山西省吕梁市泰化中学2024届高一下数学期末综合测试模拟试题含解析

山西省吕梁市泰化中学2024届高一下数学期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列中，，，则的值为（）A．3或-3 B．3 C．-3 D．不存在2．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大正整数n=（）A．2017 B．2018 C．4035 D．40343．已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．4．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是A． B． C． D．5．某工厂对一批新产品的长度(单位：)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为()A．20，22.5 B．22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.756．设点M是直线上的一个动点，M的横坐标为，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．在中，角，，的对边分别为，，，且.则（）A． B．或 C． D．8．直线与圆的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心9．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A． B． C． D．10．已知满足，则（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A，B两点若，则该双曲线的渐近线方程为________.12．在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________．13．一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是.14．若关于x的不等式的解集是，则_________.15．若数列的前项和，满足，则______．16．设a＞0，b＞0，若是与3b的等比中项，则的最小值是__．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：单价（元）1819202122销量（册）6156504845（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，，，.18．如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线l与、、都垂直，垂足分别是点A、点B和点C（高速线右侧边缘），直线与、与的距离分别为1米、2千米，点M和点N分别在直线和上，满足，记.（1）若，求AM的长度；（2）记的面积为，求的表达式，并问为何值时，有最小值，并求出最小值；（3）求的取值范围.19．在等差数列中，（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）求此数列前30项的绝对值的和．20．某厂生产产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投人成本万元.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.（1）写出年利润万元关于千件的函数关系式；（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？21．已知等比数列是递增数列，且满足：，.（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

解析过程略2、D【解析】

由等差数列的性质可得，，由等差数列前项和公式可得则，，得解.【详解】解：由是等差数列，又，所以，又首项，，则，，则，，即使前n项和成立的最大正整数，故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列前项和公式，属中档题.3、B【解析】

由偶函数的性质可得出函数在区间上为减函数，由对数的性质可得出，由偶函数的性质得出，比较出、、的大小关系，再利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.【详解】，则函数为偶函数，函数在区间内单调递增，在该函数在区间上为减函数，，由换底公式得，由函数的性质可得，对数函数在上为增函数，则，指数函数为增函数，则，即，，因此，.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4、B【解析】

利用三角函数图像平移原则，结合诱导公式，即可求解.【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到．故选B．【点睛】本题考查三角图像变换，诱导公式，熟记变换原则，准确计算是关键，是基础题.5、C【解析】

根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．【详解】：根据频率分布直方图，得平均数为1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71，∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1，0.3+0.08×1＝0.7＞0.1；∴中位数应在20～21内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08＝0.1，解得x＝22.1；∴这批产品的中位数是22.1．故选C．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目．6、D【解析】

由题意画出图形，根据直线与圆的位置关系可得相切，设切点为P,数形结合找出M点满足|MP|≤|OP|的范围,从而得到答案．【详解】由题意可知直线与圆相切，如图，设直线x+y−2=0与圆相切于点P，要使在圆上存在点N,使得，使得最大值大于或等于时一定存在点N，使得，而当MN与圆相切时，此时|MP|取得最大值，则有|MP|≤|OP|才能满足题意，图中只有在M1、M2之间才可满足，∴的取值范围是[0,2].故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，根据数形结合思想，画图进行分析可得，属于中等题.7、A【解析】

利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，求得的值，即而求得的大小.【详解】由于，所以，由余弦定理和正弦定理得，即，由于是三角形的内角，所以为正数，所以，为三角形的内角，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理边角互化，考查三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式，属于基础题.8、C【解析】圆心到直线的距离，据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.本题选择C选项.9、D【解析】

设OA＝1，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．【详解】设OA＝1，则AB，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1，黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1，图Ⅲ部分的面积为π﹣1．设整个图形的面积为S，则p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故选D．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．10、B【解析】

已知两个边和一个角，由余弦定理，可得。【详解】由题得，，，代入，化简得，解得（舍）或.故选：B【点睛】本题考查用余弦定理求三角形的边，是基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据题意到，联立方程得到，得到答案.【详解】，故.，故，故，故.故双曲线渐近线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12、【解析】

根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得到结果.【详解】设球内接正四棱柱的底面边长为，高为则球的半径:正四棱柱的侧面积：球的表面积：当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.13、5【解析】设一部门抽取的员工人数为x,则.14、－14【解析】

由不等式的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出的值，从而可得结果.【详解】不等式的解集是，所以对应方程的实数根为和，且，由根与系数的关系得，解得，，故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.15、【解析】

令，得出，令，由可计算出在时的表达式，然后就是否符合进行检验，由此可得出.【详解】当时，；当时，则.也适合.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查利用求，一般利用来计算，但需要对进行检验，考查计算能力，属于基础题.16、【解析】由已知,是与的等比中项，则则，当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【解析】

（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到（2）计算利润为：计算最大值.【详解】解：（1），，，所以对的回归直线方程为：．（2）设获得的利润为，，因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.18、（1）；（2），当时，；（3）.【解析】

（1），，，由即可得解；（2）用含有的式子表示出和，得出，根据的范围得出的最小值；（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等变换和正弦函数的值域得出答案.【详解】（1）由题意可知:，即，，所以；（2），，，，，，，时，取得最大值1，；（3），由题意可知，令，.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，考查对基本知识的掌握，考查分析能力，属于中档题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）765【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得：进而得到数列通项公式为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得当时，，所以采用分组求和即可试题解析：（Ⅰ）∵即．∴．∴．（Ⅱ）由，则．∴=．考点：1．求数列通项公式；2．数列求和20、（1）（2）100【解析】

（1）由于每生产千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当时和当时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.（2）根据（1）的利润函数为，当时，用二次函数法求最大值；当时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x的取值即为此时最大利润时的产量.【详解】（1）根据题意当时，，当时，，综上：.（2）由（1）知，当时，，当时，的最大值为950万.当时，，当且仅当即时取等号，的最大值为1000万.综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.【