第三章 函数概念及性质-综合检测卷（培优解析版）

第三章函数概念及性质本卷满分150分，考试时间120分钟。单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，故，又是定义在上的奇函数，∴.故选：D.2．定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（

）A．6 B．4 C．2 D．0【答案】C【解析】∵定义在上的奇函数满足恒成立，∴，∴，又∴，，，∴.故选：C.3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在x=0处连续又是定义域为的奇函数，故在上单调递增.因为，由，可得，又因为在上单调递增，所以有，解得.故选：D4．若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（

）A． B． C．或 D．不存在【答案】B【解析】由函数的图像关于直线对称，知是偶函数，，即，整理得总成立，得，，令，则，当时，有最大值，即的最大值是．故选：B．5．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.6．设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的图象关于点成中心对称，故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.记所以是偶函数，对于任意正数，都，即，所以在单调递增，且，是偶函数,故在单调递减，且当时，，当时，，故的解集为.故选：B7．已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是（

）A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2021）＝－1【答案】B【解析】对于A：因为f(x)是定义域在R上的奇函数，所以，又，令代入可得，故A正确；对于B：因为，所以图象关于对称，无法确定是否关于直线x＝1对称，故B错误；对于C：因为为奇函数，所以，所以，则，故C正确；对于D：由C选项可得，的周期为8，所以，故D正确；故选：B8．函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，则不等式，恒成立，则，恒成立，得，得，恒成立，则且，或且，恒成立，即当时，且，或且，又当，有，，得.故选：C.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．我们知道，函数的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现在已知，函数的图像关于点对称，则（

）A．B．C．对任意，有D．存在非零实数，使【答案】ACD【解析】：由题意，因为函数的图像关于点对称，所以函数为奇函数，所以，故C正确；又，则，所以，解得，所以，则，故A正确，B错误；令，则，解得或，所以存在非零实数，使，故D正确.故选：ACD.10．.函数对任意总有，当时，，，则下列命题中正确的是（

）A．是偶函数B．是上的减函数C．在上的最小值为D．若，则实数的取值范围为【答案】CD【解析】：取，，则，解得，令，则，即，函数是奇函数，所以选项A错误；令，且，则，因为当时，，所以，则，即，函数是上的增函数，所以选项B错误；因为函数是上的增函数，所以函数在上的最小值为，，，，故，在上的最小值为，所以选项C正确；，即，因为函数是上的增函数，，所以，所以实数的取值范围为，所以选项D正确.故选：CD.11．定义在R上的偶函数f（x）满足，且在上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（

）A．f（x）的图象关于直线对称 B．f（x）在[0，1]上是增函数C．f（x）在[1，2]上是减函数 D．【答案】AD【解析】：根据题意，若，则，即，是周期为2的周期函数，则有（2），故D选项正确；若，且函数为偶函数，则有，则函数的图象关于直线对称，故A选项正确；在，上是增函数，且函数为偶函数，则函数在，上是减函数，B选项错误；在，上是增函数，且是周期为2的周期函数，则函数在在[1，2]上是增函数，C选项错误.故选：AD.12．（多选）定义在上的奇函数，满足任意的，都有成立，且当时，.下列说法中正确的有（

）A．函数为周期函数B．函数的对称中心为C．当时，函数的图象与轴围成图形的面积为平方单位D．【答案】ACD【解析】因为奇函数满足，所以，所以有，所以为周期为函数，故A正确；又表示图象关于直线对称，结合当时，，可以作出函数的图象，如图：显然（1,0）不是对称中心，B错误；当时，函数的图象与轴围成图形的面积为个平方单位，C正确；由图象可知，，因为周期为4，而，所以，D正确.故选：ACD.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】：由，可得则，故函数的周期为，则，又因为函数是定义在上的奇函数，，所以，，即所以，解得所以，实数的取值范围是．故答案为：14．若，，，，使则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集．在上，二次函数的值域是，单调递增的一次函数的值域是，则，则且，解得．故答案为：．15．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】由题意知，则，所以恒成立等价于恒成立.由题意得在R上是增函数，所以恒成立，即恒成立.又，所以当时，取得最大值所以，解得.故实数a的取值范围是.故答案为：.16．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（10分）已知是定义在上的奇函数，且当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)因为函数为定义域上的奇函数，所以，当时，，所以，因为是奇函数，所以，所以，所以(2)作出在区间上的图象，如图：可得函数在上为减函数，所以的最小值为，要使对所有，恒成立，即对所有恒成立，令，，则，即，可得：，所以实数的取值范围是.18（12分）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)解不等式．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】(1)：因为函数，恒成立，所以，则，此时，所以，解得，所以；(2)证明：设，则，，，且，则，则，即，所以函数是增函数．(3)，，是定义在上的增函数，，得，所以不等式的解集为．19（12分）已知二次函数．(1)若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为在单调递增，所以，解得；(2)因为在上恒成立，所以在恒成立，即在恒成立．令，则，当且仅当时等号成立．所以．20（12分）已知定义在上的函数满足：①对任意，，；②当时，，且．（1）试判断函数的奇偶性．（2）判断函数在上的单调性．（3）求函数在区间上的最大值．（4）求不等式的解集．【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4）或．【解析】（1）令，则；，得；再令，则，得．由，令，则，∴．又函数的定义域关于原点对称，∴函数为偶函数．（2）任取，，且，则有．又∵当时，，∴．而，即，∴函数在上是增函数．（3）∵，且，∴．又由（1）（2）知函数在区间上是偶函数且在上是增函数，∴函数在区间上的最大值为．（4）∵，，∴原不等式等价于，又函数为偶函数，且函数在上是增函数，∴原不等式又等价于，即或，得或，得或，∴不等式的解集为或．21（12分）函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.（1）求的值；（2）判断单调性并证明；（3）若，解不等式.【答案】（1）（2）是上的增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】(1)令,得,∴.(2)是上的增函数,证明：任取,且,则,∴,∴,即,∴是上的增函数.(3)由及,可得,结合（2）知