2024年新高考第二次模拟考试 数学（天津卷）（考试版）

2024年高考高三第二次模拟考试

数学(天津卷)

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号，

2,本卷共9小题，每小题5分，共45分

参考公式：

•如果事件A、5互斥，那么「(4。8)=P(4)+尸(6).

•如果事件A、5相互独立，那么P(AB)=P(A)P(3).

•球的体积公式V万代，其中R表示球的半径.

•圆锥的体积公式丫=；助，其中S表示圆锥的底面面积，/»表示圆锥的高。

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合知={邓11彳>1},N={x|(x-l)(x-4)>0},则Mc(\N)=()

A.{中〉e}B.{乂

C.1x|1<x<e}D.{x|e<x<4j

2.已知。>0且awl,则是“函数y=("2)k)g/是增函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若。=1.1°/）=10802。3。=1082；,则（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

A./（A：）=sin^2x+—j

B.的图像的一个对称中心为

C.无）的单调递增区间是Jj+E,乎+也］次eZ

OO

D./•（%）的图像向左平移9Sir个单位长度后得到的是一个奇函数的图象

O

6.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造

一种喜庆的氛围•如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中

间是球面的一部分（除去两个球冠）.如图2,球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截

得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R,球冠的高为心则球冠的面积5=2兀/吸已知该灯

笼的高为40cm,圆柱的高为4cm,圆柱的底面圆直径为24cm,则围成该灯笼所需布料的面积为（）

A.15367rcm2B.147271cm?

C.18247icm2D.17607rcm2

7.某品牌手机商城统计了开业以来前5个月的手机销量情况如下表所示:

时间X12345

销售量y（千只）0.50.71.01.21.6

若y与x线性相关，且线性回归方程为y=0.27x+a,则下列说法不正确的是（）

A.由题中数据可知，变量y与x正相关

B.线性回归方程y=0.27x+a中，a=0.21

C.x=5时，残差为0.06

D.可以预测尤=6时，该商场手机销量约为1.81千只

22

8.已知双曲线。与椭圆口二+匕=1有公共焦点，且左、右焦点分别为6，B，这两条曲线在第一象限的

2521

交点为尸，△尸片耳是以尸耳为底边的等腰三角形，则双曲线。的标准方程为（）

A.工-y=1B.工-片=1

395

C.尤2一JiD.=1

33

,、f|3J+1-l|,x＜0,、,、

1

9.已知函数〃尤）=[,再，尤2，彳3，彳4是函数g（x）=/（x）-m的4个零点，且再＜无2＜尤3＜尤4，给

|log3x|,x＞0

13瓯।鼻巧

出以下结论：①相的取值范围是（0,2）；②3为+3*=：；③鼻+4x4的最小值是4；④产'的最大值

D//I人/4

是正.其中正确结论的个数是（

)

6

A.1B.2C.3D.4

第n卷

注意事项

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分。

2

10.已知复数z=「，其中i为虚数单位，则力=.

11.已知随机变量x〜N（0Q2）,且尸（xwo）=a,则[6-的展开式中常数项为.

12.计算InG—2022Ml-3log34=.

13.已知直线/：元+y-2=0和圆C:x2+（y一l）2=r2（r＞（））相交于A,JB两点；弦长|互上应，贝"=.

14.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和加个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3

次，记摸取白球的个数为X.若E（X）=；,则，”,P（X=2）=.

15.在边长为6的正方形A8CD中，DE=2EC,M是8C中点，则〃石.8£＞=；若点尸在线段8。上运

动,则PE.尸”的最小值是.

二、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。

16.在.ABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,5csin6=6asinC.

⑴求COS5的值；

⑵求sin「3+0值；

(3)若A=2B,求tanC.

17.如图，四边形A3CO是正方形，以，平面ABCREB〃上4,AB=PA=4,£B=2，/为尸£)的中点.

(1)求证：AFLPC-,

(2)求D到平面PEC的距离；

(3)求平面OPC与平面PEC的夹角.

22

18.已知椭圆C：二+与=1(“>6>0)的一个焦点为耳(-1,0),上顶点到这个焦点的距离为2.

a"b

(1)求椭圆C的标准方程

(2)若点T在圆/+丁=2上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线/交椭圆C于8(异于

点A),使得。7=呼(。4+08)成立？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

19.已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和满足S">1,且6s“=(%+l)(a“+2),〃eN*.

(1)求｛4｝的通项公式：

(2)设数列出｝满足4仲-1)=1,并记T,为也｝的前w项和，求证：31+l>log2(a,+3),〃eN*.

20.已知函数〃x)=Y+办+1,g(x)=e"(其中e为自然对数的底数).

(1)若“=1,求函数，=/(力送(无)在区间［-2,0］上的最大值.

⑵若。=-1,关于x的方程/(%)=%•g(x)有且仅有一个根，求实数上的取值范围.

(3)若对任意的不,％e［。，2］,占R%,不等式I”占)-〃X2)|<|g(占)-g(x2)|均成立，求实数。的取值范

围.

2024年高考第二次模拟考试

高三数学(天津卷)

•参考答案

第I卷（选择题）

一、选择题，共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

123456789

DADBCBBCA

第II卷（非选择题）

二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分。

1552723

10.1+i11.一12.——13.114.1；——15.30；——

44648

三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。

16.（15分）

【解析】（1）由题设及正弦定理知：5bc=6ac,则5/?=6a,又b+c=2a,

故3c=2A..........................................2分，

竺/+

a2+c2-b2=369J.

又cosB=............................................4分

—c5,2,

lac2x—Ox—。8

63

(2)由3为内角且cos5=:，则sinB=^^..........................................5分

88

opj3]

故sinIB=2sinBcosB=-----,cos2B=2cos2B-l=---...............................,7分

3232

71

rriu.(加兀、•CD71CD.3aV33113y/21-31八

以sin2BH—=sin2Bcos—Fcos2Bsin—=------x------F(-------)x—=...................9刀

L6J6632232264

tanA+tanB

(3)由tanC=tan[7i-(A+5)]=-tan(A+5)=...........................................10分

1-tanAtanB

而A=2B，

所以tanA=tan2B=2t皿/，由⑵知：tanB=3j7,则tanA=-2"

12分

l-tan2B31

3币—近

，-一tanA+tanB45币

_3115分

'tanAtanB-13币义（-改）T47

31

17.(15分)

Zb

【解析】(1)

依题意，上4,平面A3CO,如图，以A为原点,

分别以424民4尸的方向为：1轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

依题意，可得A(0,0,0),8(0,4,0),C(4,4,0),D(4,0,0),尸(0,0,4),E(0,4,2),户(2,0,2),

AF=(2,0,2),PC=(4,4,-4),/.AF-PC=8+0+(-8)=0,/.AF±PC....................3分

(2)PE=(0,4,-2),PC=(4,4,-4)

设平面PEC的一个法向量为"=(x,y,z),

n-PC=0f4x+4y-4z=0

则，即〃/n,令y=T,则x=-l,z=-2,

nPE=0[4y-2z=0

故〃=(-!,-I,一2),....................5分

DC=(0,4,0),故。到平面PEC的距离即DC在法向量”上的投影长度，

2

则…d=|,D--C---n-|,=|,『-4=,+瓜，

\n\V63

故D到平面PEC的距离为亚...................8分

3

(3)因为PC=P,

PD,PCu平面PC。，所以AF,平面PCD,

故A歹=(2,0,2)为平面PCO的一个法向量...................10分

设平面尸。与平面PCE的夹角为。，则cos0=|cos<AF,n>|=TU/I=—

2A/2-5/62

jr

所以平面PCD与平面PCE的夹角为二...................15分

6

18.(15分)

【解析】解：(1)由椭圆的一个焦点为片(T，。)知：c=l,

因为上顶点到这个焦点的距离为2,故。=2,所以6

22

...所求椭圆C的标准方程为土+工=1；....................................4分

43

(2)假设存在过点A的直线/符合题意，直线/的斜率必存在，于是可设直线/的方程为y=Mx-2),

由《43,得(3+4公b2_16左、+16左2—12=0.....................................5分

y=k(x—2)

•..点A是直线/与椭圆C的一个交点，则乙=2,

.16后2一12.8左2—6.12k八

.'X-XB=3+4公'.•演..力=一^7^'........................................................7分

即点/异'一号；。心(2,。)，..................9分

16k212k

OA+OB=分

3+叱’-3+4左2.....................................11

“16k212k}

即OT=£

'13+4A'3+4k2)

:点T在圆尤?+y2=2上.

化简得48/-842—21=0,解得公k=+—,

42

经检验知，此时对应的判别式A>0,满足题意，

故存在满足条件的直线/,其方程为y=土等(x-2)......................................15分

19.(15分)

【解析】(1)由q=S]=+l)(q+2),结合％=岳>1,因止匕％=2...................................1分

O

aS

由n+\=n+1~Sn=+1)(%+2)-：(％+1)(4+2)

oo

得(%+i+%3)=0,..................................4分

又a”>°,得%+1-%=3..................................6分

从而｛%｝是首项为2公差为3的等差数列，

故｛。“｝的通项公式为%=3〃-1...................................7分

(2)由%(2"-1)=1可得〃=log2

“KT,363〃、

从而<=11。&(5不痴二7)

1,363〃)3

3雹=log(---

23n-r

3n3n+l3n+2

・------->-------->--------

3〃一13n3n+l

/3n、q3n3n+l3〃+2

/.(----)>----11分

3〃一13n—13n3n+l

『345)(678)3n3〃+l3〃+2]]

>log

23n-l3n3n+lJJ

3Tn+l>log2(3n+2)=log2(an+3)....................................15分

20.(15分)

【解析】⑴解:当a=l时，j=(x2+x+l)e\了=(炉+3尤+2)1=(尤+2)(尤+1)1,

所以，当xe［-2,—1)时，/<0,xe［-l,0］时,/<0,

所以，y=〃x}g(x)在［-2,-1］上单调递减,卜1,。］上单调递增,............3分

3

因为，当x=-2时,>=F，当x=0时,y=l,

e

所以，y=/⑺•g⑺在区间［-2,0］上的最大值为1.............................5分

(2)解：当a=-l时，关于x的方程为一一万+1=始工有且仅有一个实根，

所以，Y-有且仅有一个实根,

e

设“上二：+1,

则"⑴=(21”一『+股=孑