甘肃省陇南市部分学校2024届高三一模联考数学试题（含答案解析）

甘肃省陇南市部分学校2024届高三一模联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集为R,集合A="|}11,则为4=()

A.{小<0或%>1}B.{小40或%>1}

C.1x|0<x<l}D.{x|0<x<lj

2.2知〃为实数，复数z=(a-2i)(l+i)+i为纯虚数，则〃=()

A.-1B.1C.-2D.2

TT

3.下列函数图象的对称轴方程为x=§+E,左£Z的是()

A./(x)=sin[x—B.〃x)=cos[x+g]

C./(x)=sin(2x—jD./(x)=cos(2x+]j

4.设。济为两个平面，下列条件中，不是与少平行”的充要条件的是()

A.。内有无数条直线与夕平行B.垂直于同一条直线

C.氏夕平行于同一个平面D.。内有两条相交直线都与万平行

f.c111c

5.已知数列{%}为等比数列，4+&+。6=8,—+—+—=2,贝Ua4=()

^^2^^4^^6

A.2V2B.±2也

C.2D.±2

6.已知抛物线C：y2=2/(p>0)的焦点为「其准线与x轴交于点M,N为C上一点,

tanZNFM=-20，贝1JtanZNMF=()

A.述B.立C.受D.V2

332-

7.知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，

则不同的排法共有()

A.336种B.284种C.264种D.186种

8.若a==7°",c=e0°,则()

4

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

二、多选题

9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间忒单位：年)与

当年所需要支出的维修费用M单位：万元)有如下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57

根据表中的数据可得到经验回归方程为.y=L23x+d,则()

A.a=0.08

B.y与x的样本相关系数厂>0

C.表中维修费用的第60百分位数为6

D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38

万元

10.己知函数/(》)=%3+%2+办_4有3个不同的零点尤1户2，尤3,且甲2=[~,则()

A.a=YB.〃x)<0的解集为(-1,2)

C.y是曲线y=/(x)的切线D.点(TO)是曲线y=的对称中心

11.己知a,6,ce(0,+co),关于尤的不等式"-6工+。，>0的解集为(-00,2),则()

A.b>lB.a+c>b

C.------——D.(a-Z>+c)f—--+-1>5-35/2

abca-b+c\abcJ

三、填空题

12.已知圆。为圆锥尸O的底面圆，等边三角形A3C内接于圆。；若圆锥PO的体积为

兀，则三棱锥P-ABC的体积为

13.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释

中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经

历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，.…记大衍

匕」,“为奇数

2

数列｛叫的通项公式为%=2,若2=(-1)"为，则数列也,｝的前30项

工，〃为偶数

I2

和为•

14.已知〃是椭圆得上一点，线段是圆C:f+(y_6)2=4的一条动弦，且

|阴=2痣,则MAMB的最大值为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.在$ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，"c.已知ccosA+〃cosC=3,

⑴求b；

TT

(2)。为边AC上一点，AD=2DC,ZDBC=-,AB±BD,求8。的长度和NADB的大

6

小.

16.如图，在四棱锥P-A5co中，底面A3CD为梯形，AB//CD,CDLBC,

AB=2CD=4,BD=BP,一PCD为等边三角形.

(1)证明：3C，平面PCD.

(2)若△ABD为等边三角形，求平面R3Q与平面PAD夹角的余弦值.

17.某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可

获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为°(0<pwg),每次中奖与否相互不影响.中奖1

次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.

(1)己知p=；,求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.

(2)已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算？请说明理由.

2222

18.已知双曲线-2=1(。>0,6>0)与双曲线N:二-夫=1的渐近线相同，

abm3m

且M经过点(省,/),N的焦距为4.

⑴求M和N的方程；

(2)如图，过点T(0,1)的直线/(斜率大于0)与双曲线〃和N的左、右两支依次相交

于A,B,CQ,若3|阴怛T|=2|CD||TC|,求直线I的方程.

19.已知函数/(x)=aet-1-x-l.

⑴讨论“X)的单调性.

2/7—2

(2)证明:当aNl时,/(x)+x-lnx>——.

nJ

(3)证明：>ln(n+l)+«.

i=l

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】化简集合A,再根据补集运算求解.

【详解】由Lvi,即匕二40,则卜解得x<0或x21,

xx[冗W。

/.A=^x\xv0或x21},

^A=1x|0<x<l|.

故选：D.

2.C

【分析】由复数的运算与纯虚数的概念求解即可.

【详解】由z=(a—2i)(l+i)+i=a+2+(a—l)i为纯虚数，

[〃+2=0

•・彳!八,a=-2.

[Q—1w0

故选：C.

3.B

【分析】根据正弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出A、C中函数的对称轴方程,

利用余弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出B、D中函数的对称轴方程，即得答案.

【详解】对于A,7(x)=sin[%—]],令=^+左兀，％£Z,即x=g+E,攵EZ,

57r

即的对称轴方程为％=9+配,旌z,A错误；

6

对于B,/(X)=cos[x+g),令x+g=兀+E,左£Z,即X=]+E,%£Z,

即“X)的对称轴方程为X=]+B正确；

对于C,f=sin|2x~—।,^2x——=—+fai,A;eZ,即％=巴+」也,4$Z,

V6J6232

i

即〃％)的对称轴方程为X=§7r+”兀,左£Z,C错误；

对于D,f(.^)=cosI2x+—|,令2%+二=£Z,即％=-巴+工也,4EZ,

V3J362

i

即/(X)的对称轴方程为》=-£7r+7E,左€z,D错误；

故选：B

答案第1页，共14页

4.A

【分析】根据空间线面、面面的位置关系以及面面平行的判定定理，一一判断各选项，即可

得答案.

【详解】对于A,a内有无数条直线与夕平行，可a,夕可能相交，即这无数条直线都与两平

面的交线平行，

故。内有无数条直线与/平行得不出。与夕平行，A适合题意；

对于B,a,6垂直于同一条直线时，可得。与£平行，反之也成立，

即a,6垂直于同一条直线是a与/3平行的充要条件；

对于C,a,£平行于同一个平面，则a与£平行，反之也成立，

故a,月平行于同一个平面是a与4平行的充要条件；

对于D,a内有两条相交直线都与/平行，根据面面平行的判定定理可知a与/平行，

反之也成立，即a内有两条相交直线都与万平行为a与「平行的充要条件；

故选：A

5.C

【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解.

【详解】因为｛4｝为等比数列，则公比4W0,

所以a：=a2a6,又生+%+%=8,

111111出+。6〃4〃2+〃6。4

所以—+—+—=—+—+—=<—+―=—+-

CI?^^4^^6^^2^^6^^4^^2^^6^^4^^4^^4

a0+aA+a,8八

=-6==2,解得…±2,

a4%

又见+为+。6=。2。+42+44)=8>0,而1+/+/>0恒成立，

所以出>。，则4=电/>。，故4=2.

故选：C.

6.A

【分析】利用平行的性质与抛物线的定义将所求转化sinNNFQ,再利用tan/NKW,结合

三角函数的基本关系式即可得解.

【详解】如图，过N分别作准线和x轴的垂线，与准线交于点P,与无轴交于点Q.

答案第2页，共14页

贝UINr|二|NP|,|NQ|二|尸M|,

IMPI\NO\

所以tanZNMF=tan/MNP==sinZNFQ,

71

又tmNNFQ=tan（7i-ZNFM）=TanNNFM=26,0<ZNFQ<-,

22

sinZNFQsinZNFQ八o叼/曰272

所以2

所以tan/MWF=R2

3

故选：A.

7.A

【分析】根据题意考虑两端的位置排的是男生或女生的情况，结合女同学不相邻，求出各种

情况的排法数，根据分类计数加法原理，即可求得答案.

【详解】当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，

共有A：A：=2x4x3x2x1=48种排法;

当有1名女生排在一端，另一端排男生时，

共有2A；A；A；A；=2x2x3x3x3x2x1=216种排法;

当男生排在两端时，共有C；A；A；A；=3x2x2x3x2=72种排法;

故不同的排法共有48+216+72=336(种),

故选：A

8.D

【分析】利用e>2.7,结合累函数的单调性判断得c>。，再构造函数g(x)=e=x-l,推

得J—>e*(O<x<l),从而推得由此得解.

1-X

【详解】因为e?>2.7?>7,所以0=6。2=(百°'>严=》；

答案第3页，共14页

令g(x)=e，-x-l,贝=

当x>0时，g1x)>0,则g(x)在(0,+s)上单调递增,

当x<0时,g'(x)<0,则g(x)在(-°o,0)上单调递减,

所以g(x)2g(O)=。，故e*Nx+l,

贝-尤+1,即±21-x,当且仅当尤=0时，等号成立,

e

当0<—X+1<1,BP0<x<1,有---〉e”,

1-x

从而有c=e°，<£3=；=a；

综上，a>c>b.

故选：D.

【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：

(1)lnx<x-1；(2)e"2x+l.

9.ABC

【分析】对A,计算出样本中心，代入方程计算出.，对B,根据相关系数的概念可判断，

对C,根据百分位数的定义求解，对D,根据回归分析概念判断.

【详解】根据题意可得，；=4,1=2.2+3.8+；5+6.5+7=5,

所以样本中心点为(4,5),

对于A,将样本中心点(4,5)代入回归方程y=i.23x+》，可得a=0.08,故A正确；

对于B,由表中数据可得》随着x增大而增大，x与>正相关，所以相关系数厂>0,故B正

确；

对于C,维修费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,6.5,7,第60百分位数为红士”=6,故C正

2

确；

对于D,根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为10年时，所需要支出的维修费用大

概是12.38万元，故D错误.

故选：ABC.

10.AC

【分析】利用三次函数的零点式，结合条件可求得。，从而可判断AB,利用导数的几何意

答案第4页，共14页

义可判断C,举反例排除D.

【详解】对于A,因为/(了)=三+炉+6—4有3个不同的零点国,无2，%，

所以不妨设/(彳)=(3一百)(了一动(3-%3)，

易知/(X)展开式中的常数项为-占々彳3,故-无逮2鼻=-4,

又占％=耳，所以一寸=一4,解得£=2,

22

所以/(W)=/(2)=23+22+2a-4=。，解得a=T,故A正确；

对于B,/(x)=x3+x2-4x-4=(x-2)(x+2)(x+l),

令/(x)<0,即(x—2)(x+2)(尤+l)<0,

利用数轴穿根法，解得x<-2或T<x<2,故B错误；

对于C,易得/■'(x)=3x2+2x-4,

当切线斜率为1时，令/'(X)=3X2+2X-4=1,解得尤='或X=I,

当x=l时，f(l)=(l-2)(l+2)(l+l)=-6,

止匕时切线为>+6=x-l,即y=x-7,故C正确；

对于D,因为/(一3)=(-3—2)(—3+2)(—3+1)=-10,又/(1)=一6,

所以，(-3片〃1),所以点(-L0)是曲线y=/(x)的对称中心，故D错误.

故选：AC.

11.BCD

【分析】举特殊值可判断A；令：=m,j,结合题意得病+/=1,利用三角代换判断B；

bb

将++转化为。"+"-1)(四W-1),令/=加+”,继而转化为21+1,再

\abcJmnt+\

结合换元，利用函数的单调性，可求得(a-6+c)［：-,+：j的范围，即可判断C,D.

【详解】对于A,由题意知cw(0,母)，关于尤的不等式ax-bx+cx>0的解集为(-j2),

不妨取。=。=等*=1,则优-/+/>(),即2(5厂>1,；.(5厂>；,

其解集为(—,2),即a=c=#,b=l满足题意，故A错误；

答案第5页，共14页

对于B,a->0即6+（牙>1,

bb

令*=mq=n，由于不等式优—b'+c">0的解集为（f°，2），

故需满足。<机<1，0<〃<1，且疗+〃2=1,

^m=cos0,n=sin0,0E.(0,—),则m+n=cos6^+sin=V2sin(^+—),0e(0,—),

242

由于e+a€(；,型),则如sin(e+二)即得〃z+〃>l,

4444

又Q+C=Z?(根+〃)，故a+c>b,B正确；

对于C,D,=-(^^+――—1)>0,a-b+c>0,

abcbmnbcos。sin。

|I|I］m4-n

故(Q—Z?+c)(------+—)=(加+〃一1)(—+――l)=(m+n-l)(----------1),

abcmnmn

兀产一］

令f=^+〃=cose+sine,e£(0,一),ZG(1,V2］，贝"根〃=—，

22

/7xz111、/八/t［、2］—/+121-r+1

rjni(a—5+c)(7+—)=«-1)(三一-1)=('—1)2―i-

贝I」abcr-1r-1t+l，

2

人1。K「mn2t-t2+l2(r-l)-(r-l)2+l-r2+4r-2

令，+1=八/£(2,。2+1］,贝U------------=——————-——二----------

t+1rr

=4-(r+-),

由于函数丫=厂+—在(2,0+1］上单调递增，

r

tt3=2+-<r+-<T2+l+-73—=3A/2-1,

2rV2+1

则5—3&<4-(r+2)<l,Bp5-3V2<(a-Z?+c)(---+-)<l,

rabc

即-------,+--y+—|>5-3A/2,C,D正确,

abca-b+c\abc)

故选：BCD

【点睛】难点点睛：本题考查了由指数型不等式的解集求解参数范围问题，综合性较强，难

度较大，解答的难点在于C,D项的判断，解答时要利用三角代换以及换元法，将

（a-b+c）pl-：+」等价转化，再结合函数的单调性进行判断.

12.越/3出

44

【分析】设圆。的半径为r,圆锥尸。的高为人根据圆锥体积推出r%=3,继而表示出等

边三角形ABC的面积，根据棱锥体积公式，即可求得答案.

【详解】设圆。的半径为「，圆锥尸。的高为〃，

答案第6页，共14页

p

c

B

则%i锥=3兀//2=兀,r2h=3,

A5

等边三角形ABC内接于圆。，则F=2r，，A'=1r3~r,

sin—

3

故SABC=f.(A8)2=铝•产，

则三棱锥P—ABC的体积为V=-SABCh=昱.rh=空,

3ABe44

故答案为：空

4

13.240

【分析】根据数列｛〃｝的通项公式，采用并项求和的方法，即可求得答案.

，ri2-1，"为奇数

:

【详解】由题意知%=2,4=（T）Z，

为偶数

I2

故数列｛2｝的前30项和为一。1+。2—。3++。4—一。29+。30

2232-142292-1302

+---H------------+——

22222

22-1242-32302-29215

--+-----++------+一

2222

=1(3+7+11++59)+y

115(3+59)15»八

=-x---------+—=240,

222

故答案为：240

14.70

【分析】设A3中点为N,易得|CN|=&，点N的轨迹为以（0,6）为圆心，/=四为半径的

22M

圆，MAMB可转化为MA-MB=(MN+Ml｝〔MN+NB^=|M^|-|WA|,|M4|max=\C\^+r,

答案第7页，共14页

设出点M的参数方程，求出|MC|1mx,即可得解.

【详解】

如图，设AB中点为N,由|AB|=20=>|4V|=0,|CN|=_|AN,=叵,故点N的

轨迹为以（。,6）为圆心，『=夜为半径的圆,

MA.MB=(MN+NAy(MN+NB)=(MN+NA).(MN-网=-|叫=.N『-2,

\MN[mx=\MC\^+r,设M(&Usind,cos6>),贝I]

\MC\=-^(A/10sin0^+(cos6—6)2=J(5/IUsind)+(cos6,-6)2

=，37+9sin26-12cos。=J37+90-cos。6)-12cos6=V46-9cos2^-12cos0,

当且仅当cosd=-g时，|MC，ax=,46-91|)+12.|=A/50,

所以KI1mx=|必，+一5&+&=60,

W2-2=72-2=70

Imax

故答案为：70

【点睛】关键点点睛：由向量的数量积求解椭圆上一点与定点距离问题，转化法和参数方程

是解决本题关键，还综合了余弦函数求最值问题，试题整体难度不大，但综合性强，是一道

跨知识点考查相对不错的题！

15.⑴》=3

⑵1，三

【分析】（1）利用余弦定理化简eosA+acosC=3,即可求得答案;

（2）利用（1）的结论结合题设可得AD=2,£>C=1,从利用余弦定理推出关于。的方程,

答案第8页，共14页

解得a,c的值，解直角三角形，即可求得答案.

【详解】(1)由题意知在qABC中，ccosA+acosC=3,

故c.JZ+a.口==3,

即2/=60,

2bc2ab

由于Z?＞。，故6=3；

(2)由(1)知〃=3,结合AD=2DC,得AD=2,QC=1,

v7A…f24ABcDAb+c2-a9+c2-a

又ABJ_BD,故cosA=——=—,又cosA=--------------=--------------

AD22bc6c

22

I9+C-ac22n

贝m!J-------------=—,2c+a=9,

6c2

TT27r

X^DBC=-,ABLBD,贝！JNAOBC=——，

63

故cos/A5C="°一'=—己,BP2+c2-b2=-ac,Bp2+c2=9-ac

lac2aa

结合2c之+4=9,解得a=c=y/3,

则BD=Jm一.2=/-(拘2=1,cosZADB=^=1,

AlyL

TT

而上W3为锐角，故=

16.(1)证明见解析

【分析】(1)利用线面垂直的判定与性质定理即可得解；

(2)依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面PBQ与平面PAD的法向量，从而利用空间

向量法即可得解.

【详解】(1)记E为尸。的中点，连接BE,CE.

因为PCD为等边三角形，所以PDLCE,

因为BO=BP,所以

又BECE=E,BE,CEu平面BCE,所以PDJ_平面BCE,

因为BCu平面BCE,所以PD_L3C,

答案第9页，共14页

又CDLBC,CDPO=，CD,POu平面PCD,

所以BC1平面PCD

（2）以C为原点，CRCB所在直线分别为羽丫轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为PC»为等边三角形，CD=2,所以P到底边8的距离为石,

因为△ABD为等边三角形，A5=4,所以。到底边A5的距离为2班,

则尸(1,0,73),B(0,26,0),D(2,0,0),A(4,26,0),

所以=(2,-2y/3,0),PD=(1,0,-73),ZM=(2,2括,0),

m•BD=02x-2yfiy=0

设平面PBD的法向量为机=（x,y,z）,贝！j,,即

m,PD=0x-y/3z=0

令y=i,则％=g,z=i,故根=(指』,1),

n•DA=02a+=0

设平面PAD的法向量为"=（4,"C）,贝卜即

n-PD=0a—A/3C=0

令c=l,贝！］。=若，匕=—1,故〃=（省,一1,1）,

,,\m-n\13-1+113

因为3〈私砌=而=反方方，

3

所以平面PBD与平面PAD夹角的余弦值为二.

2

17.(%

（2）不会，说明见解析

【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A,甲第一次抽奖就中奖的事件为B,求

出尸（A3）、P（A）,根据条件概率的公式，即可求得答案；

（2）设一名顾客获得的奖金为X元，确定其可能的取值，求得每个值对应的概率，即可求

答案第10页，共14页

出E(X),从而求得200名顾客获得奖金的期望，与促销活动的经费比较，即得结论.

【详解】(1)设顾客甲获得了300元奖金的事件为A,甲第一次抽奖就中奖的事件为

1114

贝|尸(AB)=gxC；x§x(l—§)=方，

P(A)=C^x(1)2x(l-

39

4

-2

故尸(例A)=罢曰=272--

13

9

(2)设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0,100,300,500,

1R8

贝IJ尸(X=0)=(1—§)3=为，

尸(X=100)=C；x；x(l-H，

P(X=300)=C^x(1)2x(l-1)=|,

P(X=500)=Cax(-1)3a=—1,

327

oj913500

贝lJE(X)=0x——+100x—+300x—+500x——=——(元),

27992727

故200E(X)=200x^22=700000<45000,

Z127

故该活动不会超过预算.

222

18.-一上=1,N:X2_2L=I

263

病、

(2)y=------x+1

13

【分析】(1)由N的焦距为4可求得疗=1,即可得出曲线N,由题意设M为

2

/一1_=■%/0),点(百，石)代入即可求得曲线M;

(2)由题意设直线/的方程为y=kx+Kk>0),与犬-二=几联立，利用韦达定理计算可

3

BT2

得|AB|=|CD|,进而可得元=：=§,联立方程组计算可求得3即可得出结果.

22

【详解】(1)因为N:三-二=1,N的焦距为4,所以N:*+3/=4,根2=],所以

m3m

答案第11页，共14页

2&

加,N渐近线相同，M可设为/一《=20中0),(6,6)代入3-3=2,4=2,所以

22

匕=1

26

(2)设直线/的方程为丫=履+1(左>0),D(X2,y2),B(x3,y3),C(x4,yJ,

y=kx+1

由2y2,化简可得:(3-^2)X2-2AX+1-3A=0,A=4^2-4(3-)l2)(1-32)>0,

13

,nu.2k-2

%=],玉+,

5-K

2k-5

4=2时，x+x=

123-k23-k2

同理|C£)|=J1+左2昆-xj

因为玉+%2=%+%4，所以％2-％4=马一再，所以|AB|=|CD|

又因为3|的忸刀=2|8|明|,所以元二§

所以箓则.=-：，由W—l?，冗3+工4=吕?解得：k?=[,

TC%3%J3-k3-k13

由左＞0可知，k=—,

13

所以直线/的方程为：y=^-x+l.

-13

19.(1)答案见详解

(2)证明见详解

(3)证明见详解

【分析】(1)求导，按照。的正负，讨论r(力正负得解；

(2)令g(x)=/(x)+x-lnx,分a=l和。＞1两种情况讨论，利用导数判断单调性，求出最

小值证明;

n4-1

(3)由(2),当a=l时，有e'T21nx+1,令工=---,nGN\代入运算得证.

n

【详解】(1)r(x)=ae'T—l,xeR,

答案第12页，共14页

当“WO时，易知r(x)<。，所以函数〃可在R上单调递减，

当