高中数学人教A版选修2-3课件2-3-2离散型随机变量的方差

2.3.2离散型随机变量的方差1.离散型随机变量的方差、标准差(1)定义:设离散型随机变量X的分布列为则(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度,量X与其均值E(X)的平均偏离程度,我们称D(X)为随机变量X的方差,并称其算术平方根

为随机变量X的标准差.(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(3)离散型随机变量的方差的性质:设a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X).【思考】

随机变量的方差与样本的方差有何不同?提示:样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.【做一做1】

已知X的分布列如下表:

若Y=3X-1,则D(Y)的值为(

)A.-∵Y=3X-1,∴D(Y)=9D(X)=5.

答案:B

2.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p);(2)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).【做一做2】

已知两名射手每次射击中靶的概率分别为0.8和0.7,若各射击3次,则两名射手中靶次数的方差分别为(

).8,0..4,2.1.48,0..16,0.21解析:两名射手独立射击3次的中靶次数都服从二项分布,即X~B(3,0.8),Y~B(3,0.7),所以D(X)=3×0.8×0.2=0.48,D(Y)=3×0.7×0.3=0.63.答案:C探究一探究二探究三规范解答求离散型随机变量的方差例1

袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.思路分析:(1)根据题意,由古典概型的概率公式求出分布列,再利用均值、方差的公式求解.(2)运用E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X),求a,b.当堂检测探究一探究二探究三规范解答解:(1)X的分布列为

(2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,得a=±2.又E(Y)=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.当堂检测探究一探究二探究三规范解答反思感悟1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤:理解X的意义,写出X可能取的全部值↓写出X取每个值的概率↓写出X的分布列↓由均值的定义求出E(X)↓当堂检测探究一探究二探究三规范解答2.对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aξ+b)=a2D(ξ),这样处理既避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.当堂检测探究一探究二探究三规范解答变式训练1袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差.解:由题意可知,X的所有可能取值为5,4,3.故X的分布列为

当堂检测探究一探究二探究三规范解答两点分布、二项分布的方差例2某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率是

.(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差;(2)若遇上红灯,则需等待30秒,求司机总共等待时间Y的均值与方差.解:(1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布,(2)由已知得Y=30X,∴E(Y)=30E(X)=60,D(Y)=900D(X)=1

200.当堂检测探究一探究二探究三规范解答反思感悟1.如果随机变量X服从两点分布,那么其方差D(X)=p(1-p)(p为成功概率).2.如果随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),那么方差D(X)=np(1-p),计算时直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程.当堂检测探究一探究二探究三规范解答变式训练2已知p,q∈R,X~B(5,p),若E(X)=2,则D(2X+q)的值为(

)...4+q.8+q解析:∵X~B(5,p),∴E(X)=5p=2.∴p=0.4.D(X)=5×0.4×0.6=1.2,∴D(2X+q)=4D(X)=4×1.2=4.8.答案:B当堂检测探究一探究二探究三规范解答离散型随机变量的方差的应用例3

甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且候鸟的种类和数量也大致相同,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:试评定这两个保护区的管理水平.思路分析:要比较两个保护区的管理水平,要先比较两个保护区违反保护条例的事件的平均次数,然后比较其稳定性,即方差.当堂检测探究一探究二探究三规范解答解:甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同,但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大,乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定.相对而言,乙保护区的管理更好一些.当堂检测探究一探究二探究三规范解答反思感悟离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均水平高,再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要求不同,应视具体情况而定.当堂检测探究一探究二探究三规范解答变式训练3为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设X为成活沙柳的株数,均值E(X)为3,标准差(1)求n和p的值,并写出X的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率.当堂检测探究一探究二探究三规范解答解:由题意知,X服从二项分布B(n,p),X的分布列为

(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(X≤3),当堂检测探究一探究二探究三规范解答离散型随机变量的均值与方差问题典例

甲袋和乙袋中都装有除颜色外其他都相同的红球和白球,已知甲袋中共有m个球,乙袋中共有2m个球,从甲袋中摸出1个球为红球的概率为,从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m=10,求甲袋中红球的个数;(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出1个红球的概率是,求P2的值;(3)设P2=,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出1个球,并且从甲袋中摸1次,从乙袋中摸2次.设ξ表示摸出红球的总次数,求ξ的分布列和均值.当堂检测探究一探究二探究三规范解答【审题策略】

(1)概率的应用,由甲袋中总球数为10和摸1个球为红球的概率,求袋中红球个数;(2)利用方程的思想,列方程求解;(3)求分布列和均值,关键是求ξ的所有可能取值及每个取值所对应的概率.【规范展示】

解:(1)设甲袋中红球的个数为x,当堂检测探究一探究二探究三规范解答所以ξ的分布列为

当堂检测探究一探究二探究三规范解答【答题模板】

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤:第1步,确定随机变量的所有可能值;第2步,求每一个可能值所对应的概率;第3步,列出离散型随机变量的分布列;第4步,求均值和方差;第5步,反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.失误警示(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值.(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范.如第(3)问中,不明确写出ξ的所有可能取值,不逐个求概率,这都属于解答不规范.当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当X=0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2时,有2种情形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形.所以X的分布列为当堂检测1.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为(

)和0.和0.4和0.和0.8解得n=10,p=0.8.答案:D探究一探究二探究三规范解答当堂检测2.已知随机变量X~B(100,0.2),那么D(4X+3)的值为

(

)A.64 B.256 解析:∵X~B(100,0.2),∴D(X)=100×0.2×0.8=16.D(4X+3)=16D(X)=16×16=256.答案:B探究一探究二探究三规范解答当堂