2024年高考数学复习：新定义型几何图形综合问题（重点突围）(教师版)

高考复习材料

专题12新定义型几何图形综合问题

.【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一与三角形有关的新定义型问题】.....................................................1

【考向二与四角形有关的新定义型问题】....................................................11

【考向三三角形与圆综合的新定义型问题】.................................................23

【考向四四角形与圆综合的新定义型问题】.................................................31

尸9

忆，爵【直击中考】

【考向一与三角形有关的新定义型问题】

例题：（2022•江西抚州•统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相

交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三

角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的"华丽分割线

例如：如图1,4D把448C分成448。和ZUDC,若448。是等腰三角形，SLAADC-ABAC,那么/。就

是ZU8C的"华丽分割线

【定义感知】

⑴如图1,在V/BC中，Z5=40°,ZBAC=\\00,AB=BD.求证：4D是V/BC的“华丽分割线

【问题解决】

⑵①如图2,在V/8C中，48=46。，AD是V48C的“华丽分割线”，且△/AD是等腰三角形，则NC的度

数是;

②如图3,在V/8C中，48=2,AC=64D是Y4BC的“华丽分割线”，且△/灰）是以4D为底边的等腰

三角形，求华丽分割线的长.

【答案】⑴见解析

⑵①21。或者42。；②AD=ga

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可;

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（2）①分两种情况讨论，利用三角形内角和解答即可;

②根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】（1）证明：

是等腰三角形，

vz5=40°,

180。一/5

:•乙ADB二=70°,

2

.-.ZL4DC=180°-Z^D^=110°=^BAC,

XvzC=zC,

•♦.AADC〜ABAC,

-AD是AABC的〃华丽分割线〃.

(2)①当45=5。时，得乙4DB=67°,

,4DC=180°-^ADB=113°.

♦•&DCMBAC,

：.Z.BAC=/-ADC=\\y.

在A45C中，由内角和定理得乙。=21。；

当40=5。时，

・•・乙4。。=92。，

♦•,AADCFBAC,

••Z54C=ZAOC=92°,

在A4BC中，由内角和定理得乙。=42。；

综上分析可知，4c的度数为21。或42。；

故答案为：21。或42。；

②•・・力0是A4BC的〃华丽分割线〃，且A4&）是以AD为底边的等腰三角形,

.•△4DC-AB4C,

CD_AC

••就一兹’

即平=X_,解得：CD=1,

\3CD+2

ADAC

,,下一疏’

即丝=巫，解得：AD上拒.

22+13

【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性

质解答.

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【变式训练】

1.（2022,山东济宁•三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图回，在V4BC

中，AB=AC,顶角A的正对记作sacU,这时sacU=5^=绘，容易知道一个角的大小与这个角的正对值

腰AB

也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解答下列问题：

3

⑵如图，已知sirL4=w，其中为锐角，试求sacU的值.

【答案】⑴1，6；

⑵巫.

5

【分析】（1）根据正对sacM的含义分别求解即可；

（2）延长/C到点。，使得连接皿，由题意可得：sacL4=—,求解即可.

AD

【详解】（1）解：V/5C为等边三角形，如下图：

sad60°=---=1,

AC

VZ5C为等腰直角三角形，如下图:

由勾股定理可得：BC=42AB,

sad90°=—=V2；

AC

故答案为：i,；

（2）解：延长/C到点D,使得连接8。，如图:

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由勾股定理可得：AC7AB2-BC。=4k，

贝|」8=左，

由勾股定理可得：BD=JCZ)2+8c2=Mk，

由题意可得:sa用处

AD

【点睛】此题考查了解直角三角形，以及新定义三角函数，解题的关键是理解题意，掌握sa(M三角函数的

定义.

2.(2022春・福建龙岩•九年级校考期中)在一个三角形中，如果有两个内角口与△满足2a+夕=90。，那么

我们称这样的三角形为“亚直角三角形”.根据这个定义，显然尸<90。，则这个三角形的第三个角为

180。-(。+广)>90。，这就是说"亚直角三角形"是特殊的钝角三角形.

(1)【尝试运用】：若某三角形是“亚直角三角形"，且一个内角为100。，请求出它的两个锐角的度数；

⑵【尝试运用】：如图1,在Rtv/8C中，乙4cs=90。，/C=4,8c=8,点。在边上，连接AD,且ND

不平分/A4c.若△48。是“亚直角三角形”，求线段工。的长；

(3)【素养提升】：如图2,在钝角V48c中，ZABC>90°,48=5,BC=3^,V48c的面积为15,求证:

V48C是“亚直角三角形”.

【答案】⑴10°,70°

(2)AD=14s

⑶证明见详解

【分析】(1)根据方程组求出a,夕即可.

ATCD

(2)证明推出三：=三，可得结论.

BCAC

(3)过点/作4D18C,交C3的延长线于点D.利用三角形面积求出4D,再利用勾股定理求出AD,再

证明5s可得结论.

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(1)

2a+(3=90°

解：由题意,

a+£=80°

a=10°

解得

4=70°

•,.它的两个锐角的度数为10°,70°.

(2)

W：■.■ZACB=90°,

:"B+ABAD+ADAC=90°,

又：NBAD?NDAC,

.•.4+2/8/0*90。，

•••AABD是“亚直角三角形”,

.-.2ZB+ZBAD=90°,

NB=ADAC,

△ACDsABCA,

ACCD

5C)

在RtMACD中，AD=yjAC2+CD2=次+2?=275.

(3)

证明：过点A作/。IBC,交C8的延长线于点D.

■-BC=3y[5,%BC=15,

•••AD2y[s,

在RtMADB中,

VAB=5,

•••BD=y)AB2-AD2=6-(2病2=退，

■-CD=3y/5+45=4y/5,

AD2>/5cDC4>/5n

•*,==2,=产=2,

DBV5AD2V5

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ADDC

,,瓦―茄’

又•・•/D=/D,

・•・Z\ADB^Z\CDA,

・•./DAB=ZC,

vZC+/BAC+/DAB=90°,

/.2ZC+Z5^C=90°,

.•・V48C是"亚直角三角形".

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，"亚直角三角形"的定义等知

识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

3.（2022秋,江苏常州•九年级校考期中）【理解概念】

定义：如果三角形有两个内角的差为90。，那么这样的三角形叫做"准直角三角形”.

⑴已知是"准直角三角形"，且NC>90。.

①若—=60。，贝iJZB=。；

②若44=40。，贝。；

【巩固新知】

⑵如图①，在Rt448C中，NACB=90。,AB=6,8C=2,点。在/C边上，若△48。是“准直角三角

形”，求8的长；

图①

【解决问题】

⑶如图②，在四边形N8C。中，CD=CB,NABD=NBCD,AB=5,BD=8,且V28C是“准直角三角形”,

求△BCD的面积.

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图②

【答案】（1）①15；②10或25

⑵CD=也或正

2

⑶△BCD的面积为48或24

【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可；

②根据三角形内角和定理求解即可；

（2）根据题意可分为①当N5D/-ND8/=90。时，过点。作D"，A8于〃，结合勾股定理求解；②

NBDA-N4=90。,结合相似三角形的判定和性质求解即可；

（3）过点C作C/_LAD于尸，CE1AB,交N8的延长线于E,设NABD=NBCD=2x,

根据CF_L2D和CE148可得CE=CF,即可证明RtZkBCE/Rt^BC厂，可得BE=BF=4,进而分情况讨

论求解：当NABC-NACB=90°时和当NABC-ABAC=90°.

【详解】（1）①当NC—N/=90。时，则NC=150。,

AB=180°-ZC-ZA=-30°（不合题意舍去），

当/。一/8=90。，则NC=/8+90。，

■.■ZA+Z3+ZC=180°,

.•.2/8=30°,

:4=15°,

综上所述：NB=15。,

故答案为：15；

②当NC-//=90。时，则/C=130。，

ZS=180°-ZC-Z^=10°,

当/。一/8=90。，则NC=N8+90。，

ZA+ZB+ZC=180°,

2ZB=50°,

.-.ZB=25°,

综上所述：N8=10°或25。，

故答案为：10或25：

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(2)当NBD4-NDA4=90。时，如图①，过点。作。〃_L48于〃,

图①

在Rt△力中，/ACB=90。,BC=2,4B=6,

-AC=^AB2-BC2=762-22=4A/2，

ABDA-/DBA=90°,ABDA=ADBC+ZC=NDBC+90°,

・•・/DBA=ZDBC,

又•:DH上AB,DCLBC,

/.DH=DC,

.,DHBC\

,/sinA=-----==—,

ADAB3

：.DH=-AD=DC,

3

・•.DC==AC=也,

4

当—乙4=90。时，

•••ABDA—/A=90°,ABDA=/DBC+ZC=ADBC+90°,

・•.//=/DBC,

又•・•zc=zc,

:./\BCDsAACB,

BCCD

.•就一就‘

2CD

：.CD=—,

2

综上所述：3夜或冬

(3)如图②，过点C作C尸J_8。于凡CE1AB,交的延长线于E,

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图②

设ZABD=/BCD=2x,

vBC=CD,CF1,BD,

ZCBD=ZCBE=90°-x,BF=DF=4,

又・.・CF_LB。，CE上AB,

・•・CE=CF,

又・.•BC=BC,

在RtVBCE和RtVBCF中，

[CE=CF

[BC=BC'

.・.RtA5CE丝RtA5CF(HL),

**-BE=BF=4,

当/4BC—//CB=90。时，

又・・•/ABC-NAEC=Z.BCE,

/./BCA=/BCE,

,/_、—ACAB5

由(2)可知：—=—=

CEBE4

设AC=5a,CE=4。,贝！]AE=3。=9,

・，・a=3,

/.CE=n=CF,

：.S\BCD=,xl2x8=48,

当N4BC—NB4C=90。，

又・・•/ABC-NAEC=/BCE,

ABAC=/BCE,

又•・•/E=/E=90°,

NBCESYCAE,

.—CE—-B--E--

,,一♦

AECE

.・.CE=6,

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■■^BCD=1x6x8=24,

综上所述：的面积为48或24.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理和三角形内角和定理,

灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

4.（2022•山东青岛•统考中考真题）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.

例如：如图①.在V48C和V4QC中，分别是2C和B'C'边上的高线，且则V48c和

VHB'C'是等高三角形.

图①图②图③

【性质探究】

如图①，用SV/BC，分别表示V/8C和V/'B'C'的面积.

则SMBC=；BC，AD,S：=\B'C-A'D',

AD=AD'

'''S^ABC：S.B,C=BC:B'C.

【性质应用】

(D如图②，。是VNBC的边BC上的一点.若BD=3,DC=4,则$△',：$△＜叱=;

⑵如图③，在V/3C中，D,£分别是8c和4B边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1;3,SAABC=1,则

S/xBEC=，S&CDE=；

⑶如图③，在V/3C中，D,£分别是和43边上的点，若BE:AB=l:m,CD:BC=1:〃，SVABC=a,

则S&CDE=-

【答案】⑴3:4

(3)-

mn

【分析】（1）由图可知△43。和△4DC是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；

（2）根据B£:A8=1:2,S△惭=1和等高三角形的性质可求得此皿，然后根据8：BC=1:3和等高三角形

的性质可求得“COE；

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（3）根据=机，Sv，Bc=a和等高三角形的性质可求得SV8EC,然后根据CD:5c=1:"，和等高

三角形的性质可求得以8八

【详解】（1）解：如图，过点工作NE18C,

则SvABD=5BD.AE,S7Aoe=--AE

•：AE=AE,

*'•S^ABD-S^ADC=BD:DC=3:4.

(2)解：・••VBEC和V”C是等高三角形,

S'BEC•S4ABC=BE:AB=1:2,

•••S'BEC=5S^ABC=5X1=/；

•:YCDE和MBEC是等高三角形,

*e•S/^CDE-SvBEC=CD:BC=1:3，

_j_j__J_

=X

,#•^MCDE=T7BECTT-T•

3、326

(3)解：・・,V3EC和VZ5C是等高三角形,

*',S'BEC-SAABC=BE:AB=1:加，

1

.qC1_a

\BEC——^AABC=—XQ=—；

mmm

・•・VCDE和VBEC是等高三角形,

**,S/^CDE•S\BEC=CD:BC=\\n,

.c_1o_j_a_a

、7CDE=-、\JBEC=-X——=.

nnmmn

【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵

活运用是解题的关键.

【考向二与四角形有关的新定义型问题】

例题：（2022•陕西西安•校考三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.

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⑴问题发现：如图1,筝形N8CO中，AD=CD,AB=CB,若NC+AD=12,求筝形23CZ）的面积的最

大值；

⑵问题解决：如图2是一块矩形铁片48CD,其中/3=60厘米，8c=90厘米，李优想从这块铁片中裁出

一个筝形EFGH,要求点E是42边的中点，点尸、G、〃分别在8C、CD、AD1.（含端点），是否存在

一种裁剪方案，使得筝形EFG8的面积最大？若存在，求出筝形即GH的面积最大值，若不存在，请说明

理由.

【答案】⑴18

（2）存在，最大面积为3000平方厘米

【分析】（1）由题意证明V4B。2VCAD（SSS）,则=BDLAC,根据

117

S筝如BCD=Sv®+凡88=58。X/C=-]（8。-6）一+18,求出面积的最值即可；

（2）由题意可知，分两种情况讨论：①当G为CD中点时，如图2,筝形EFG8中，EH=EF,

GF=GH,EGLHF,贝ijEG=8C=90厘米，//F=AB=60厘米，由（1）可知，根据

S^EFGH=^EGxHF,求出筝形的面积；②当G与C重合时，如图3,筝形EFGH中,EH=HG,

GF=EF,EGLHF,在上△BCE中，由勾股定理得EG=⑪"+叱,求出EG的值，设EF=CF=x,

贝1J8尸=90r,在RtABEF中,由勾股定理得=£尸一8尸，§P302=x2-（90-x）2,求出x的值，设

///=机，则。8=90-%，根据£7/=/7,可得302+/=（90_加『+602,求出用的值，如图3,作.

于Af,贝ijMH=20,在RNFHM中,由勾股定理得尸”=行正2向'，求出尸的值，根据

S筝形即GH=”GXS求出筝形的面积；然后比较①②的大小，进而可得结论•

（1）

解：在△48。和△CB。中，

AD=CD

-：＜AB=BC,

BD=BD

；.VABD却CBD(SSS),

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・•.ZADB=ZCDB,

vAD=CD,

；,BD上AC,

第形=S、ABD、BCD~

S争■花夕AULDvADU+Svm^u-2BDx（I2-AC）|H2—BDxI[_ACI|=_BDxAC

=；xBDX（12-BD）

17

=--（BD-6）+18,

a=一■-<0,

2

；.AD=6时，面积最大，值为18.

⑵

解：由题意可知，分两种情况讨论：

①当G为CD中点时，如图2,筝形EFGH中，EH=EF,GF=GH,EGVHF,

图2

.•.EG=2C=90厘米，//F=/2=60厘米，

由（1）可知，S筝形即6"=3'石6*彼=1^90、60=2700平方厘米；

②当G与C重合时，如图3,筝形EFG〃中，EH=HG,GF=EF,EGYHF,

在R/ZXBCE中，由勾股定理得EG=，叱+叱=3。厢,

设EF=CF=x,则8尸=90-x,

在RtABEF中,由勾股定理得8£2=所2_9*gp302=x2-（90-x）\

解得x=50,

；.BF=40,

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设4H=m,则。"=90-加，

■：EH=HG,

.-.302+zn2=（90-m）2+602,

解得机=60,

如图3,作FM_L4D于则MH=20,

在RtX/FHM中，由勾股定理得尸/才=y]FM2+MH2=20V10，

S空J彩ijz-tFi.**H\JUn=2-XEGXHF=-2X30VWx20Vi0=3000平方厘米；

V2700<3000,

二存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大，面积为3000平方厘米.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，二次函数的最值等知识.解题的

关键在于明确筝形面积与对角线乘积的关系.

【变式训练】

1.（2022•吉林长春•校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互余

四边形.

⑴问题1.利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（）

①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形.

⑵如图①，在对角互余四边形N8CD中，ZD=30°,且/C/3C,ACX.AD.若BC=1,求四边形43CD

的面积和周长.

（3）问题2.如图②，在对角互余四边形N3CD中，AB=BC,BD=13,ZABC+ZADC=90°,AD=S,

CD=6,求四边形28CZ）的面积和周长.

3

⑷问题3.如图③，在对角互余四边形/3CD中，BC=2AB,smZABC=~,ZABC+ZADC=90°,

8。=10,求V/CD面积的最大值.

【答案】⑴①③④

（2）$四边相88=2百，四边形28CD的周长=6+2公

⑶S四边附2=36,四边形/BCD的周长=等至+14

（4）V/C£＞面积的最大值=18

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【分析】(1)结合定义来判断，重点是拼成的四边形一对对角互余.

(2)因为ACVAD,所以N/C2=NC4D=90。，所以在对角互余四边形Z8CD中，只能

ZB+ZD=90°.这样利用含30。直角三角形三边的特殊关系，就可以解决问题；

(3)如图，将VB4D绕点3顺时针旋转到V8CE,则MBCE-BAD,连接DE，作88_L0E于〃，作CG1DE

于G,作CFLBH于F,这样可以求乙DCE=90。，则可以得到的长，进而把四边形/BCD的面积转化

为△BCD和V8CE的面积之和，△ADE和VCDE的面积容易算出来，则四边形/BCD面积可求.再求出CG

和房的长度，就可以得到4F和。尸的长，利用勾股定理可以求出8C的长，四边形NBCD的周长可求.

(4)构造VA4尸SVNCD,根据sin//8C=sin/P/D=§,利用相似的性质和勾股定理求出=3石，然

后根据对角互余四边形的性质得到乙阳。=90。，从而得到尸40〃四点共圆，而VP4D与V/C。同底，高成比

Q

例，从而得出Svwco=1，取£>，根据VP4D面积最大值可求VNCD面积的最大值.

【详解】(1)解：①两个等腰三角形底边相等，顶角互余，就可以，故①可以得到一个对角互余四边形；

②等边三角形不成，即使是全等的等边三角形拼成四边形对角和为120。或240。，故②得不到对角互余四边

形；

③两个全等的直角三角形或有一条直角边相等的相似的两个直角三角都可以，故③可以得到一个对角互余

四边形；

④由③可知④可以得到一个对角互余四边形；

故答案为：①③④；

(2)AC1BC,ACLAD,

ZACB=ZCAD=90°,

・•・对角互余四边形48CD中，=30。，

.•./B=60°,

在Rt2\/3C中，ZACB=90°,/8=60。，BC=1,

■■AB=2,AC=43,

在中，ZCAD=90°,/D=30°,

AD=3,CD=2y/3,

•■-^c=-^C-BC=-xV3xl=^,S,ACD=-.AC-AD=-X^X3=^-,

乙乙乙乙乙乙

S四边衫4BCD=SyABC+SyjACD=2y，

四边形/BCD的周长=/8+8。+。£>+/。=2+1+2百+3=6+26；

(3)如图，将V24D绕点3顺时针旋转到V3CE,贝11VBeE会V84D,

连接。E,作BHLDE于H,作CG_LDE于G,作。尸_13”于尸.

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・•.ZCFH=ZFHG=ZHGC=90°,

・•・四边形UHG是矩形，

：,FH=CG,CF=HG,

•ZBCEaBAD,

；.BE=BD=13,/CBE=/ABD,ZCEB=ZADB,CE=AD=8,

•••ZDCE=ZDCG+/ECG=ZDBC+/CBE+ZBDC+/CEB；

・•.ZDCE=ZDBC+/ABD+ABDC+ZADB=/ABC+ZADC；

-ZABC+ZADC=90°f

/.ZDCE=90°,

・•・在△5DE中，根据勾股定理可得=炉=1。,

VBD=BE,BHIDE,

・•.EH=DH=5,

・•・根据勾股定理可得BH=ylBE2-EH2=12，

：.SVRFD=BH.DE=—xl2xl0=60,S=—•CD-CE=—x6x8=24,

vDEJU22vvrFn22

•NBCEWBAD,

S四边形功8二S'BCD+S'BCE=S'BED~^MCED—60-24=36,

♦：SVCED=:CG・DE=24,

24

・・.CG=M，

24

；.FH=CG=—,

5

：,BF=BH-FH^n--=—,

55

-ZCGE=ZDCE=90°,ZCEG=ZDEC,

:.VCGEs'DCE,

GE_CG

,~CE~^C'

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24

・•・GE石，

T~~6~

32

：.GE=—

5

/.CF=HG=GE-EH=75,

根据勾股定理可得BC=^BF2+CF2=^(y)2+(1)2

在RtZXHFC中，ZBFC=90°,

...AB=BC=^L

・•・四边形/BCD的周长=45+BC+CZ)+4Z)=^^+14；

5

(4)如图：作YBAPsBCD,

BD_BC_CD

・•・/DBC=/PAB,

~BP~^B~~PA

・•.ZPBD=/ABC,

vBC=2AB,BD=10,

/.BP=5,AP=-CD,

2

过尸点作

3

sin^ABC=~,

3

/.smZPBH=-f

BH=4,PH=3,DH—6,

连接P"PA,

由作VA4尸sBCD可得ZPAB=ZBCD,由对角互余四边形ABCD,

可得AACD+ABAD=270°,

高考复习材料

・•・/DAB+/BAP=27G0,

NP4D=90。,

・・・夫/加四点在以尸。为直径的圆上,

作设CD=x,

-ZABC+ZCDA=90°f

4

・•・sinZCDA=-

5

/.CQ=gx,

1421111

S7=—x—xxA.D=—A.D,x,S'pAn——xPA.xA.D——x—xxA.D——CD,x,

4rn2552224

•q__C

••^MACD一匚^MPAD，

•••凡均。面积最大时是以尸。为斜边的等腰直角三角形,

如图：

故此何面积最大=；x3V^x；*3括'=,,

所以V/CD面积的最大值=:8x=45=18.

54

【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，

解（2）的关键构造V8CE之V84D,解（3）的关键是构造作VB4Ps8c。，将求V/CD面积的最大值转化

为求VP4D面积.

2.（2023春•江西抚州•九年级金溪一中校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做"等邻边

四边形

高考复习材料

图①图②图③

【问题探究】

⑴如图①，已知矩形/BCD是"等邻边四边形"，则矩形/BCD(填"一定"或"不一定")是正方

形；

⑵如图②，在菱形48CD中，ZABC=120°,48=4,动点M、N分别在40、CD上(不含端点)，若

ZMBN=60°,试判断四边形是否为"等邻边四边形"？如果是"等邻边四边形”，请证明；如果不是，

请说明理由；此时，四边形BMW的周长的最小值为；

【尝试应用】

(3)现有一个平行四边形材料/BCD,如图③，在Y/8C7)中，ABW,8c=6,tan8=4,点、E在BC

上，且5E=4,在Y/BCD边/。上有一点P,使四边形/8EP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形

ABEP的面积可能为的值__________.

【答案】⑴一定

⑵四边形8MON是"等邻边四边形”，理由见解析，四边形8MLW的周长最小值为4百+4

,—49

⑶2a+8或y-或14

【分析】(1)根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论；

(2)如图②中，结论：四边形是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明2M=8N即可；

(3)如图③中，过点A作/ALBC于H,点£作于N,则四边形2HEN是矩形.分三种情形:

①当4P=/2=如时，②当尸工=尸石时，③当PE=8E时，分别求解即可.

【详解】(1)•••四边形/BCD的邻边相等，

二矩形/BCD一定是正方形；

故答案为：一定；

(2)如图②，四边形BMW是等邻四边形；

理由：连接BD.

•.•四边形43。是菱形，

AB=BC=CD=AD=4,ZABD=ZCBD=-ZABC=60°,

2

・••△ABD,V8OC都是等边三角形，

ZBDM=ZBCN=60°,DB=CB,

高考复习材料

•••ZMBN=NDBC=60°,

NDBM=ZCBN,

ADBM三△CW(ASA),

：.BM=BN,DM=CN,

四边形BMDN是等邻四边形，

:.DM+DN=DN+NC=CD=4,

-：BM+DM+DN+BNBM+BN+A,

■.BM+BN的值最小时，四边形BMDN的周长最小，

根据垂线段最短可知，当时，8W的值最小,

此时，BM=BN=AB-sin60°=2A/3,

.•・四边形的WDN的周长的最小值为4石+4.

B

图②

(3)如图③中，过点A作8c于〃，点E作ENJL/。于N,则四边形是矩形.

AH「

tanBn=—-=4A,AB=W,

BH

/.BH=1,AH=EN=4,

••・BE=4,

①当4P=48=JI7时，

/边形/B£P=](8£+/P)/"=gx(a+4)x4=2a+8.

②当尸/=PE时，设P/=PE=x,

在RtZXPEN中，•••PE2=NE2+PN2,

x2=42+(x—3),

高考复习材料

25

x——,

6

11<?5A49

；•$四边非典>=3"£+—+4x4=--.

Z，16J3

③当尸E=2E时，点尸与N重合，此时.

S四边形/四=g（8£+/P）?H=gx（3+4）x4=14.

,—49

综上：四边形/2EP的面积为2而+8或亍或14.

【点睛】本题考查了"等邻边四边形"的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的

面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问

题.

3.（2022•江西赣州•统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做"等邻角四边形".例如：如图

①，Z5=ZC,则四边形N3CZ）为"等邻角四边形”.

图①图②图③

⑴定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是.

①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形.

⑵深入探究：

①已知四边形N8C。为"等邻角四边形"，且//=120。，48=100。，则乙D=.

②如图②，在五边形/BCDE中，DE//BC,对角线AD平分2/2C,求证：四边形AB0E为等邻角四边

形.

⑶拓展应用：如图③，在等邻角四边形N8C。中，/B=NC,点P为边8C上的一动点，过点尸作

PM1AB,PNLCD,垂足分别为M,N.在点尸的运动过程中，PM+/W的值是否会发生变化？请说明

理由.

【答案】⑴②④

⑵①40。或70。或120。；②见解析

⑶不会发生变化，理由见解析

【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的性质即可解答；

（2）①分当=和ND=NN、=时三种情况求解；

②由DE〃BC得NEDB=NDBC,根据对角线2。平分N/5C,得乙4BD=NDBC,故NABD=NEDB,

即证得四边形/2DE为等邻角四边形;

高考复习材料

(3)过C作S_LA8于X,过尸作PG_LS于G,由尸M_L48,CH1AB,PG1CH,得四边形7WZG

是矩形，得PM=HG,可证明APGCMACNP,得CG=PN,即有9+PN=〃G+CG=C〃，从而说明

在点P的运动过程中，尸川+PN的值总等于C到的距离，不会变化.

(1)

解：①平行四边形的邻角互补，不是等邻角四边形；

②矩形四个角都是直角，则邻角相等，是等邻角四边形；

③菱形的邻角互补，不是等邻角四边形；

④等腰梯形的两个底角相等，是等邻角四边形.

综上，②④是等邻角四边形.

故答案为：②④；

(2)

解：①当/C=/D时，四边形为"等邻角四边形”，

•••//=120。，4=100。，

ZC=ZD=(360°-120°-!00°)<-2=70°；

当ND=ZA=120。时，四边形ABCD为"等邻角四边形”，

当NC=/B=100°时，四边形ABCD为“等邻角四边形”，

ND=360°-120°-100°-100°=40°；

故答案为：40。或70。或120。；

(2)-.-DE//BC,

ZEDB=NDBC,

•••对角线AD平分/ABC,

ZABD=ZDBC,

•­•ZABD=ZEDB,

••・四边形ABDE为等邻角四边形；

(3)

解：在点尸的运动过程中，PM+PN的值不会发生变化，理由如下：

过C作于//,过尸作PGLCH于G,如图：

■,■PMLAB,CHLAB,PGLCH,

：.APMH=NPGP=ZMHG=90°,

••・四边形/W7G是矩形，

高考复习材料

：.PM=HG,MH//PG,即

.・.ZB=ZGPC,

vZB=ZNCP,

・•・/GPC=ZNCP,

•:PN1CD,

；"PGC=NCNP=9G0,

在APGC和NCNP中,

ZPGC=ZCNP

<ZGPC=ZNCP,

CP=PC

/.APGC=/^CNP(AAS),

/.CG=PN9

：.PM+PN=HG+CG=CH,

即在点尸的运动过程中，尸M+/W的值总等于。到45的距离，是定值.

【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题

的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题.

【考向三三角形与圆综合的新定义型问题】

例题：(2022•江西上饶•统考一模)定义：如果一个三角形有一个内角的平分线与这个角的对边的夹角是

60°,那么称该三角形为''特异角平分三角形〃，这条角平分线称为''特异角平分线〃.

⑴如图1,V4BC是一个〃特异角平分三角形〃，40是一条〃特异角平分线〃

①当/。=90。时，试求40:3。的值.

②在V45C中，过点。作。£1/3于点区延长至点凡HE=DE,若DE:AE=®.3,证明:

MAHE^IADC.

⑵如图2.如是e。的直径，/C是e。的切线，点。为切点，45，ZC于点力且交e。于点H连接0H

交BC于点E,BD=4,/8=3.试证明△05〃是一个〃特异角平分三角形〃.

高考复习材料

【答案】⑴①1:1;②见解析

⑵见解析

【分析】(1)①由直角三角形两锐角互余得40/2=30。，故可得ND45=N3=30。，继而得=从而

可得结论；②根据角一部分线的性质得。C=DE=£",AE=AC.运用S/S可证明V4HE/V/DC；

(2)连接OC,CD.分别证明N/C8=60。，BE平分NHao即可.

(1)

①当NC=90。时.如图1①，

图1①

ZADC=60°,

ZDAC=30°,

vAD平分NBAC,

・•.ABAD=30°,

在△Z5Q中，Z5=60°-30°=30°,

：.ZB=ZBAD,

BD=AD,

・•・AD\BD=\\\；

②如图1②

图1②

VDE1AB,DE:AE=®.3,

巧

・•・tan/DAE=DE:AE=—

3

・•・/DAE=30°,

高考复习材料

・•.ZEDA=60°.

•・•AD是一条〃特异角平分线”，

VABC是一个〃特异角平分三角形〃.

-ZADC=60°f

ZDAC=ZDAE=30°.

/.ZC=600+30°=90°

•・,DE_LAB,AD平分NBAC

DC=DE=EH,AE=AC.

在石与△/DC中

HE=DC

<ZHEA=ZDCA,

AE=AC

；,YAHE文ADC.

(2)

连接OC,CD.

••・4。是e。的切线，。。是e。的半径,

・・・OC_L/C,

•••ABIAC,

OC//AB,

ZOCB=/CBA,

vOC=OB,

："OCB=/DBC,

Z.CBA=ZDBC,即BE平分

•・•。5是e。的直径，

/.Z.DCB=90°,

ZDCB=ZA

ZDBC=ZABC

高考复习材料

:ABCDsABAC,

BC_BD

•,加一疏’

•.•5。=4,45=3,

••.802=4x3，

••-5C=V4^3=2A/3.

./…4B3百

smZACB==-y==——,

BC262

；.NACB=60°,

■,DHPAC,

NHEB=ZACB=60°,又BE平分NHBD,

符合定义.

即△可〃是一个"特异角平分三角形

【点睛】本题主要考查了新定义推理，正确理解"特异角平分三角形"是解答本题的关键.

【变式训练】

1.（2022春•九年级课时练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成

的锐角称为该三角形第三个内角的"好角

C

图1

⑴如图1,NE是V/8C中乙1的“好角"，若//=a,则NE=；（用含0的代数式表示）

（2）如图2,四边形/8C。内接于e。，点。是优弧NC8的中点，直径弦NC,BF、CD的延长线于点

G,延长3c到点E.求证：N8GC是V/8C中N8/C的"好角

（3）如图3,V48c内接于eO,乙BGC是V48c中■的"好角”，5G过圆心。交e。于点尸，eO的直径为

8,乙4=45°,求FG.

【答案】⑴。a

⑵见解析

⑶FG=4历

【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角定理，可知41=41CD-〃!8C,4E=4ECDYEBC=g/ACD