至少有一类书超过3本，即4本或4本以上。

这个问题相当于：有10件物品，装在3个抽屉里，那么有一个抽屉至少有4件物品。这是一个具体的抽屉原理问题，看似很简单，却很有用。例2抽屉原理的应用

从古希腊开始，演绎的方法过去一直是数学中“唯一”被承认的方法，归纳的方法几乎被赶出了数学的家园。但是在近年，我国数学家吴文俊院士、张景中院士等却发展了一种“例证法”——用演绎来支持归纳。

例如，证明恒等式：我们用代入上式，两边都是

；用代入上式，两边都是；用代入上式，两边都是。这就已经证明了上式一定是恒等式。这是因为如果它不是恒等式，它一定是一个二次或一次代数方程，那么它最多只有两个根。现在都是根，说明它不是方程而只能是恒等式。

华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。（3）数学应用的广泛性哈雷彗星的发现

古时人们认为彗星的出现是不祥之兆，直到17世纪，英国天文学家哈雷开始计算彗星轨道时，发现1682年、1607年和1531年出现的彗星有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在1758年底或1759年初再次出现。1759年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的1742年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为“哈雷彗星”。

哈雷彗星的回归周期为76年，最近一次的回归是在1986年；下一次回归是在2062年。哈雷彗星的发现

海王星的发现

这个太阳系最远的行星（之一），是1846年在数学计算的基础上发现的。天文学家分析了天王星运动的不规律性，推断出这是由其他行星的引力而产生的。勒未累计算出它应处的位置，观察员在指定位置发现了该行星。航海家2号拍摄,1989.8.

二战结束、比利时解放后，荷兰保安部开始搜捕纳粹同谋犯。他们发现了一个银行家曾充当把17世纪荷兰名画家杨·费美尔（JanVermeer，1632~1675）的油画《捉奸》卖给格林的中间人。这个银行家又泄漏，他是三流荷兰画家H·A·范·米格伦（VanMeegeren）的代表，因此范·米格伦因通敌罪于1945年5月29日被捕。同年7月范·米格伦在牢房里宣布，他从未把《捉奸》买个格林，并说，这幅画和非常著名、非常美丽的《埃牟斯的门徒》以及其他四幅冒充费美尔的油画和两幅冒充德胡斯（deHooghs，17世纪荷兰画家）的油画都是他自己的伪作。为了澄清这一问题，由一些卓越的化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组受命调查这一事件。例3

范·米格伦伪造名画案他们用X射线检查画布上是否曾经有过别的画，此外，他们分析了颜料，考查了画中有没有经历岁月的痕迹。专家小组找到了现代颜料钴兰的痕迹，并在几幅画里检验出20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范·米格伦于1947年10月12日被确认为伪造罪，判刑一年。但是，许多人不相信《埃牟斯的门徒》是范·米格伦伪造的。他们需要一个完全科学的、判定性的证明，指出《埃牟斯的门徒》的确是伪制品。卡内基·米伦大学的科学家们在1967年做到了这一点。

测定油画依旧需要放射性的知识。我们从化学中所熟知的事实说起，地壳中几乎所有的岩石都含有少量的铀。岩石中的铀蜕变为另一种放射性元素，而该放射性元素又蜕变为一系列其他元素，最后变为无放射性的铅。铀的半衰期是4.5×109年，它不断为这一系列中后面的各元素提供来源，使得当它们蜕变后就有前面的元素予以补充。

现在让我们利用这一信息——根据制造铅白时的原有铅-210的含量来计算铅-210现在在样品中的含量。设y(t)是在时刻t每克铅白所含铅-210的数量，

是制造时间的每克铅白所含铅-210的数量，r(t)是时刻t每克铅白中的镭-226每分钟蜕变的数量。如果λ是铅-210的衰变常数，则我们有下面的方程：

通过分析与解这个方程，可以肯定，这些画确实是伪造之物。

不少自然科学家，特别是理论物理学家都曾明确地强调了数学的语言功能。

波尔：数学不应该被看成是以经验的积累为基础的一种特殊的知识分支，而应该被看成是普通语言的一种精确化，这种精确化给普通语言补充了适当的工具来表示一些关系，对这些关系来说普通字句是不精确的或过于纠缠的。严格说来，量子力学和量子电动力学的数学形式系统，只不过给推导关于观测的预期结果提供了计算法则。（4）数学的语言性狄拉克：数学是特别适合于处理任何种类的抽象概念的工具，在这个领域内，它的力量是没有限制的。正因为这个缘故，关于新物理学的书如果不是纯粹描述实验工作的，就必须基本上是数学性的。

爱因斯坦：人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像，于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界，并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。……理论物理学家的世界图像在所有这些可能的图像中占有什么地位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有数学语言才能达到。

一般来说，即如对客观世界量性规律性的认识，人们对于其他各种自然规律的认识也并非是一种直接的、简单的反映，而是包括了一个在思想中“重新构造”相应的研究对象的过程以及由内在的思维构造向外部的“独立存在”的转化。特殊地，就现在的理论研究而言，这种相对独立的“研究对象”的构造则又往往是借助于数学语言得以完成的（数学与一般自然科学认识活动的区别之一就在于数学对象是一种“逻辑建构”；一般的科学对象则可以说是一种“数学建构”），显然，这也就更为清楚地表明了数学的语言性质。补充说明：

1）强调数学的语言性质，即是肯定了数学的规范功能，这也就是数学的语言观与所谓的毕达哥拉斯-柏拉图传统的主要区别所在。这就是说，按照数学的语言观，数学不能被认为是揭示了事物或现象的本质，而只能说是为相应的认识活动提供了必要的概念框架，或者说必要的规范。另外，对于数学规范性的强调也就是对于思维在认识活动中创造性作用的直接肯定。这不仅是指新的数学概念、理论本身即是创造性思维的产物，而且是指数学语言的应用也为新的科学概念的创造提供了现实的可能性。2）作为问题的另一方面，我们又不能因强调数学的预言性质而完全否认了数学（以及自然科学）的客观真理性。特别是，就整体、过程、总和、趋势、源泉来说，我们应当明确肯定数学的客观真理性。当然，依据上述的分析，我们应当看到，这里所说的数学的客观内容不仅涉及不依赖于人类的物质存在，而且也涉及人类自身的活动，即人类与外部存在的相互作用。

虽然数学具有广泛的应用，但我们不能指望每个数学定理或数学公式在我们日常生活中都有用处。但是,通过数学学习所获得的数学思想方法和数学思维习惯,在我们日常生活和实际工作中却时时、处处都在起作用。特别是，现代社会越是发展，所见所做的事情越来越复杂，更需要我们用数学的思维方式、方法去观察、思考和理解，即需要我们“数学地”去思考和解决。这实际上就是要发挥数学的文化价值。（5）数学教育的深刻性

所谓数学的文化价值，主要是指数学对于人们观念、精神、以及思维方式的养成所起到的十分重要的影响。

首先，数学对于人类理性精神的养成和发展有着特别重要的意义，而后者则就被看成人类文明、特别是西方文明的核心所在。

其次，数学有着重要的思维训练功能，而这不仅仅是指逻辑思维的训练，而是有着更为广泛的涵义。例如，数学对于人们抽象思维能力的培养就有着特别的重要性。

在对数学的文化价值的研究中，郑毓信先生提出了数学教育对发展人们“数学理性”的重要意义。所谓数学理性，其主要内涵是：

第一，主客体的严格区分，在自然界的研究中，我们应当采取纯客观的、理智的态度，而不应掺杂有任何主观的、情感的成分；

第二，对自然界的研究应当是精确地、定量的，而不应是含糊的、直觉的；

第三，批判的精神和开放的头脑；

第四，抽象的、超验的思维取向。

另外，由于数学研究的对象并不一定具有明显的直观背景，而是各种可能的量化模式。因此，这也就为人们创造性才能的充分发挥提供了最为理想的场所。数学不仅有利于人们逻辑思维的发展，而且有利于人们创造性才能，包括审美直觉的发展。2.什么是数学

对于什么是数学，有很多的回答。不要说我们普通人，即使对于那些大数学家来说，这也是一个难以回答的问题。恩格斯说……数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称数与形）的科学。

——恩格斯名人名言数学的11个“定义”1）知识说2）科学说

3）对象说

4）模式说

5）方法说

6）发明与发现说

7）艺术说8）技艺说9）语言说10）思维说11）文化说

2.什么是数学？知识说

这应是大多数人对数学的一种看法，即数学是一门知识，它包括算术、代数、几何、三角、微积分、概率和统计、拓扑学等。也就是说，数学是这些知识的集合。科学说

“我们常常把数学看做一门严格的科学，并且数学也必须是严格的。”（A.Weiner）“数学是关于与内容相脱离的形式与关系的科学。”（亚历山大洛夫）对象说

“数学的最初和基本的对象是空间形式和数量的关系。”（恩格斯）“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的。最简单地说，是研究数与形的科学。”模式说

“数学是模式的科学。数学家们寻找存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象的模式。”（L.Steen）方法说“数学鲜明地区别于人类的其他所有知识体系之处在于，它坚持从作为必要条件的、已阐明的公理出发进行演绎证明，得出可以被接受的结论。”（M.Kline）“纯数学是一组假设和演绎的理论，可以不靠直觉而从这些假设严格地导出结果。”（G.Fitch）发明与发现说

“我认为，数学的实在存在于我们之外，我们的职责是发现它或遵循它。”（G.Hardy）“数学是人类的发明。”（P.Bridgman）“数学家是通过构造而工作的，他们构造越来越复杂的组合。”（H.Poincare）艺术说“我几乎更喜欢把数学看做艺术，然后才是科学，因为数学家的活动是不断创造的。”（M.Bodier）

“数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的概念。”（H.Fehr）“数学是所有人类活动中最完全自主的，它是最纯的艺术。”（J.Sullivan）“数学是一门艺术，因为它创造了显示人类精神的纯思想的形式和模式