湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题

2024年邵阳市高三第二次联芳试题卷

数学

本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形

码粘贴区”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上

要求作答无效.

4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.一组数据：11,30,31,25,20,32,41的第30百分位数为（）

A.30B.31C.25D.20

2.若集合A={M2，>8,xeN*},集合3={R/-7%—8<0},则AcB的真子集个数为（）

A.14B.15C.16D.31

1a

3.已知。为锐角，若sino=—,则cos?—=（）

42

4+715口4-A/15「4-V15NA/15

8844

4.某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲、乙、丙等六人分别上台发言，其中负责人甲、乙发言顺

序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（）

A.240种B.120种C.156种D.144种

5.“四叶回旋镖''可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB=2,CD=1,^A=45.点P在

线段A3与线段迎上运动，则EH.EP的取值范围为（）

G

F.

A.[-4,6]B,[0,6]C.[0,8]D.[4,8]

6.己知三棱锥P—ANC中，24,平面=,PA=AC=2,则此三棱锥外接球的表面积为

()

A14兀28兀厂

A.-----B.-----C.IOTID.57r

33

22

7.已知直线/：%—2y—2=。与椭圆C:1+与=15〉6〉0)相交于A,3两点.若弦A3被直线

ab

加：x+2y=。平分，则椭圆。的离心率为()

A.-B.旦C.立D正

2424

8.已知函数/(%)的定义域为R,7'(尤)为/⑴的导函数.若"1)=e,且/'(x)+e*</(x)在R上恒成

立，则不等式/(x)<(2—x)e'的解集为()

A.(-8,2)B.(2,+8)D.(l,+⑹

二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知函数〃x)=sin3%+J8cos3x+0,则下列结论正确的有()

A./(x)的最小正周期为gB./(X)关于点[对称

C"(x)关于直线x=£对称Dj(x)在区间,噂上单调递减

10.已知复数4/2满足：团=1,以=七—2—2i|(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的有()

AhD止2B.岛罔

C.|Z1-Z2]的最小值为a—1D.|Z[-Z2〔的最大值为夜+1

11.已知函数/(x)在R上可导，且的导函数为g(x).若〃x)=4—/(x+2),g(2x—1)为奇函数，则

下列说法正确的有()

A.g(l)=0B./(2)=0

2024

C./（2）=/（8）D.£/（0=4048

i=l

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知等差数列｝的前n项和为S”.若邑=25,S15=60,贝ija4+«7=.

13.在4ABe中，A=边上的高为也AB，贝hosC=________.

33

14.已知％>0,y>0,若J4无2+3盯+/+〃?而>2无+y恒成立,则实数m的取值范围是.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）如图所示，在四棱台ABC。—A4GR中，底面A3CD是菱形，A、，平面ABC。.

（1）证明：BD1eq；

（2）若人^=2,朋=豆，44=1,/筋。=60,棱上是否存在一点P,使得平面与平面

AOR的夹角余弦值为姮.若存在，求线段CP的长；若不存在，请说明理由.

17

16.（15分）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试

和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如

图所示.

（1）根据频率分布直方图，求。的值及样本平均数的估计值；

（2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N（〃,b2）,其中〃为样本平均数的估计值，b=10.5.规

定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；

（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题

的概率均为x,答对物理题的概率为K若小明全部答对的概率为（，答对两道题的概率为P,求概率P的

最小值.

附：若随机变量X服从正态分布N(〃,b2),则P(〃—段区//+cr)«0.6827,

P(〃—2段混〃+2b)a0.9545,。(〃—3成女〃+3b)°0.9973.

17.(15分)设函数/(%)=7"(X+l)eX,77Z>0.

(1)求/(x)的极值；

(2)若对任意xe(—l,+oo),有1时(九),，2e*恒成立，求加的最大值.

22

18.(17分)已知双曲线：T:J—}=l(a〉0力〉0)的左焦点为「卜6,0),点在双曲线上，直

线/与双曲线r交于A3两点.

(1)若/经过点(—2,0),且/403=90，求|AB|；

(2)若/经过点耳，且A3两点在双曲线r的左支上，则在X轴上是否存在定点Q,使得Q4Q5为定值.

若存在，请求出.QAB面积的最小值；若不存在，请说明理由.

19.(17分)给定整数九.3,由九元实数集合P定义其随影数集。={|%—川%,，6。,工力计.若

min(e)=l,则称集合P为一个〃元理想数集，并定义P的理数/为其中所有元素的绝对值之和.

(1)分别判断集合S={—2,—1,2,3},T={-0.3,—1.2,2.1,2.5}是不是理想数集；(结论不要求说明理由)

(2)任取一个5元理想数集P,求证：|min(P)|+|max(P)|..4,

(3)当。={玉,9，,、/必}取遍所有2024元理想数集时，求理数方的最小值.

注：由〃个实数组成的集合叫做九元实数集合，max(P),min(P)分别表示数集p中的最大数与最小数.

2024年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准

数学

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的)

题号12345678

答案CBADCBCD

8.D解析：构造g(x)=~FX,.g(，)-2x1—~x<,g(')

eee

R上单调递减，由〃力<(2-力e”得:〃力+犹尤<2匕/^+元<2:/©+1,即g(x)<g⑴.

exe

/.x>l,故选D.

二,多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

题号91011

答案ACDBCACD

H.ACD解析：由/(%)+/(X+2)=4,知y=的周期为4.且

20244

/⑴+〃2)+〃3)+/(4)=[〃1)+〃3)]+"(2)+/(4)]=8,所以2/(，)=506Xfa)=4048,

i=li=l

故。正确.由g(2x—1)为奇函数知g(x)关于(―1,0)对称，所以g(-L)=0.由/⑺+〃x+2)=4得

/'(%)+/'(x+2)=0,即g(x)+g(x+2)=0.故g(x)的周期为4且g(—l)+g(l)=0,可得g(l)=0,

故A正确.由上知g(%)的周期为4且g⑴关于(-1,0)对称,所以g⑴关于(3,0)对称.则有

g(x)+g(6-x)=0,即/'(x)+/'(6—x)=0.所以/(x)—/(6—x)=c,令％=3,得c=O.故

/(力―"6—x)=0,所以/(x)关于尤=3对称.又〃2)+/(4)=4,所以〃2)=/(4)=2,故B错误.

又〃4)=/(8),所以〃2)=/(8),故C正确.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.913.^14.(2&—近,+8)

2x+y-yj4x2+3xy+y2

14.（2及-J7,+8）解析：原不等式等价于机,，令

2x+y-J©2+3孙+

z=二2l2+)+3.令=2.目+上,且力.2夜，则

1XyX

z=-7^7=乙二户彳在（2"+"）上单调递减，」厂=2近-3，:.m>2及-币.故

2V2+V7

加的范围是（20-a,+。）.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）（1）证明：连接AC,,底面A5CD是菱形,

:.BD±AC.

又9J.平面ABCD,u平面ABCD,

:.BDVAA{.

又ACn招=A,BD±平面^AC.

四棱台ABC。—A4G2中，AA，CG延长线交于一点,

.•・A，GCA四点共面.

:.BDLCC..

（2）由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系A-孙z,

则A（O,O,O）,D（0,2,0）,R（0,1,若），

若存在点P满足题意，则设P（Ay,0）,ye[-l,l].

易知平面4。。的一个法向量〃=（1,0,0）,

设平面AD]P的法向量济=（七,％,Z。）.

ADt-(0,1,^),AP=(V3,y,0),

AD.=0,[y+^z=0,

则1则二nn

m-AP=0.[v3x0+y,%=0.

令%=A/3,则z0=—I,/=_%根=卜％\^,—1).

I/.\im-nlylA/F7,1

/.cos^m,n^=।一---r=.=——-,解之得y=±二.

1'4\m\-\n\也+/172

13

故在棱6C上存在点P满足题意，此时。尸=—或。尸:一.

22

16.(15分)(1)10X(0.012+0.026+0.032+Q+0.01)=1,

a=0.02.

样本平均数的估计值为50x0.12+60x0.26+70x0.32+80x0.2+90x0.1=69.

⑵〃=69,b=10.5.

1-0Q545

.•.P(XJ®O)=P(X〃+2b)=——1—=0.02275.

,能参力口复试的人数约为40000x0.02275=910(人).

1

(3)由题意有％9y=~-

8

答对两道题的概率尸=d0一,)+C%(1-y=f+2xy-3x2y.

=21,213

而xy——..PD—xH---------.

84x8

i3

令f(%)=—+——(0<J;,1),

.•.当时，/'(x)<0,/(x)在内单调递减;

时，/'(%)>0,/(%)在t,1］内单调递增.

13

.•.当％=时，/(%)*=$•

Zo

3

故概率尸的最小值为2.

8

17.(15分)解：(1)/,(x)=m(x+2)e\m>0.

令_f(x)>0,得x>-2,令小)<0,得x<-2.

故/(力在—2)单调递减，在(—2,+“)单调递增.

/(%)在x=—2处取得极小值7(-2)=-^-,无极大值.

e

(2)2e*对\/尤€(-1,+8)恒成立，即In/，%,2e*-ln(x+l)-x对V九e(-l,+oo)恒成立.

¥

4g(x)=2e-In(x+1)-x,xe(-1,+oo),则只需Inm,,g(x)min即可.

g'(x)=2e'r----1xe(-1,+a)).

•XiJ.

g'(x)在(—1,+8)上单调递增且g'(o)=0.

二当尤e(-1,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减；

当xe(0,+8)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.

故In磁金nine?,；.0〈根e2,故加的最大值为e?.

18.（17分）解：⑴把/（2,、后）代入［―、=1得:

—7——T=1>又片卜^/^,0),，C=.

又a1+片=0，解得。=1*=a.

2

二双曲线方程为Y—2L=i.

2

若直线/的斜率不存在时，l:x=-2,此时不妨设9—2,几）,网—2,—几）.

OAOB=4-6=-2^0>舍去.

2

若/的斜率存在，设/方程为丁=氏（%+2）,代入］_=i,化简得（2—左2卜2一4左2尤—（4左2+2）=0.

/\/、4k24/+2

设人(国,%),则%+%=7^^，玉*2=

2—左左2—2

_6左之

%%=左(石+2)•k(x2+2)=左2[%々+2(再+尤2)+4]=

Ak2+2_6k2

ZAO5=90，得OA-OB=0，即尤i%+乂乃=0•贝U——+^—=0.-.k-=l.

k2-2k2-2

IM=J1+左2“用+々)2_4%々=«+H2=4A/5-

V〈Z—/CyK—Z

(2)假设存在。(m,0),使得Q4-QB为定值.

_2

设/方程为x="—若，代入d―1_=1,化简得(2〃—l)y2—4舟+4=0.

由题意2『—1/0,△=48尸—16(2/—1)=16r+16>0.

4®4

%+%=于口”2=于工

由题意切%<0,.-.2r-l<0,r<g.

QAQB=(%,-m,-(x2-m,y2)

=(?i-6-7〃,yJ.版一百一私/)

=(t2+1)%%百+加)心+%)+(6+㈤2

=(〃+l),^Z?—+加+若)2

乙IJL乙IJ.

(-8-4点〃)/+4「

2

=------------A---------------------------------1-(m+V3)

2产-1

要使QbQB为定值，则土|YM=',解之得加=0.

二存在。(0,0),使得QAQB为定值-1.

此时SQAB=^\FtQ\-\y2-%|=咚'(弘+为)2—4%为

____3

令+1=".1,II2=产+1<一1-2/二3-2八

2

2A/3W2石

•q

••。QAB3—2小3。

--2”

u

,y=—2M在11,——递减，y=-2M在a=1时取得最大值1.

u[2Ju

・••S.24B的最小值为2月.

19.(17分)解：(1)集合S是理想数集，集合T不是理想数集.

⑵不妨设集合?川^^芍专娼且1^^^</，即min(P)=Aj,max(P)=X5.

.P为理想数集，.•.VieN*,啜f4,则且予XeN*,蔑/4,使得q+「%=L

当国..0时，

|min(P)|+|max(P)|=|尤J+l/l=(尤2—%)+(七一无2)++(%—七)+(尤5一*4)+2玉®'+？％4.

当且仅当%+1-玉=1且再=0时，等号成立；

当尤5”。时，

|min(P)|+|max(P)|=|x1|+|x5|=-xt—x5=(x2-xt)+(x3-x2)+(x4-x3)+(x5-x4)-2x5®-2x54.

当且仅当为+1-%=1且匕=0时，等号成立；

当％<0,%>0时，

=-%；3

|min(P)|+|max(P)|=|x1|