第5章 三角函数典型例题复习（二）（解析版）3

第五章三角函数三角函数综合应用1．（2020·安徽省蚌埠第三中学）已知函数，（1）写出函数的周期；（2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数的图像，写出函数的表达式，并判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2），奇函数【详解】解：因为，所以函数的周期,（2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数，因为，所以函数为奇函数2．（2020·河南南阳·高一期末）已知．（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，且，求的值．【答案】（1）（2）（3）试题解析：（1）（2）（3）3．（2020·全国高一课时练习）如图为函数的一段图象.(1)请写出这个函数的一个解析式；(2)求与（1）中函数图象关于直线对称的函数图象的解析式，并作出它一个周期内的简图．【答案】（I）；（II）见详解【详解】（I）又由的图象过，（为其中一个值）.∴为所求.（II）设为所求函数图象上任意一点，该点关于直线对称点为，则点必在函数的图象上.∴，即，所以与的图象关于直线直线对称的函数图象的解析式是列表：作图：4．（2021·陕西省洛南中学高一月考）已知函数．（1）利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图．列表作图：（2）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【详解】（1）列表0020-20作图（2）将图象向左平移个长度单位，可得，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得，纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，可得.5．（2021·全国高一课时练习）已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图像，讨论在上的单调性．【答案】（1）；（2）单调递减区间，，单调增区间.【详解】（1）∵函数是偶函数，∴，，又，∴；（2）由（2）知，将的图象向右平移个单位后，得到，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到，当，，即，时，的单调递减，当，，即，时，的单调递增，因此在，的单调递减区间，，单调增区间.6．（2021·齐河县第一中学）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0①②③02④-20（1）请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式；（2）将的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象，若函数图象的一个对称中心为，求的最小值.【答案】（1）表格见解析；；（2）.【详解】解：（1）根据表中的数据，得又函数的解析式为分别令，依次解得数据补全如下表：0020-20所以函数的解析式为（2）由（1）知得，因为函数图像的对称中心为，令解得.因为函数图像的一个对称中心为，所以，解得.由可知，当时，取得最小值为.7．（2021·广东高一单元测试）已知函数的最小正周期为，且.（1）求和的值.（2）将函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，得到函数的图象，①求函数的单调递增区间；②求函数在上的最大值.【答案】（1），；（2）①；②最大值为.【详解】解：（1）的最小正周期为，所以，即.又因为，所以，因为，所以.（2）由（1）可知，函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，所以.①由，得函数的单调递增区间为.②因为，所以.当，即时，函数取得最大值，最大值为.8．（2021·江西九江市·九江一中高一期中）已知函数．（1）求函数最小正周期；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到，求在上的值域．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）所以函数最小正周期为（2），利用正弦函数的性质知：，所以在上的值域为9．（2021·全国高一课时练习）将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．（1）求函数的解析式．（2）当时，方程有唯一实数根，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）将的图象向左平移个单位长度可得的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象，故．（2）令，则，又，所以单调递增，单调递减，单调递增，所以，当时，，当时，．故使方程有唯一实数根的m的取值范围为．10．（2021·陕西省洛南中学高一月考）已知函数（其中，，）的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．（1）求的解析式；（2）求函数的单调区间．（3）若时，有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）的单调增区间为，减区间为；（3）【详解】（1）因为图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和，所以，且，所以，解得，又图象与轴的交点为，所以，即，又，所以，所以.（2）令，解得，所以的单调增区间为，令，解得，所以的单调减区间为（3）因为在有两个零点，所以在有2个实根，即在有2个实根，所以图象与图象在有2个交点，作出两函数图象，如图所示，由图象可得，解得.所以实数的取值范围11．（2021·河北武强中学高一月考）已知函数，其中，函数图像上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值.（1）求函数的解析式.（2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将向左平移个单位，得到函数图象，求函数的单调递增区间.（3）若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）或.【详解】（1）函数，其中，由题知函数的最小正周期为，解得，又函数在处取到最小值-2，则，且，即令可得，∴.（2）函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得，再向左平移个单位可得令，解得，∴的单调递增区间为（3）方程在上有两个不同的实根，作出函数的图象，由图可知或解得或.12．（2021·山东威海·）已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为．（Ⅰ）求的值及的单调递减区间；（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的值域．【答案】（Ⅰ