广东省深圳市2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷（含答案及解析）

2023年中学部八下期中考试

一、选择题（每小题3分，10小题，共30分）

1.若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的腰长为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

2.下列图形是中心对称图形的是（）

匚B金c@D

O如果代数式匹有意义,

3.1

那么X的取值范围是（）

x-2

A.*2B..¥>-1C.x^-1D.x>-l,

且存2

4.右％-4是分式方程=+的根，则。的值为（）

Xx--3%

A.6B.-6C.4D.-4

5.关于x的分式方程---=1有增根，则相的值（）

x-22-X

A.m—2B.m—1C.m=3D.m--3

6.已知四边形ABCD是平行四边形,，则下列各图中N1与N2一定不相等的是（）

'3B因70「区■

7.如图，在MZV1BC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上，以AC为对角线的所有

口ADCE中，DE最小的值是（）

A.2B.3C.4D,5

8.如果关于x的不等式（a+2012）%>。+2012的解集为％<1.那么〃的取值范围是

（）

A.a>-2012B.a<-2012C.<2>2012D.

<2<2012

9.已知关于x的方式方程上处=—的解是非负数，那么。的取值范围是（）

x-33

A.d>lB.。之1且。#3C.。之1且。#9D.a<l

10.如图，AC平分1/MB，CE，AB千E,AB=AD+2BE,下列结论正确的有

()个.

①AE=；(AB+AD)；②NDAB+NDCB=180;③CD=CB；④

S^ACE-S/^BCE=^AADC；⑤AD=AE-

D

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（共5小题）

11.因式分解：am。-9a=-

12.如图，在Rt_ABC中，ZC=90°,ZB=20°,尸。垂直平分A3,垂足为Q,交

于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边

于点D,E；②分别以点D,E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交

于点F；⑤作射线AF.若”与PQ的夹角为&，则a=°.

x—2x—1

----<-----

13.若关于x的不等式组｛43有且只有三个整数解，则根的取值范围是

2x-m<2-x

14.若数。使关于x的分式方程三+—=3的解为非负数，且使关于y的不等式组

x-11-x

y-3y+1>13

,77一一丘■的解集为y<0,则符合条件的所有整数〃的积为

2（y-々）<0

15.如图，平行四边形ABCD中，BG平分NABC交AD于G,AFLCD于F,AF交BG

于E,AB=AF=12,GD=1,贝ljEC=.

三、解答题（共8小题）

A、.2x1

16.(1)解方程：---——-+1；

x+3x+3

4x+2>%—7

（2）解不等式组:

3(%-2)<4+x

三、解答题（共8小题，共55分）

17.因式分解：8a3-6a2-2a.

18.先化简：（1+」一）+，一，请在-1,0,1,2,3当中选一个合适数。代入求

a-1a-1

值.

19.某公司购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨

乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表:

产品资源甲乙

矿石(吨)104

煤(吨)48

生产1吨甲产品所需成本费用为4000元，每吨售价4600元；

生产1吨乙产品所需成本费用为4500元，每吨售价5500元，

现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元.

(1)写出m与x之间的关系式

(2)写出y与x之间函数表达式，并写出自变量的范围

(3)若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多

少？

20.如图，在平行四边形ABCD中，AE,CF分别平分NBA。和交对角线8。于点

E,F.

(1)若N8CQ60。，求N4BC的度数;

(2)求证：BE=DF.

21.甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款

100000元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

甲公司员工乙公司员工

(1)甲、乙两公司各有多少人？

(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、8两种防疫物资，A种防疫物资每箱

15000元，8种防疫物资每箱12000元.若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款

用完，有几种购买方案？请设计出来(注：A、8两种防疫物资均需购买，并按整箱配

送).

22.如图，YABCD中，ZA=45°,?ABD90?,点、F平行四边形外一点，连接

CF、BF，且至，C尸于点?

G

—

图1图2

169

(1)如图1,若sABCD=〒，CF=5,求正的长度；

(2)如图2,延长月尸、DC交于点E,过点。作。GLO尸交尸C的延长线于点G,若

C为。石的中点，求证：CG=CF+EF.

23.在中，NB4C=90°,AB=AC,点。为一ABC外一点，连接加)，连接

AD交于点G,且满足

(1)如图1,若3G=2,AB=3丘,求AG长.

(2)如图2,点R为线段上一点，连接■、DF,过点。作CE〃AB交小

延长线于点E,若AF1DE，DF=EF,求证：AB=41CF+BD；

(3)如图3,点H为线段AC上一点，AH=2,点K是直线AC上的一个动点，连接

GK.将线段GK绕点G顺时针旋转90。得到线段GK',点P是线段A。上的一个动点，

连接HP、PK',若BG=26-2,ZAGC=4ZBAG,请直接写出HP+PK'的最小

值.

2023年中学部八下期中考试

一、选择题（每小题3分，10小题，共30分）

1.若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的腰长为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

【答案】B

【解析】

【分析】2cm的边长分别作为底边与腰讨论，选择合适的即可；

【详解】解：当2cm为腰时，

则另一条腰也为2cm,底边为10—2—2=6cm,

根据三角形三边关系可知：该情况构不成三角形；

当2cm底边时，

10-2

则腰长为：-----=4cm,

2

此时三边分别为：4,4,2,符合题意.

故选：B

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系等知识点，等腰三角形性质的运

用是解题关键.

2.下列图形是中心对称图形的是（）

【解析】

【分析】一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这

个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后与原图重合.

3.如果代数式匹I有意义，那么无的取值范围是（）

x-2

A.*2B.x>-lC.x^-1D.x>-l,

且*2

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得，x+GO且X-2W0,

【详解】解得史-1且#2,

故选D.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.掌握二次根式有意义的条

件是被开方数为非负数；分式有意义的条件是分母不为0.

-I

4.若彳=4是分式方程？=——+—的根，则a的值为（）

xx-3x

A.6B.-6C.4D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据题意，把元=4代入分式方程@=——+—中，然后根据一元一次方程

xx-3x

的解法，求出〃的值即可.

a-21

【详解】将尤=4代入分式方程——二―^中，

xx-3

-r,曰〃12

可倚：一二----1—,

xx-3x

解得。=6,

故选A.

【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程解的意义.

5.关于x的分式方程------=1有增根，则根的值（）

x-22-X

A.m=2B.m=1C.m=3D.m=-3

【答案】D

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出机的值即可.

【详解】解：去分母得：m+3=x-2,

由分式方程有增根，得到x-2=0,即x=2,

把x=2代入整式方程得：根+3=0,

解得：m=-3,

故选：D.

【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整

式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

6.已知四边形A3CD是平行四边形，则下列各图中N1与N2一定不相等的是（）

7

【答案】C

【解析】

【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确，再根据外角

的性质得到/2=NCBE+/1,即可判断C.

【详解】解：A正确；

和/2是对顶角，

.*.Z1=Z2；

B、D正确；

•••四边形ABCD是平行四边形，

:./B=/D,AB//CD,

.\Z1=Z2；

C不正确；

•.•四边形ABCD是平行四边形，

：.Z1=ZBCE,

,：Z2=ZCBE+ZBCE,

：.Z2=ZCBE+Z1,

Z2>ZL即一定不相等；

故选：c.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及外角的性质；

熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键.

7.如图，在R/4ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,点。在BC上，以AC为对角线的所有

必DCE中，DE最小的值是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当ODLBC时，OE线段取最

小值.

【详解】解；:在放△ABC中,NB=90°,

：.BC±AB.

•；四边形ADCE是平行四边形，

OD=OE,OA=OC.

...当取最小值时，DE线段最短，此时2c.

C.OD//AB.

又点。是AC的中点，

二。。是△ABC的中位线，

.".0D=^AB=1.5,

:.ED=2OD=3.

故选8.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短.解答该题时，利用了“平行四边

形的对角线互相平分”的性质.

8.如果关于x的不等式(a+2012)x>a+2012的解集为％<1.那么a的取值范围是

()

A.a>-2012B.a<-2012C.a>2012D.

a<2012

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知不等式的解集，确定出a+2012为负数，求出。的范围即可.

【详解】解：.关于x的不等式(“+2012)元>。+2012的解集为％<1,

a+2012<0,

即a<-2012

故选：B

【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键.

Q1

9.已知关于x的方式方程上处=—的解是非负数，那么。的取值范围是()

x—33

A.d>lB.a>1JL«3C.a>1JL«9D.a<l

【答案】C

【解析】

【分析】因为分式方程有解且是非负数，所以不会产生增根，即％-3/0,然后解分式

方程的根x="(3a—3)20且xw3,化简即可出结果.

【详解】解：尤―3w0,xw3

方程两边同乘以3(x-3)得

3(3x-a)=x-3

解得x=』(3a—3)20且xw3

8

且aw9

故选：C.

【点睛】本题考查了根据含参数的分式方程解的范围来求参数范围，熟练掌握解分式方程

的方法是解题关键，注意增根的检验是易错点.

10.如图，AC平分ZZMB,CE1AB于E,AB=AD+2BE,下列结论正确有

()个.

①AE=；(AB+A。)；②N0AB+N0CB5O;③CD=CB；④

^AACE—S岫CE=^AADC；⑤AD=AE•

D,

4RB

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】

【分析】①在AE取点E,使EF=6石.利用已知条件AB=AD+25E,可得AD=AF,

进而证出A£=；（AB+A£>）；

②在AB上取点R,使BE=EF,连接Cb.先由SAS证明ACD^ACF,得出

ZADC=ZAFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出NC?B=NB；然后由

邻补角定义及四边形的内角和定理得出NZMB+"CB=180°；

③根据全等三角形的对应边相等得出CD=5，根据线段垂直平分线的性质性质得出

CF=CB,从而CD=CB；

④由于CEFCEB,ACD也，ACE,根据全等三角形的面积相等易证

SACE—SBCE—SADC；

⑤由①知，AZ）=AF且A"<A£,即可求得

【详解】解：①在AE取点使EF=BE,

■：AB=AD+2BE=AF+EF+BE,EF=BE,

AB=AD+2BE=AF+2BE,

：.AD^AF

AB+AD^AF+EF+BE+AD^2AF+2EF^2（AF+EF）^2AE,

：.AE=^AB+AD）,故①正确；

②在AB上取点E,使BE=EF,连接Cb.

在，ACD与△ACF中，

AD=AF,ZDAC=ZFAC,AC=AC,

，，ACD=ACF

：.ZADC^ZAFC

CE垂直平分BF，

CF=CB

：.ZCFB=ZB

又尸C+/CFB=180，

AZADC+Zfi=180，

/.ZZMB+ZDCB=360-(ZADC+ZB)=180,故②正确；

③由②知，ACD=ACF,

：.CD=CF

又：CF=CB

：.CD=CB,故③正确；

④易证CEF=CEB

S^ACE-S(^BCE=S^CE_S&FCE=S^ACF

又：ACD=ACF,

••S/JACF=^AADC

S^ACE-2sAgcE=^AADC'故④正确.

⑤由①知，AD=AF,且石，所以AD<A石，故⑤错误.

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的性质，解题的突破口是在

AE取点使EF=BE.

二、填空题(共5小题)

11.因式分解：am2-9a=-

【答案】a(m+3)(m-3)

【解析】

【分析】先提取公因式，再运用平方差公式分解即可.

【详解】am2—9a

=仆"-9)

=a(m+3)〃z-3),

故答案为：a(m+3)(m-3).

【点睛】本题考查了因式分解的综合，熟练掌握因式分解的基本思路是解题的关键.

12.如图，在Rt_ABC中，ZC=90°,Z5=20°,尸。垂直平分A3,垂足为Q,交

3C于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边

AC,AB于点D,E；②分别以点D,E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交

2

于点F；⑤作射线AF.若AF与PQ的夹角为a,则［=°.

【答案】55°.

【解析】

【分析】根据直角三角形两锐角互余得/BAC=70°,由角平分线的定义得N2=35°,由

线段垂直平分线可得AAQM是直角三角形，故可得/1+/2=90°,从而可得N1=55°,

最后根据对顶角相等求出戊.

【详解】如图，

4=20。，

ABAC=90°—/B=90°-20°=70°,

•・•AM是/B4C的平分线，

Z2=-ZBAC=-x70o=35°,

22

・•.PQ是A3的垂直平分线,

是直角三角形，

.­.Zl+Z2=90°,

Z1=90°-Z2=90°-35°=55°，

：/a与/I是对顶角，

.-.Z«=Z1=55O.

故答案为：55。.

【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质,

对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键.

x~2x~l

----<-----

13.若关于x的不等式组彳43有且只有三个整数解，则根的取值范围是

2x-m<2-x

【答案】1W^V4

【解析】

m+2

【分析】解不等式组得出其解集为-2〈尤W有一，根据不等式组有且只有三个整数解得

m+2

出1W——<2,解之可得答案.

3

X—2x—1

【详解】解不等式^^—<」，得：x>-2,

43

m+2

解不等式2%-znW2-%,得：-----，

3

777+2

则不等式组的解集为-2<xW—7，

•••不等式组有且只有三个整数解，

解得：lWm<4,

故答案为：

【点睛】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用

到的知识点是一元一次不等式的解法.

14.若数a使关于x的分式方程上+—J=3的解为非负数，且使关于y的不等式组

x-11-x

y-3y+ly13

<7—~12的解集为y<0,则符合条件的所有整数a的积为

2（y-a）<0

【答案】40

【解析】

【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a<5且存3,根据不等式组的解集为y<0,

即可得出a>0,找出0<aW5且a岸中所有的整数，将其相乘即可得出结论.

【详解】解：分式方程手+二=3的解为x=?且存1,

x~l1—x2

V分式方程手+二=3的解为非负数，

x~l1—X

.'.a<5J!La，3.

>-3y+1^13

<43-12

2（y-a）<0②

解不等式①，得y<o.

解不等式②，得y<a.

>-3y+ly13

・•・关于y的不等式组<77-~12的解集为y<0,

2（y-a）<0

.\a>0.

；.0<aW5且a#.

又a为整数，则a的值为1,2,4,5.

符合条件所有整数。的积为1x2x4x5=40.

故答案为：40.

【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合

不等式组的解集为><0,找出a的取值范围是解题的关键.

15.如图，平行四边形ABCD中，BG平分/ABC交AD于G,AFLCD于F,AF交BG

于E,AB=AF=12,GD=1,则EC=.

【答案】V65

【解析】

【分析】在AD上截取AK=AE,连接KF,由平行四边形的性质和角平分线的性质证得

ZABG=ZAGB,证得AG=AB=AF=12,进一步证得AD=13,利用勾股定理求得DF=5,设

ZABC=2ZABG=2a,然后通过证得AAKF0AAEG(SAS),得出/AFK=NAGE=a,通过

三角形内角和定理证得NKFD=90"a,即可证得NDKF=NKFD,从而求得EF=4,FC=7,最

后利用勾股定理即可求得EC.

【详解】解：在AD上截取AK=AE,连接KF,

BC

V四边形ABCD是平行四边形，

.\ZCBG=ZAGB,

ZABG=ZCBG,

ZABG=ZAGB,

.,.AG=AB=AF=12,

；.AD=AG+GD=13,

；AF_LCD于F,

•••DF=JA£)2_A尸=5,

设NABC=2/ABG=2a,

ZD=ZABC=2a,ZABG=ZAGB=a

在AAKF和AAEG中

AK=AE

<ZKAF=ZEAG,

AG=AF

.,.△AKF^AAEG(SAS),

ZAFK=ZAGE=a,

・・・ZKFD=90°-a,

ZDKF=180°-ZKFD-ZD=180°-（90°-a）-2a=90°-a,

・・・ZDKF=ZKFD,

・・・DK=DF=5,

・・・AK=13-5=8,

・・・AE=AK=8,

・・・AB=CD,AB=AG=AF=12,

・・・EF=12-8=4,FC=12-5=7,

在RrEFC中，EC=7EF2+FC2=742+72=A/65-

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，求得三角形的判定和性质，勾股定理的应用等,

作出辅助线根据全等三角形是解题的关键.

三、解答题（共8小题）

2x1

16.（1）解方程:-------=--------F1;

龙+3了+3

4-x+2>x—7

（2）解不等式组:

3(%—2)<4+%

【答案】⑴x=4；⑵-3Vx<5.

【解析】

【分析】（1）解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1,

检验；

（2）先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部分求

解即可.

2x1

【详解】解：(1)----^-+1,

x+3x+3

2x=l+x+3,

2x-%=1+3,

x=4,

经检验，x=4是原方程的解,

此方程的解是x=4；

j4x+2〉x-7①

⑵[3（x-2）<4+x@^

由①得，4x-x>-2-7,

3x>-9,

x>-3；

由②得，3x-6<4+x,

3x-x<4+6,

2x<10,

x<5,

两个不等式的解集在数轴上表示为：

-3-2-1012345

.••不等式组的解集是-3<x<5.

【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、分式方程，要掌握解方程和不等式的步骤和方

法，解分式方程时要进行检验.

三、解答题（共8小题，共55分）

17.因式分解：8a3-6a2-2a.

【答案】2a（a-l）（4a+l）

【解析】

【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求解.

【详解】解:8a3-6a2-2a

=2a（4a?-3a-1）

=2a（a-l）（4a+l）

故答案为：2a（«-l）（4a+l）

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法一提公因

式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法

是解题的关键.

18.先化简：（1+——）——请在-1,0,1,2,3当中选一个合适的数。代入求

ci~-1a—1

值.

a23

【答案】——；当4=2时，原式=；或当a=3时，原式=—（任取其一即可）

a+134

【解析】

【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后代入一个使原分式有意义的a的值即可.

2

［详解】解：原-式:Z7-1+1.幺ZV」-1

a"-1a

CTtZ—1

=------------•-----

（＜7+1）（（7-1）a

_a

a+1

当a=-l,0,1时，原分式无意义，

故当a=2时,

原式=]2;

当a=3时，

原式=±3.

4

【点睛】此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的各个运算法则和分式有意义的条件

是解决此题的关键.

19.某公司购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨

乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：

产品资源甲乙

矿石（吨）104

煤（吨）48

生产1吨甲产品所需成本费用为4000元，每吨售价4600元；

生产1吨乙产品所需成本费用为4500元，每吨售价5500元，

现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元.

（1）写出m与x之间的关系式

（2）写出y与x之间的函数表达式，并写出自变量的范围

（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多

少？

【答案】（1）m=75-2.5x；（2）y=-1900x+75000（0WxW30）；（3）生产甲产品25吨时，

公司获得的总利润最大，最大利润是27500元.

【解析】

【分析】（1）•••生产甲产品x吨，则用矿石原料10x吨....生产乙产品用矿石原料为（300-

.,.300—10%

10x）吨，由此z得出根=---------；

4

（2）先求出生产1吨甲、乙两种产品各获利多少，然后可求出获得的总利润.

（3）由于总利润y是x的一次函数，先求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，求

得最大利润.

【详解】（1）m与x之间的关系式为

300-10x

m=---------=75-2.5%

4

（2）生产1吨甲产品获利：4600-4000=600

生产1吨乙产品获利：5500-4500=1000

y与x的函数表达式为：y=600x+300~10%x1000=-1900x+75000(0WxW30)

4

（3）根据题意列出不等式

300—10%

4x+8x<200

4

解得x>25

又•.•0WxW30

/.25<x<30

：y与X的函数表达式为：y=-1900x+75000

y随x的增大而减小，

当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大

y最大=-1900x25+75000=27500（元）.

【点睛】本题考查的知识点是用函数的知识解决实际问题，解题关键是注意自变量的取值

范围还必须使实际问题有意义.

20.如图，在平行四边形ABC。中，AE,分别平分NBA。和NDCB,交对角线8。于点

E,F.

（1）若/BCQ60。，求/ABC的度数；

（2）求证：BE=DF.

【答案】（1）60。；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意可得NBCD=2NBCF=120。，利用平行四边形的性质即可解答；

（2）根据平行四边形的性质及角平分线即可证明△A2E丝再利用全等三角形的性

质即可证明.

【详解】（1）平分/OCB,

ZBCD=2ZBCF=120°

•••四边形ABCD是平行四边形，

ZABC=]80°-ZBCD=180°-120°=60°.

（2）•.•四边形ABC。是平行四边形，

ZBAD=ZDCB,AB=CD,AB//CD,

：.ZABE=ZCDF.

\'AE,C尸分别平分/BAD和NDC2,

ZBAE=^ZBAD,ZCDF=^ZDCB,

：.ZBAE=ZCDF,

：.△ABEmACDF,

：.BE=DF.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟悉平行四边形的性质以及全

等三角形的判定.

21.甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款

100000元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

甲公司员工乙公司员工

（1）甲、乙两公司各有多少人？

（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、3两种防疫物资，A种防疫物资每箱

15000元，3种防疫物资每箱12000元.若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款

用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、8两种防疫物资均需购买，并按整箱配

送）.

【答案】（1）甲公司有150人，乙公司有180人；（2）有2种购买方案：购买8箱A种防疫

物资、10箱B种防疫物资，或购买4箱A种防疫物资、15箱B种防疫物资

【解析】

【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有（X-30）人，根据对话，即可得出关于x的分

式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资〃箱，根据甲公司共捐款100000

4

元，公司共捐款140000元.列出方程，求解出力=16-1〃，根据整数解，约束出m、n

的值，即可得出方案.

【详解】（1）设乙公司有X人，则甲公司有（X-30）人，由题意得

1000007140000

_____x_—_____解得x=180.

x-306x

经检验，x=180是原方程的解.

X—30=150.

答:甲公司有150人，乙公司有180人.

（2）设购买A种防疫物资帽箱，购买B种防疫物资九箱，由题意得

4

15000/n+12000/1=100000+140000,整理得%=16—

又因为”>10,且加、〃为正整数，

m=8m=4

所以《

n=10n=15

答：有2种购买方案：购买8箱A种防疫物资、10箱3种防疫物资，或购买4箱A种防疫

物资、15箱8种防疫物资.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关

系，正确列出方程是解题的关键.

22.如图，YABCD中，ZA=45°,?ABD90?,点尸为平行四边形外一点，连接

CF、BF>且BFLCF于点?

（1）如图1,若SMS=石，。尸=5,求环的长度；

（2）如图2,延长亚丁DC交于点、E,过点。作OGLO歹交尸C的延长线于点G,若

（3为。石的中点，求证：CG=CF+EF.

【答案】（1）B尸的长度为12

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）先根据平行四边形的面积求出△3CD的面积，然后求出的长度，最后根

据勾股定理即可求得BF的长度；

(2)在线段CG上截取CM=CF，连接DM,证CDMACEF,然后证：,DCG%DBF,

即可证得.

【小问1详解】

解：如图1,：四边形A3CD是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,AD=BC,

：.ZBDC=ZABD=9Q。,

,;BD=DB,

：.AABD^ACDB,

•：ZA=45°,

：.Z\ABD>△BCD是等腰直角三角形，

•••BD=AB,AD=6AB，

o169

.0ABCD~c，

AB=BD=，

2

BC=AD=13,

•：BF^CF,

：.ZBFC=90°,

BF=VBC2-CF2=7132-52=12-

【小问2详解】

解：如图2,在线段CG上截取。0=C尸，连接ZW，

；C为。石的中点，

CD-CE,

在VCDM和△CEF中,

CD=CE

ZDCM=ZECF,

CM=CF

:.CDM均CEF(SAS),

DM=EF,ZDMC=ZEFC=90°,

90°,

'：DGLDF,

ZFDG=90°=ZBDC,

ZGDC+AEDF=ZBDF+AEDF,

AGDC=ZBDF,

由(1)知：△BCD是等腰直角三角形，

ABD=CD,ZCBD=ZBCD=45°,

：ZBDC+ZBFC=90°+90°=l80°,

ZDBF+ZDCF=180°,

ZDCF=180°,

：.ZDCG^ZDBF,

/.DCG-DBF(ASA),

DG=DF,

_r)FG是等腰直角三角形，

NG=45。，

ZGDM=ZG=45°,

：.MG=DM,

:.MG=EF,

：.CG=CF+MG=CM+EF.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形

的性质等知识点，辅助线的添加是解决第二问的关键.

23.在中，ZBAC=90°,AB=AC,点。为外一点，连接BD，连接

A。交5C于点G,且满足

（1）如图1,若BG=2,AB=3A/2,求AG的长.

（2）如图2,点歹为线段5c上一点，连接A尸、DF,过点。作CE/AB交

延长线于点E,若AF1DE，DF=EF,求证：AB=4ICF+BD；

（3）如图3,点H为线段AC上一点，AH=2,点K是直线AC上的一个动点，连接

GK.将线段GK绕点G顺时针旋转90。得到线段GK',点尸是线段A。上的一个动点，

连接HP、PK',若BG=2百—2,NAGC=44AG,请直接写出HP+PK'的最小

值.

【答案】（1）屈

（2）证明见解析（3）73+276

【解析】

【分析】（1）如图所示，过点A作AEL3c于E,证明NE4B=/EB4=45°,据此求出

AE=BE=3,求出GE的长即可利用勾股定理求出AG的长；