高考数学 特色题型汇编：多项选择题-立体几何与空间向量（基础、中档、压轴）（原卷及答案）（新高考地区专用）

多项选择题一立体几何与空间向量（基础、中档、

压轴）

1.如图，点A,B,C,M,N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足〃平面ABC

2.如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形

状可能为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.以下条件能够判断平面a与平面夕平行的是（）

A.平面a内有两条直线与平面夕平行

B.两不同平面a,夕平行于同一个平面

C.平面a内的任意一条直线与平面夕无公共点

D.夹在平面a与平面夕间的两条平行线段相等

4.设〃?，〃为不同的直线，口,夕为不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若m"a,nila,贝!］，〃//〃B.若帆J_a,贝！］，〃//〃

C.若mlaI,mu（3,则a//£D.若〃?_LiZ,nV［｝,mYn,则a-L/?

5.如图是一个正方体的平面展开图,将其复原为正方体后，互相重合的点是（）

C.8与。D.C与F

6.已知正方体ABCO-ABCR的棱长为小点尸为侧面BCC当上一点（含边界），点

Q为该正方体外接球球面上一点.则下面选项正确的是（）

A.直线AP与平面ABC。所成最大角为JTT

B.点。到正方体各顶点距离的平方之和为12/

C.点Q到点A和点G的距离之和最大值为（1+五）〃

TTTT

D.直线AP与直线8。所成角范围为py

7.在正四面体A-BCD中，AB=3,点。为△ACO的重心，过点0的截面平行于AB

和8,分别交BC,BD,AD,AC于E,F,G,H,则()

A

A.四边形EFGH的周长为8

B.四边形EFG”的面积为2

C.直线A8和平面EFGH的距离为夜

D.直线4c与平面EFGH所成的角为J

8.已知加，〃是两条不同直线，a,p,7是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A.若加〃a,n//a,则〃?〃〃B.若a//y,pily,则a〃6

C.若用〃a,mlIp,则a〃£D.若加_Lar,nVa,则加〃〃

9.已知正方体ABC。-A内G2,则（）

A.直线BG与0A所成的角为90。B.直线与CA所成的角为90。

C.直线BG与平面85QO所成的角为45°D.直线BQ与平面ABC。所成的角为45。

10.如图，ABC。是底面直径为2高为1的圆柱。。的轴截面，四边形OOQA绕。。逆

时针旋转6（0464万）到。OQA,则（）

A.圆柱0。1的侧面积为4z

B.当0<6时，DD}1A,C

C.当。时，异面直线A。与。。所成的角为£

34

D.de。面积的最大值为G

11.已知直线平面a,直线机U平面a,则（）

A.若/与小不垂直，贝IJ/与a一定不垂直

B.若/与机所成的角为30,则/与。所成的角也为30

C.〃/，”是〃/a的充分不必要条件

D.若/与a相交，则/与〃?一定是异面直线

12.如图，在正方体A8CO-44G2中，。为正方形ABCO的中心，当点尸在线段BG

上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是（）

c.AAD.ADt

13.我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立.下面给出的平面几何

中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）

A.平行于同一条直线的两条直线必平行

B.垂直于同一条直线的两条直线必平行

C.一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补

D.一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补

14.“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学

的对称美.某天小明在广场上发现了如图1所示的一个石凳，其形状是将一个正方体沿

交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正

三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（如图2所示）.小明用卷尺测量出这个

石凳的高度为50cm,他给出了如下判断，请你指出小明的哪些判断是正确的（）

图1图2

A.这个石凳共有24条棱，12个顶点，14个面

B.一个体积为1立方米的正方体石料可以切割出8个这样的石凳（不计损耗）

C.这个石凳也可以由一个直径为70cm的球形石料切割而成（不计损耗）

D.如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度会增加

15.某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒,每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，

相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于

底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R,球形巧克力的半径为『，每

个球形巧克力的体积为匕，包装盒的体积为匕，则（）

B.R=4rC.匕=9匕D.2%=27K

16.如图，四边形43CD为正方形，EDL^ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,记三

棱锥E-AC。，F-ABC,歹一ACE的体积分别为匕,匕,匕，贝D（）

£

A.匕=2%B.匕=匕

c.匕=V+KD.2匕=3匕

17.棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、cq上，CP=X,CQ^y,

xe[O,l],ye[O,l]j±x2+/^O,过A、P、Q三点的平面截正方体ABC。-4田6。得

A.x=V时，截面一定为等腰梯形B.x=l时，截面一定为矩形且面积最大

值为应

C.存在x,y使截面为六边形D.存在x,y使8R与截面平行

18.直三棱柱A8C-A4G，中，ABLAC,A8=AC=A4,=1,点。是线段8c上的

动点（不含端点），则（）

A.AC//平面A8。

B.8与AG不垂直

C./ADC的取值范围为m

D.A£>+DC的最小值为相

19.已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面圆直径为26，A,B,C为底面圆周上的

三个不同的动点，M为母线尸C上一点，则下列说法正确的是（）

A.当48为底面圆直径的两个端点时，ZAPB=120°

B.△以8面积的最大值为g

C.当△出B面积最大值时，三棱锥C-B4B的体积最大值为上史

3

D.当AB为直径且C为弧A8的中点时，"A+MB的最小值为价5

20.中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的

上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示

的曲池，它的高为2,M.BB,,CC,,均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两

个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90。，则以下命题正确的是（）

4

A.AB1与CA成角的余弦值为:

B.A，B,C,A四点不共面

C.弧AR上存在一点E,使得BE〃CA

D.以C点为球心，石为半径的球面与曲池上底面的交线长为|■不

21.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面围成的

多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一

个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12+46，则关于该半正

多面体的下列说法中正确的是（）

TT

A.A8与平面8C。所成的角为二B.AB=2近

4

C.与A8所成的角是2的棱共有16条D.该半正多面体的外接球的表面积为6）

22.如图所示，在四棱锥中S-AB8中，ABC。为正方形，SC=SD=CD=\,E为线

段SO的中点，尸为AC与8。的交点,AD1SD.则下列结论正确的是（）

A.平面SCOB.EFP平面

C.平面SCO平面488D.线段BE长度等于线段W长度

23.如图，在直三棱柱ABC-A4c中，ABC是边长为2的正三角形，M=4,M为

CG的中点，P为线段AM上的动点，则下列说法正确的是（）

A.AP+BP的最小值为40

B.三棱锥P—ABM的体积的最大值为拽

3

C.不存在点P,使得3尸与平面A4G所成的角为60。

D.三棱锥M-A3C的外接球的表面积为筹

24.棱长为4的正方体ABC。-48cA中，E,尸分别为棱AQ,A4的中点，若

4G=XgC（°〈2Wl）,则下列说法中正确的有（）

A.三棱锥尸-AEG的体积为定值

"'

B.二面角G-EF-A的正切值的取值范围为:2，2&

C.当4时，平面EGG截正方体所得截面为等腰梯形

D.当4==3时，三棱锥A-EFG的外接球的表面积为1宁53乃

44

25.已知正四棱锥P-ABCD的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱P。上，且

PM=2MD,点。在底面ABC。及其边界上运动，且〃面上钻，则下列说法正确的

是（）

A.点Q的轨迹为线段

B.与CO所成角的范围为y,y

C.的最小值为百

D.二面角M-A8-Q的正切值为立

5

26.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽ABC。-A8GA，水面高度为

2,水槽侧面CDRG上有一个小孔E,点£到直线CD的距离为3,将该水槽绕CD倾斜

（CD始终在桌面上）至恰有水从小孔E流出，则在倾斜过程中，下列说法正确的有（）

A.没水的部分始终呈四棱柱形

B.水面始终经过水槽的外接球的球心

C.水面的面积为定值

D.E到桌面的最小距离为石

27.如图是四棱锥P-ABC。的平面展开图，四边形43。是矩形，

ED±DC,FD1DA,DA=3,DC=2,ZFAD=30°.在四棱锥P_A3C£>中，M为棱心上

一点（不含端点），则下列说法正确的有（）

A.AM+CM的最小值为>+3®

2

B.存在点M,使得DM_L8C

C.四棱锥P-A8CD外接球的体积为容

D.三棱锥M-Rm的体积等于三棱锥M-PCD的体积

28.在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面的射影为ABC的垂心O（O在,.AfiC内部）,

且P0中点为过AM作平行于BC的截面a,过BM作平行于AC的截面夕，记a,

夕与底面ABC所成的锐二面角分别为4，%,若NPAM=NPBM=6,则下列说法正

确的是（）

P

4

A-/

-

B

3

A.若Q4=P3=PC=AB=1,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为5万

B.若4=%,则ac=8c

C.若。尸。2，则tan。］.tana=g

D.。的值可能为［

o

29.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即去四面体的四个顶

点所产生的多面体，如图所示，将棱长为力的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面

的截面得到所有棱长均为。的截角四面体，则下列说法正确的是（）

B.该截角四面体的体积为生包/

A.该截角四面体的表面积为66a3

12

C.该截角四面体的外接球表面积为紧2

D.该截角四面体中，二面角A-3C-O的

余弦值为-g

30.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。。2,在轴截面ABC。

A.该圆台的高为1cm

B.该圆台轴截面面积为3小0?

C.该圆台的体积为当1cm?

D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5cm

31.在直四棱柱中，所有棱长均2,ZBAD=60°,P为CG的中点，点

Q在四边形。Cq。内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）

A.当点Q在线段CD,上运动时，四面体ABPQ的体积为定值

B.若AQ〃平面A8P,则A。的最小值为石

C.若△ABQ的外心为M,则AB-AM为定值2

D.若AQ=4，则点。的轨迹长度为吃

32.如图，在正三棱柱A8C-AgG中，AB=3C=AC=1,叫=2,P为线段上

的动点，且则（）

A.存在2,使得AP_L8C

B.当4时，三棱锥P-A81G的外接球表面积为?

/J

c.当2=9时，异面直线4尸和GB所成角的余弦值为亚

439

D.过P且与直线AB和直线B£所成角都是60的直线有三条

33.已知点区F为正方体ABC。-AB©。的棱AB、BC的中点，过EF的平面a截正

方体，AB=4,下列说法正确的是（）

A.若a与地面A3。所成角的正切值为血，则截面为正六边形或正三角形

B.4与地面A8CO所成角为45则截面不可能为六边形

C.若截面为正三角形EFG时，三棱锥R-EFG的外接球的半径为半

D.若截面为四边形，则截面与平面与针所成角的余弦值的最小值为:

34.如图，已知二面角a-/-£的棱上有不同两点A和B,若Ce/,Dil,ACua,

则（）

a

A.直线AC和直线BO为异面直线

B.若AC=AB=3O=2,则四面体A8C3体积的最大值为2

C.若AC=3,AB=6,BD=4,CD=1,AC±l,BDLI,则二面角a—/—A的大小

TT

D.若二面角a—/-尸的大小为AC=AB=BD=6,AC11,BDLI,则过A、B、

C、。四点的球的表面积为84万

35.如图，圆柱的底面半径和高均为1,线段是圆柱下底面的直径，点。是下底面

的圆心.线段EF是圆柱的一条母线，且已知平面以经过A,B,F三点、,将

平面a截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面a与圆柱侧面的交线为曲线

C.则()

A.曲线C是椭圆的一部分B.曲线C是抛物线的一部分

1-TT

C.二面角F-AB-E的大小为工D.马蹄体的体积为V满足§

36.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球

的直径恰好与圆柱的高相等•“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱

容球，0?为圆柱上下底面的圆心，。为球心，EF为底面圆。的一条直径，若球的

半径r=2,则()

A.球与圆柱的表面积之比为1:2

B.平面OE/截得球的截面面积最小值为为乃

C.四面体CDEF的体积的取值范围为（0,孝

D.若尸为球面和圆柱侧面的交线上一点，则正+尸尸的取值范围为[2+2有,46]

37.在棱长为1的正方体ABCD-AAGA中，点P满足。P=2£»D+〃D4,2e[0,l],

we[0,1],则（）

A.当丸二〃时，BPA.AC}

B.当〃=；时，三棱锥C-PBC的体积为定值

C.当2+〃=1时，CC+PB的最小值为白+石

D.当力+〃2=1时，存在唯一的点P,使得点P到A8的距离等于到。。的距离

38.某工艺品如图I所示，该工艺品由正四棱锥嵌入正四棱柱（正四棱柱的侧棱平行于

正四棱锥的底面）得到，如图H,已知正四棱锥y-EFGH的底面边长为3板，侧棱长

为5,正四棱柱ABCD-A/B/G。/的底边边长为。，且28/rWF=M,DDi^VH=N,

AAiC\VE=P,AAiOVG=Q,CCQVE=R,CCiClVG=S,则()

V

图1图1I

3夜

A.当M为棱V7='中点时，aB.PMVMR

~2~

C.存在实数”，使得2例，何RD.线段MN长度的最大值日

39.如图，在四棱锥S-AB8中，底面A8CD是边长为2的正方形，SA_L底面

他8,54=4氏47,8。交于点0,M是棱S。上的动点，则（）

4

A.三棱锥S-ACM体积的最大值为］

B.存在点“，使QM〃平面SBC

C.点M到平面的距离与点M到平面SA8的距离之和为定值

D.存在点M,使直线QM与A3所成的角为3"

40.某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，

己知球的表面积为16兀，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上

折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（）

cB

①②

A.直线AO与平面。底尸所成的角为三

B.经过三个顶点A,B,C的球的截面圆的面积为日

C.异面直线A。与CF所成角的余弦值为（

O

D.球上的点到底面OEF的最大距离为26+渔+2

3

41.在棱长为1的正方体4BCO-A4G。中，E,F,G分别为线段CG，CD,CB上的

动点（E,F,G均不与点C重合），则下列说法正确的是（）

A.存在点E,F,G,使得AE，平面EFG

B.存在点E,F,G,使得/EEG+NEfC+N£GC=;r

C.当A。，平面E『G时，三棱锥A-EFG与C-EFG体积之和的最大值为3

D.记CE,CF,CG与平面EFG所成的角分别为a,P,Y,则近11%+豆112/?+$言7=1

42.已知正四面体ABC。的棱长为2衣，其外接球的球心为。.点E满足

A£=/IAB（O<^<1）,CF=juCD（0<//<1）,过点E作平面a平行于AC和BD,平面a

分别与该正四面体的棱BC,CD,A。相交于点M,G,H,则（）

A.四边形EA/GH的周长为定值

B.当2=1时，平面口截球。所得截面的周长为画］

42

64

C.四棱锥A-EMG〃的体积的最大值为

7Or1

14

D.当谷必竹时，将正四面体A8CC绕EF旋转90。后与原四面体的公共部分体积为g

43.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始

终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个

顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体

A8C。的棱长为a,则（）

A.能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a

B.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，-岑卜

C.勒洛四面体的截面面积的最大值为:（2兀-6）/

D・勒洛四面体的体积

,12o

44.如图，正方体A8CO-48cA中，顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧，顶

点4,B,C到a的距离分别为遥，1,2,则（）

C,

B.平面A4CJ■平面a

C.直线4修与a所成角比直线AA与a所成角大D.正方体的棱长为2&

45.设正方体ABCZ>—4月£。的棱长为2,尸为底面正方形ABC。内（含边界）的一

动点，则（）

A.存在点P,使得4/P〃平面

B.当时,A"的最小值是10-26

C.若4PG的面积为1,则动点P的轨迹是抛物线的一部分

D.若三棱锥P—A1B£的外接球表面积为于，则动点P的轨迹围成图形的面积为乃

参考答案：

1.AD

【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项.

【详解】对于A选项，由下图可知〃。6/AC,平面ABC,ACu平面力BC,所以

MV〃平面ABC,A正确.

对于B选项，设”是EG的中点，由下图，结合正方体的性质可知，

AB//NH,MN//AH//BC,AMHCH,所以A,8,C,H,N,M六点共面，B错误.

对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知由于4)0平面A8C,所以

MVtZ平面A8C.所以C错误.

对于D选项，设ACcN£=O,由于四边形ASCN是矩形，所以。是NE中点，由于8是ME

中点，所以MN//BD,由于MNU平面A6C,3£>u平面A8C,所以MN〃平面A5C,D正

确.

故选：AD

2.BD

【分析】由正方体的对称性即可得解.

【详解】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形,

如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.

故选：BD

3.BC

【分析】由面面平行的判定定理和面面的位置关系即可判断.

【详解】对于选项A,由面面平行的判定定理可知，若平面a内有两条相交直线与平面尸平

行，则平面a与平面月平行，则A不正确；

对于选项B，平行于同一个平面的两个平面平行，则B正确；

对于选项C,两个平面的位置关系有平行和相交两种，平面a内的任意一条直线与平面仅无

公共点，则平面a与平面夕无公共点，即平面a与平面/平行，则C正确；

对于选项D,相交平面也存在夹在两平面间的两条平行线段相等的情况，则D不正确.

故选：BC.

4.BD

【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.

【详解】解：对A：若向/a,nila,则向/〃或与〃相交或"，与"异面，故选项A错误；

对B：若,则，M/”,故选项B正确；

对C：若“〃a,，"u尸，则a〃尸或a与4相交，故选项C正确；

对D：若a_La,nVP,mLn,则a_L乃，故选项D正确.

故选：BD.

5.ABD

【分析】根据平面展开图，还原正方体，然后进行判断即可.

【详解】将平面展开图，还原正方体如下图所示：

所以互相重合的点是4与8,D与E,C与F,

故选：ABD

6.AB

【分析】过点尸作平面ABC。的垂线，垂足为M,PM最大且AM最小时，所求角最大可判

断A；由AG为外接球的直径可求。到正方体各点的距离的平方和,可判断B；由三角形QAC

为等腰直角三角形时，点。到AG的距离最大可判断C；点P与点8重合时，直线4P与直

线8。所成角为不满足题意可判断D.

4

【详解】解：由题意得：

选项A:过点尸作平面A8C。的垂线，垂足为M,PM最大且AM最小时，所求角最大，此时

TT

点P为点与，所成角为丁，A正确；

选项B:因为4G为外接球的直径，所以NAQ£=90。，QA2+QC；=ACf=3a2,所以点。到

正方体各顶点距离的平方之和为12/,B正确；

选项（2:（04+。弓）2=3/+2。4。0=3/+45、30，当三角形0G为等腰直角三角形时，

点Q到AG的距离最大，此时最大面积为宜，所以QA+2G的最大值为"“，C错误；

4

选项D:当点P与点B重合时，直线AP与直线所成角为f,故D错误.

4

故选：AB

7.BCD

【分析】根据。点式的重心和"GQ可以求出用洞理可求出&则可以

判断A,n，防，则四边形的面积可求，可以判断B,将正四面体补成正方体，

建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再利用向量法求出距离和夹角，则可以判断CD

2

【详解】。为..ASC的垂心，连4。延长与C£＞交于M点，则AO=]AM

:.HG//—CD,:.HG=2,EF=2，HE//—AB,HE=GF=1,

=3=3

，周长为6,A错.

AB±CDf则S印G〃=2X1=2,B对.

将四面体补成一个长方体，则正方体边长为迷，.•.”（0,夜,0）

2

C

(3/J、

P,Q分别为A5,CO中点，PQJ_平面EFGH,n=PQ=0,^—,0

<>

AH-n\必平厂

到平面EFGH距离d=Sc对

2

AC与PQ夹角为：，则AC与平面EFGH的夹角为:，D对

44

故选：BCD

8.BD

【分析】对于A,当加，〃时也可以满足条件；对于B,根据平行于同一个平面的两个平面

平行即可判断；对于C,当a时也可以满足条件；对于D,根据垂直于同一平面的两条

直线相互平行即可判断.

【详解】A项，当机_1_〃时，存在zw//a,n/la,故A项错误；

B项，根据平行于同一个平面的两个平面平行，故B项正确；

C项，当a,尸时，存在帆//a,mlip,故C项错误；

D项，根据垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确.

故选：BD.

9.ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接8。、BC、,因为D4J/BC，所以直线BG与4c所成的角即为直线BC

与。A所成的角，

因为四边形B8&C为正方形，则BC，BC-故直线8G与。4所成的角为90。，A正确；

连接AQ,因为4始，平面B2CC,BGu平面8片GC，则

因为BCJ.BG，A用甲7=耳，所以•平面ABQ,

又ACu平面A4C,所以BG，CA，故B正确；

连接AG，设AGBR=O,连接80,

因为平面A|B|GP，GOU平面A81G则GOJ.AB,

因为CQ_LBQ|,B]Dtr>B]B=B],所以GO_L平面BBQ。，

所以ZC,BO为直线BC,与平面BBQ。所成的角，

设正方体棱长为1,则G0=也，BC\=6.,sinZC,BO=-1^=1,

2力Jz

所以，直线BG与平面842。所成的角为30,故C错误；

因为CCL平面ABC。，所以NC/C为直线BQ与平面ABC。所成的角，易得NC|BC=45,

故D正确.

故选：ABD

10.BC

【分析】对于A,由圆柱的侧面积公式可得；

对于B,由线面垂直的判定定理和性质定理可得；

对于C,由题知，为正三角形，根据异面直线所成的角的定义计算得解；

对于D,作。ELQC,由线面垂直的判定定理和性质定理得AELDC.在RA"E中，

A.E=JAV+ED；=gDEVJl+RO：=④，代三角形面积公式得解.

【详解】对于A,圆柱。。|的侧面积为2%xlxl=2万，A错误；

对于B,因为0<6<]，所以。RLOC，又。

所以。2，平面ARC,所以OR_LAC,B正确；

对于c,因为A。//。。，所以NCAR就是异面直线4。与。。

TT

所成的角，因为所以。。A为正三角形，

71

所以4R=AR=1,因为AQLDR,所以c正确；

对于D,作RELOC,垂足为E,连接AE，所以0c，平面ARE,所以AE_LZ)C.

在MARE中，AE=72；+ED；=Q1+*24"1+DQ；=0,

SAiCD=jxDCxA,E<^x2xV2=y/2,所以^年,鹏二祀,D错误.

故选：BC.

11.AC

【分析】利用反证法可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用线面平行的判

定定理和性质可判断C选项；根据已知条件直接判断/与机的位置关系，可判断D选项.

【详解】对于A,当/与加不垂直时，假设/_La,因为〃?ua,则/，〃?，这与已知条件矛

盾，

因此/与a一定不垂直，A正确；

对于B选项，由线面角的定义可知，/与a所成的角是直线/与平面a内所有直线所成角中

最小的角，

若/与加所成的角为30,则/与a所成的角。满足0V043O,B错；

对于C选项，若〃/m,，〃ua,/a,则〃/a,即〃〃wn〃/a,

若〃/a,因为机ua,贝IJ/与m平行或异面，即〃〃夕.

所以，〃/机是〃/«的充分不必要条件，C对；

对于D选项，若/与a相交，则/与用相交或异面，D错.

故选：AC.

12.BCD

【分析】对于A,当尸为8G的中点时，OPUAB、,故A不正确；对于BCD,根据异面直

线的判定定理可知都正确.

【详解】对于A,当P为8cl的中点时，OP1IDC\/IAB\,故A不正确；

对于B,因为ACu平面A4CC，Oe平面4ACC，Oi\C,P任平面AAGC,所以直线

AC与直线OP一定是异面直线，故B正确；

对于C,因为A4u平面A4CC，Oe平面AAGC，Oi\A,P任平面AACC，所以直线

AA与直线O尸一定是异面直线，故C正确；

对于D,因为4"u平面A"C，Oe平面4"C,。任AS，P任平面ARC,所以直线AQ与

直线OP一定是异面直线，故C正确；

故选：BCD

13.AC

【分析】根据线线平行传递性和课本中的定理可判断AC正确；垂直于同一-条直线的两条直

线位置关系不确定，可判断B,通过举反例可判断D.

【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确；

空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；

根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知C正确；

如图，

则OA±CE,CD±0B,但ZAOB和ZDCE的关系不确定,

故D错误.

故选：AC

14.ABD

【分析】利用“阿基米德多面体''与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A是否

正确；根据题意先求出一个“阿基米德多面体'’的体积，再根据体积关系即可判断B是否正

确；求出棱长为50cm的正方体的外接球的直径该球的直径也是“阿基米德多面体”外接球的

直径，将该直径与70cm比较，由此即可判断C是否正确；根据等体积法求出每个三棱锥的

高，在根据正方体的体积公式，可求出两个三角形所在平面的距离，将其与正方体的棱长比

较，即可判断D是否正确.

【详解】观察所得的几何体可知，几何体有24条棱、12个顶点、14个面，选项A正确；

由题意可知，“阿基米德多面体”体积为原正方体体积减去8个三棱锥体积，设原正方体的棱

长为则8个三棱锥体积为8x』xlx=所以“阿基米德多面体”体积为

32⑶26

133

a3——a--a,

66

又石凳的高度为50cm,所以原正方体的棱长a=50cm,

所以“阿基米德多面体”体积为|X503(cm3),

106。

又1立方米等于IO,(cn?),所以5^；=9-6>8,

所以一个体积为1立方米的正方体石料可以切割出8个这样的石凳(不计损耗)，故B正确；

原正方体的棱长。=50cm,则其外接球的直径为，又506>70，所以一个直径为70cm

的球形石料切割不成该几何体(不计损耗)，故C错误；

设原正方体的棱长为。，则每个三棱锥是底面边长为亚a的正三角形，侧棱长且两两

22

互相垂直的三棱锥，设顶点到正三角形的距离为3

由三棱锥的体积可知父x:=!xgx-^-ax/?,解得=

321,2)23426

所以两个对角上的正三角形所在面的距离为耳-2x器”竽a>a,

由题意可知a=50cm,如果“阿基米德多面体”按照图2放置，则高度为50cm,所以如果将

这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度为世叵>50,所以高度会增加，故D正

3

确；

故选：ABD.

15.AD

【分析】由截面直接可判断AB；然后分别计算出球形巧克力体积和包装盒的体积可判断

CD.

【详解】由图知R=3/•，故A正确，B错误；易知包装盒的高为2~故匕=灯/?2、2厂=18万，,

又K=g%，，所以2匕=27乂，故C错误，D正确.

故选：AD.

16.CD

【分析】直接由体积公式计算m,修,连接8。交月C于点M,连接由

匕=VA_EFM+^C-EFM计算出匕，依次判断选项即可.

【详解】

设AB=ED=2FB=2a,因为£DJ_平面AfiCO,FBED,贝ij

X=；皿Sq=卜吗（2不=#,

23

V2=^FBSAfiC=1-a-1-（2a）=|a,连接83交AC于点V,连接易得

BD1AC,

又皮>_L平面ABC。，ACu平面ABC。，则£O_LAC,又£»BD=D,E£>,u平面5£>£尸,

则ACL平面BDEF,

又BM=DM==BD=EI,过尸作尸GJ.3E于G,易得四边形BDG尸为矩形，则

2

FG=BD=2®,EG=a,

则EM=J（2a）2+（岛j=y/6a,FM=,+（缶）2=岛，EF=.+（2岛丫=3a,

EM2+FM2=EF2,则SEFM=*M-FM=当（^,AC=2缶，

则匕=；AC-S".M=2a3,则2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B错

误；C、D正确.

故选：CD.

17.BD

【分析】对A,举反例判断即可；

对B,当x=l时，点P与点8重合，再根据面面平行的性质与线面垂直的性质判断即可;

对C,直观想象根据截面可能的情况判定即可;

对D,根据线面平行与截面的性质举例当x=g,y时成立判定即可

【详解】对A,x=y=l时，截面为矩形，故A错；

对B,当x=l时，点尸与点5重合，设过A、P、。三点的平面交。。于则因为平面

A4Q。〃平面BBCC，故PQ〃AM,且相，尸。，此时截面为矩形，当点2与点G重合

时面积最大，此时截面积S=lxa=&,B正确；

对C,截面只能为四边形、五边形，故C错；

对D,当x=g，）'=:时，延长旦8交QP延长线于N,画出截面APQM如图所示.此时因

为BP=CP,BN//CQ,故RNBPN三RNCPQ,则8N=CQ=；.由面面平行的截面性质可

21

得VAZW:NPCQ,AD=2PC,故MO=2QC=§,此时用R=§,故MR=BN且MDJ/BN,

故平行四边形MR8N,故〃。内，根据线面平行的判定可知8R与截面平行，故力正

故选：BD

18.AD

【分析】由线面平行判定定理判断A,建立空间直角坐标系，用空间向量法研究垂直的判断

B,判断以AC为直径的球与GB的交点情况，从而判断C,将面CBG，翻折至与43a共

面，此时点C与百重合，在平面内求两点间的距离得结论判断D.

【详解】依题作图，如图1,并将其补成正方体，如图2

A：因为AC//A©,46<=平面480，4Cg平面A/。，所以AC//平面故A正确.

B：如图1,以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA为z轴，

4(0,0,0),C(0,l,0),6(1,0,0),A(0,0』)，c,(0,1,1),5,(1,0,1)

设BD=/BG，Ae(0,l),则,

CD=(l-A,/l-l,/lMC,=(0,1,1),8-AC,=2/1-1

i1utlll

当a二Q时、CD±AQ,当且%£(0,l)时co与AC[不垂直，故B错误.

C：判断以AC为直径的球与C乃的交点情况，

如图3,取AC中点F,则FG=F8=*，FD=QFB。-弥防=AC,

所以以AC为直径的球与GB没有交点.所以ZAOC<],故C错误.

D：将面C8C，翻折至与共面，此时点C与片重合，所以的最小值为4月，

且Ag=G，故D正确.

故选：AD

图1图2图3

19.ACD

【分析】对于A,利用已知条件和圆锥的性质判断即可，对于B,由三角形的面积公式结合

正弦函数的性质判断，对于C,当△以B面积最大值时，AB=2及，从而可求出点C到A8

的距离的最大值，进而可求出三棱锥C-B4B的体积最大值，对于D,由题意可得AB4c和

△PBC全等，在△以。中求出sinNAPC,从而可求出PC边上的高，则可求出MA+MB

的最小值

【详解】对于A,记圆锥底面圆心