上海市奉贤区2020届九年级上学期期末一模质量调研数学试卷（含解析）

2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷

答案解析版

一、选择题

,a+b

1.已知线段“如果a:b:c=l:2:3,那么一的值是（）

c+b

1235

A.-B.—C.—D.一

3353

【答案】C

【解析】

【分析】

由a:6:c=l:2:3,可设a=k,b=2k,c=3k,（k#0）,即可得到答案.

【详解】：a：6：c=l:2:3,

a=k,b=2k,c=3k,（k^O）,

a+bk+2k3k3

c+b3k+2k5k5

故选C.

【点睛】本题主要考查分式求值，根据比值，设k值，是解题的关键.

2在RMBC中,ZC=90°,如果NZ的正弦值是!，那么下列各式正确的是（）

4

A.AB=4BCB.ABAACC.4c=4BCD.BC=4AC

【答案】A

【解析】

【分析】

根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案.

【详解】：在此AX8C中，ZC=90°,//的正弦值是:，

4

BC1

..sinA=---=—,

AB4

AB=4BC,

故选A.

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键.

3.已知点。在线段48上，AC=3BC,如果充=£,那么强用£表示正确的是（）

3-3-4-4-

A.—aB.—aC.1aD.——a

4433

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.

【详解】：点C在线段48上，AC=3BC,AC^a,

BA——AC,

3

:诙与农方向相反，

.—,4-

BA=~~a，

故选D.

【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则,是解题的关键.

4.下列命题中，真命题是（）

A.邻边之比相等的两个平行四边形一定相似

B.邻边之比相等的两个矩形一定相似

C.对角线之比相等的两个平行四边形一定相似

D.对角线之比相等的两个矩形一定相似

【答案】B

【解析】

【分析】

根据相似多边形的判定定理，逐一判断选项，即可.

【详解】：邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，

邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，

故A错误；

:邻边之比相等的两个矩形一定相似，

故B正确；

:对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，

..•对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，

故C错误；

:对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，

..•对角线之比相等的两个矩形不一定相似，

故D错误.

故选B.

【点睛】本题主要考查相似多边形的判定定理，掌握对应边成比例，对应角相等，是解题的

关键.

5.已知抛物线y=ax2+bx+c（a中0）上部分点的横坐标x与纵坐标＞的对应值如下表：

X01345

7715

y-5-5

22

根据上表，下列判断正确的是（）

A.该抛物线开口向上B.该抛物线的时称轴是直线x=l

C.该抛物线一定经过点（-1,-?）D.该抛物线在对称轴左侧部分是下降的

【答案】C

【解析】

【分析】

根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线x=2,当xW2时，y随x的增大而增大，从

而可得到答案.

77

【详解】：抛物线了="2+云+°（。/0）过点（1,-）,（3,-）,

..•该抛物线的对称轴是：直线x=2,

故B错误；

由表格可知：当xW2时，y随x的增大而增大，

该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，

故A,D错误；

:该抛物线的对称轴是：直线x=2,点（5,--）在抛物线上，

2

该抛物线一定经过点（-1,-三），

故C正确.

故选C.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关

键.

6.在AA8C中，48=9,BC=2AC=12,点。,£分别在边上，旦DEHBC,

AD=2BD,以AD为半径的和以C£为半径的QE的位置关系是（）

A.外离B.外切C.相交D.内含

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，易证AADE〜AABC,得：DE=8,结合两个圆的半径，即可得到答案.

【详解】：在AA8C中，AB=9,BC=2AC=n,DEHBC,AD=2BD,如图：

/.AADE-AABC,

DEAD222c

——=——=-,即：DE=-BC=-xl2=8,

BCAB333

V以AD为半径的QD和以CE为半径的QE的半径分别为6,2,

即：6+2=8,

A以AD为半径的和以CF为半径的OE的位置关系是：外切，

故选B.

【点睛】本题主要考查两个圆的位置关系，求出两个圆的圆心的距离，是解题的关键.

二、填空题

7.如果tan&=0，那么锐角a的度数是.

【答案】600

【解析】

【分析】

根据特殊角的三角函数值，即可求解.

【详解】：tan60°=百，

，锐角£的度数是：60°.

故答案是：60。

【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角三角函数值，是解题的关键.

8.若々与单位向量工方向相反，且长度为3,则£=（用单位向量工表示向量£）

【答案】-3e

【解析】

【分析】

根据"与单位向量工的关系，即可求解.

【详解】与单位向量工方向相反，且长度为3,

••a=-3e-

故答案是：-33

【点睛】本题主要考查用单位向量表示其他向量，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.

9.若一条抛物线的顶点在J轴上，则这条抛物线的表达式可以是（只需写一个）

【答案】j=2x2

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点在y轴上，可知：b=0,即可求解.

【详解】：一条抛物线的顶点在〉轴上，

--—=0,即：b=0,

2a

，这条抛物线的表达式可以是：j=2x2.

故答案是：j=2x2.

【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关

键.

10.如果二次函数y=a(x-1)2(。wO)的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么。的取

值范围是.

【答案】。＞0

【解析】

【分析】

由题意得：二次函数y=a(x-1)2(。/0)的图像开口向上，进而，可得到答案.

【详解】•••二次函数y=a(x-1)2(。丰0)的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，

，二次函数y=a(x—1)2(。中0)的图像开口向上，

6Z＞0.

故答案是：。＞0

【点睛】本题主要考查二次函数图象和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数的

几何意义，是解题的关键.

H.抛物线了=/+江+2与丁轴交于点A,如果点5(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对

称，那么6的值是.

【答案】-2

【解析】

【分析】

由点5(2,2)和点/关于该抛物线的对称轴对称，可知：抛物线的对称轴是：直线x=l,进

而可得b的值.

【详解】：抛物线了=/+云+2与丁轴交于点力,

，点A的坐标是：(0,2),

V点5(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称，

..•抛物线的对称轴是：直线x=l,即：--=1,

2a

.—3=1,解得：b=-2.

2x1

故答案是：-2.

【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴公式，理解二次函数图象的轴对称性，是解题的关

键.

3

12.已知AA8C中，ZC=90°,cosA=-,ZC=6,那么4S的长是

4

【答案】8

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的定义，即可求解.

3

【详解】•••ZU5C中，ZC=90°,cosA=~,zc=6,

4

AC6o

-------=K=8

AB=cosA£,

4

故答案是：8.

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，牢记余弦三角函数的定义，是解题的关键.

jn14E

13.已知AA8C中，点分别在边4s和ZC的反向延长线上，若一总=三，则当)的

AB3EC

值是时，DEHBC.

【答案】

4

【解析】

【分析】

AJJ4E1

易得：AADE〜AABC,从而得到：即可得到答案.

ABAC3

【详解】：点分别在边4s和/C的反向延长线上，

若DE11BC,贝必ADE〜AABC,

.ADAE\

,,布一就一3'

*AE_1

••一.

EC4

故答案是：

4

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键.

14.小明从山脚/出发，沿坡度为1:2.4的斜坡前进了130米到达3点，那么他所在的位置

比原来的位置升高了米.

【答案】50

【解析】

【分析】

设他所在的位置比原来的位置升高了x米，根据坡度为1:2.4和勾股定理，列出方程，即可

求解.

【详解】设他所在的位置比原来的位置升高了x米，

:坡度为1:2.4,

他所在的位置比原来的位置水平移动了2.4x米，

(2.4x)2+x2=1302,解得：x=50,

故答案是：50.

【点睛】本题主要考查坡度的定义和应用，根据题意，列出方程，是解题的关键.

15.如图，将AA8C沿6c边上的中线平移到的位置，如果点⑷恰好是

A45C的重心，AB'、/'。'分别于8。交于点〃\",那么的面积与AA8C的

面积之比是.

【解析】

【分析】

易证AA'MN〜AABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.

（详解】•・•MBC沿5C边上的中线40平移到AA'B'C'的位置,

・・・A，M〃AB,A，N〃AC,

AZA,MN=ZB,NANM=NC,

・・・AA，MN~AABC,

VAD和A9D分别是AA,MN和AABC对应边上的中线，点⑷恰好是AA8C的重心，

.AyD_AyM

••4D—AB-H'

；•的面积与A45C的面积之比是：

故答案是：

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是

解题的关键.

16.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面

积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，

。。是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径04的长为1,如果用它的面积来近似估

计OO的面积，那么。。的面积约是..

【答案】3

【解析】

【分析】

根据题意，求出圆的内接正十二边形中的一个三角形的面积，再乘以12,即可得到答案.

【详解】由题意得：ZO=30°,AO=BO=1,如图，

作ACJ_OB,贝ijAC」Z0」xl=L

222

AA0B的面积是：lx—x—=—,

224

圆的内接正十二边形的面积是：7X12=3»

4

即：的面积约是3.

故答案是：3.

【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的面积，根据题意，画出图形，先求出三角形的面

积，是解题的关键.

17.如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫

做矩形的“直角点”，如图，如果£是矩形48C。的一个“直角点”，且CQ=3EC,那么

AD:AB的值是.

【解析】

【分析】

BeCE

先证明ABEC〜AEAD,可得：——二一,设EC=x,贝！JAB=CD=3x,ED=2x,结合AD=BC,

EDDA

可得：AD=41X,进而可得到答案.

【详解】：£是矩形ABCD的一个“直角点”，

.,.ZAEB=90°,

・・・NAED+NBEC=90。，

VZEAD+ZAED=90°,

/.ZBEC=ZEAD,

VZD=ZC,

・・・ABEC〜AEAD,

.BC_CE

•・访―EZ'

•・•CD=3EC,

设EC=x,贝IjAB=CD=3x,ED=2x,

,BC_x

,•云一HZ'

VAD=BC,

AD2=2x-x=2x2,即：AD=岳,

5

AD:AB=5/2%:3x=-----.

一3

行

故答案是：—.

3

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，设EC=x,用代数式表示线段长，是

解题的关键.

18.如图，已知矩形48C。(AB>BC),将矩形48C。绕点3顺时针旋转90。，点4。分

别落在点瓦厂处，连接。/，如果点G是。尸的中点，那么NB£G的正切值是.

Di------------------|C

A'--------------'B

【答案】1

【解析】

【分析】

画出图形，延长EG交DC于点M,先证明AGMDwAGEF,由等量代换，可得：CM=CE,

进而可求出/BEG的正切值.

【详解】延长EG交DC于点M,

:点G是£>尸的中点，

；.DG=FG,

VEF/7DC,

/.ZGDM=ZGFE,ZGMD=ZGEF,

在AGMD和AGEF,

AGDM=Z.GFE

'：＜Z,GMD=ZGEF,

DG=FG

：.AGMD=AGEF(AAS),

/.EF=MD,

；.BC=EF=MD,

VDC=BE,

/.DC-MD=BE-BC,

即：CM=CE,

VZMCE=90°,

/.ZBEG=45°,

，的正切值是：1,

故答案是：1.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形,

是解题的关键.

三、解答题

19.已知函数y=-(x—l)(x-3).

(1)指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；

(2)选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.

X

y

1

【答案】(1)开口向下，顶点(2,1),当xW2,>随x的增大而增大，当xN2,歹随x的

增大而减小；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)根据二次函数的系数的意义和二次函数的性质，即可得到答案；

(2)根据描点法，画出图象，即可.

【详解】⑴Va=-l<0,

函数图像的开口向下，

'/y=-(x-l)(x-3)=-x2+4x-3=-(x-2)2+l,

,顶点坐标是：(2,1),

:抛物线的对称轴是：直线x=2,

...当x<2,J随x的增大而增大，当xN2,J随x的增大而减小；

(2)当x=-l,0,1,2,3,4时，y=-8,-3,0,1,0,-3;如图所示：

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质和描点法画图象，是解

题的关键.

20.如图，在梯形A8C。中，ABHCD,ZABC=90°,ABAD=45°,DC=2,AB=6,

AELBD,垂足为点F.

(1)求NZME的余弦值；

(2)设。C=a,BC=b»用向量a、B表示

【答案】(1)—；(2)AE=3a+^-b

104

【解析】

【分析】

⑴作DM_LAB,垂足为M,易得:DM=AM=4,AD=472,BC=DM=4,从而得tan/BAE==；,

设BF=x,则AF=2x,根据勾股定理，即可求解；

—.3—•3——..

(2)易得：BE=-BC=-b,AB=3DC=3a,根据存=方+而，即可求解.

44

【详解】(1)作DMLAB,垂足为M,

..•在梯形45C。中，AB//CD,ZABC=90°,

，四边形BCDM是矩形，

/.BM=CD=2,AM=AB-BM=6-2=4,

ABAD=45°，

AAAMD是等腰直角三角形，

，DM=AM=4,AD=4近，BC=DM=4,

CD2_j_

..tanNCBD=-----

BC4-2

AELBD,

ZBEF+ZEBF=90°,

VZBEF+ZBAE=90°,

.*.ZEBF=ZBAE,

tanZBAE==—,

2

设BF=x,则AF=2x,

:在RtAABF中，BF1+AF2=AB2,

x2+(2x)2=62,解得：X=^45,

AF=2x=—A/5,

5

12JT

NDAE的余弦值=更=57=3而；

AD~^42~10

(2)*.*AB=6,tanZBAE==,

・・・BE=3,

VBC=4,

3—►3—►3—

：.BE=-BC,即：BE^-BC=-b,

444

VCD=2,AB=6,AB//CD,

AB-3DC—3a,

__►__►__►_3_

AE-AB+BE=3aH—b.

4

【点睛】本题主要考查三角函数得应用和平面向量加法的三角形法则，掌握平面向量加法的

三角形法则，是解题的关键.

21.如图，已知4s是OO的直径，。是。。上一点，CDLAB,垂足为点。，£是弧8c

的中点，0E与弦BC交于点F.

(1)如果。是弧ZE的中点，求的值；

(2)如果OO的直径48=6,FO:EF=1:2,求CD的长.

【答案】(1)1:3;(2)

3

【解析】

【分析】

(1)连接AC,由£是弧8C的中点，。是弧/£的中点，4s是。。的直径，得：ZB=30°,

ZACB=90°,ZA=60°,从而得到：AD:AC:AB=1:2:4,进而即可求解；

⑵由。。的直径48=6,FO:EF=1:2,得:FO=1,进而求得：AC=2,BC=4&,通

过面积法，即可求解.

【详解】连接AC,

是弧8C的中点，。是弧/£的中点,

.•.弧AC=MCE=MBE,

；4B是。。的直径，

.•.ZB=30°,ZACB=90°,ZA=60°,

"CDLAB,

.\ZACD=30°,

AAD:AC:AB=1：2:4,

AAD:DB=1:3;

(2)・・・。。的直径45=6,

・・・0E=3,

•:FO:EF=\:2,

・・・FO=1,

・・・E是弧8。的中点，

AOE±BC,

VAC±BC,

・・・AC〃OE,

・・・AC=2OF=2,

BC=yj—AC2=A/62—22=4A/2，

•：CD1AB,

ACBC2x4行4拒

・・CD=----------=-------------=--------.

AB63

【点睛】本题主要考查圆的性质和直角三角形的性质的综合，添加辅助线，构造直角三角形,

是解题的关键.

22.如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD垂直于水平地面G。，当点P与点4重

合时，伞收紧；当点尸由点4向点5移动时，伞慢慢撑开；当点尸与点8重合时，伞完全

张开.已知遮阳伞的高度是220厘米，在它撑开的过程中，总有

PM=PN=CM=CN=50厘米,C£=C尸=120厘米，3。=20厘米.（参考数据：

sin53°«0.8,cos53°«0.6,tan53°«1.3)

(1)当NCPN=53°,求的长?

(2)如图，当金定全张开时，求点£到地面G。的距离.

【答案】(1)40厘米；(2)196厘米

【解析】

【分析】

(1)连接MN,交PC于点O,易证：四边形MPNC是菱形，由NCPN=53°,可求PO

的长，进而求出PC的长，即可求解；

CMCO

⑵连接MN,交PC于点O,作EH_LCD,垂足是H,易证：MO//EH,得到：

CECH

求出CH=24,进而即可求解.

【详解】(1)连接MN,交PC于点O,如图1,

PM=PN=CM=CN=50,

，四边形MPNC是菱形，

/.MN±CP,CO=PO,

ZCPN=53°,

：.PO=PN-cos53°=50x0.6=30,

.,.PC=2PO=2x30=60,

•/SC=20,

/.BP=PC-BC=60-20=40(厘米)；

(2)连接MN,交PC于点O,作EHLCD,垂足是H,如图2,

:四边形MPNC是菱形，

.,.CO=BO=-5C=-x20=10,MO±BC,

22

VEHXCD,

CMCO5010

.-----=-----,即an■----=-----，

CECH120CH

，CH=24,

Z.DH=CD-CH=220-24=196(厘米)，

即：点E到地面GQ的距离是196厘米.

图1图2

【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质定理以及三角函数的定义，添加合适的辅

助线，是解题的关键.

23.如图，在平行四边形48C。中，点£在边/。上，点R在边CS的延长线上，联结

CE,EF,CE?=DE・CF.

(1)求证：ND=NCEF;

（2）联结ZC,交互于点G,如果/C平分/ECF,求证：AC»AE=CB»CG.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

⑴由/FCE=/CED,CE2=DECF,可得：AFCE-ACED,即可得到结论；

ECCG

(2)先证AECG〜ADAC,可得：一二——,结合AE=CE,DA=CB,即可得到结论.

DAAC

【详解】（1）・・•在平行四边形中,

AAD/7BC,

AZFCE=ZCED,

•:CE?=DE・CF,

.CFEC

^~EC~~DE"

・・・AFCE〜ACED,

・•・AD=ZCEF;

(2)・・・ZC平分4CF,

AZACE=ZACB,

VAD//BC,

.\ZACB=ZCAE,

・・・NACE=NCAE,

AAE=CE,

---ZD=ZCEF,

・・・AECG~ADAC,

.EC_CG

•,拓一获'

:・AC・EC=DACG,

VDA=CB,

:・ACAE=CBCG

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，找到对应角相等，对应边

成比例，以及进行适当的等量代换，是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线^=/+&+。经过点2(2,-3)和点8(5,0),

顶点为C.

(1)求这条抛物线的表达式和顶点。的坐标；

(2)点/关于抛物线对称轴的对应点为点。，联结求N0Q5的正切值；

(3)将抛物线^=/+&+。向上平移雄〉0)个单位，使顶点C落在点£处，点8落在

点F处,如果BE=BF,求/的值.

【答案】(1)y=x2-6x+5,C(3,-4)；(2)3；(3)|

【解析】

【分析】

(1)根据待定系数法，即可求解；

(2)根据题意，画出图形，由OD="42+(-3)2=5,OB=5,可得：ZOBD=ZODB,即可求

解；

(3)根据题意：可得：BE=j4+(-4+/)2,BF=t,列出关于t的方程，即可求解.

【详解】(1)二•抛物线了=/+云+。经过点42,-3)和点5(5,0),

-3=4+26+cb=-6

,解得:

0=25+56+。'c=5

抛物线的表达式是：y=x2-6x+5,

即：J=(X-3)2-4,

AC(3,-4)；

(2)•抛物线的对称轴是：直线x=3,点/关于抛物线对称轴的对应点为点。，

..•点D的坐标(4,-3),

.•.OD=742+(-3)2=5,

V0B=5,

；.OB=OD,

/.ZOBD=ZODB,

过点D作DE，x轴，则DE=3,BE=5-4=1,

DE

tanZODB=tanZOBD=-----=3;

BE

(3)•抛物线了=/+析+。向上平移9〉0)个单位，使顶点。落在点£处，点8落在

点F处,

•••E(3,-4+t),F(5,t),

•••BE=7(5-3)2+(-4+r-0)2=74+(-4+7)2,BF=t,

VBE=BF,

二,4+(-4+/2=t,解得：t=|-.

小yD

C

【点睛】本题主要考察二次函数的图象和平面几何图形的综合，根据题意画出图形，列出方

程，是解题的关键.

25.如图，已知平行四边形48co中，AD=45,AB=5,tanZ=2,点£在射线上,

过点£作所，，垂足为点£,交射线4s于点/，交射线CS于点G,联结CE,CF,

设AE=m.

(1)当点E在边40上时，

①求ACE/的面积；(用含〃，的代数式表示)

②当S^CE=4S.G时，求4E:ED的值；

(2)当点£在边/。的延长线上时，如果A4E尸与ACFG相似，求冽的值.

【答案】(1)①SACEF=—加2+26加，②3：1；(2)m=：6或|j5.

【解析】

【分析】

(1)①作EM±AB,DNXAB,由SACEF=S^-S^-S^,即可求解;

2

②易证：AAEF-ABGF,得：^BGF=C--;)2=~J,即：^^BGF=m-2y[5m+5)

S.AEFAFH5m)2

结合SSCE=5—6〃I,SMCE=45ABFG，即可得到答案；

⑵由ZAEF=ZFGC=90°,\AEF与kCFG相似，分两种情况讨论:①当AAEF〜AFGC时,

②当A4EE〜ACG尸时，分别求出答案，即可.

【详解】(1)①作EMLAB,