平均变化率+基础练习 高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5．1导数的概念5.1.1平均变化率一、单项选择题1(2023山东月考)函数y＝f(t)，当自变量t由t改变到t＋Δt时，y的变化量为()A.f(t＋Δt)B.f(t)＋ΔtC.f(t)·ΔtD.f(t＋Δt)－f(t)2(2023泉州实验中学期中)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(\r(3),3)，则下列结论中正确的是()A.直线AB的倾斜角为eq\f(π,6)B.直线AB的倾斜角为eq\f(π,3)C.直线AB的斜率为－eq\r(3)D.直线AB的斜率为－eq\f(\r(3),3)3函数y＝f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为()A.5B.4C.3D.24若函数y＝－2x－8在x1＝－2处有增量Δx＝0.5，则函数f(x)在区间[x1，x1＋Δx]上的平均变化率是()A.2B.4C.－4D.－25已知函数f(x)＝ln(x＋1)，则f(1)，eq\f(f(2),2)，eq\f(f(3),3)的大小关系为()A.f(1)<eq\f(f(2),2)<eq\f(f(3),3)B.eq\f(f(3),3)<f(1)<eq\f(f(2),2)C.eq\f(f(3),3)<eq\f(f(2),2)<f(1)D.eq\f(f(2),2)<f(1)<eq\f(f(3),3)6(2023福建期中)若一射线OP从OA处开始，绕点O匀速逆时针旋转(到OB处停止)，所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数，S(t)的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是()INCLUDEPICTURE"HD24SJ-XB1SX31.tif"INCLUDEPICTURE"HD24SJ-XB1SX32.tif"INCLUDEPICTURE"HD24SJ-XB1SX33.tif"ABCD二、多项选择题7下列关于平均变化率的说法中，正确的是()A.函数f(x)＝3x＋b在区间[1，8]上的平均变化率为3B.对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等C.一次函数在其定义域内的任一区间上的平均变化率与其对应直线的斜率相等D.已知函数y＝x3－2，则当x＝2时，eq\f(Δy,Δx)＝(Δx)2＋6Δx8两个学校W1，W2开展节能活动，活动开始后两学校的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则下列说法中不正确的有()A.W1比W2节能效果好B.W1的用电量在时间[0，t0]内的平均变化率比W2的用电量在时间[0，t0]内的平均变化率大C.两个学校的节能效果一样好D.W1与W2自节能以来用电量总是一样大三、填空题9(2023绥化开学考试)函数y＝e2x在区间[0，1]上的平均变化率为________．10函数f(x)＝x，g(x)＝x2在区间[0，1]的平均变化率分别记为k1，k2，则k1，k2的大小关系为________．11(2023广东月考)蜥蜴的体温T(单位：℃)与太阳落山后的时间t(单位：min)的关系为T＝eq\f(120,t＋5)＋15，则从t＝0到t＝10这一时间段，蜥蜴体温的平均变化率为______℃/min.四、解答题12(2023河北月考)已知三个函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x.(1)指出三个函数在区间[0，＋∞)上的单调性；(2)取x1＝0，x2＝2，x3＝4，x4＝6，Δx＝2，求三个函数分别在区间[xi，xi＋Δx](i＝1，2，3，4)上的平均变化率(列成表格即可)；(3)分析三个函数在区间[xi，xi＋Δx](i＝1，2，3，4，…)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况．13(2023湖北月考)下表为某水库存水量y(单位：万立方米)与水深x(单位：m)的对照表：水深x/m05101520253035存水量y/万立方米0204090160275437.5650(1)当x从5m增长到10m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；(2)当x从25m增长到30m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；(3)比较(1)与(2)的数值的大小，并联系实际情况解释意义．【答案解析】5．1导数的概念5.1.1平均变化率1.D由题意，得y的变化量为f(t＋Δt)－f(t).2.A因为f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)＝eq\f(\r(3),3)，所以f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率就是直线AB的斜率kAB，则kAB＝eq\f(\r(3),3)，故直线AB的倾斜角为eq\f(π,6).3.D根据题意，函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(m2－1－(12－1),m－1)＝m＋1，则m＋1＝3，解得m＝2.4.D由题意，得f(x)在区间[x1，x1＋Δx]上的平均变化率为eq\f(－2×(－2＋0.5)－8－[－2×(－2)－8],0.5)＝－2.5.C如图，作出函数f(x)＝ln(x＋1)的图象．由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x的增大而减小．因为1<2<3，所以eq\f(f(1)－0,1－0)>eq\f(f(2)－0,2－0)>eq\f(f(3)－0,3－0)，即f(1)>eq\f(f(2),2)>eq\f(f(3),3).6.D由题意，OP从OA处开始，绕点O匀速逆时针旋转．对于A，OP扫过的圆内阴影部分的面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不符合要求；对于B，OP扫过的eq\f(1,4)圆内阴影部分的面积是匀速变化的，不符合要求；对于C，OP扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不符合要求；对于D，OP扫过的三角形内阴影部分的面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，符合要求，故选D.7.ABC对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等，与一次函数对应直线的斜率相等，故A，B，C正确；因为函数y＝x3－2，所以当x＝2时，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f((2＋Δx)3－2－(23－2),Δx)＝eq\f((Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx,Δx)＝(Δx)2＋6Δx＋12，故D错误．故选ABC.8.BCD由图象可知，W1的图象比W2的图象更陡，即W1的用电量减小的多，所以W1比W2节能效果好，故A正确，C错误；由图象可知，eq\f(W1(t0)－W1(0),t0)<eq\f(W2(t0)－W2(0),t0)，则W1的用电量在时间[0，t0]内的平均变化率比W2的用电量在时间[0，t0]内的平均变化率要小，故B错误；由于曲线W1(t)和曲线W2(t)不重合，故D错误．故选BCD.9.e2－1由题意，得平均变化率为eq\f(f(1)－f(0),1－0)＝eq\f(e2－1,1)＝e2－1.10.k1＝k2由题意，得k1＝eq\f(f(1)－f(0),1－0)＝1，k2＝eq\f(g(1)－g(0),1－0)＝1，故k1＝k2.11.－1.6从t＝0到t＝10这一时间段，蜥蜴体温的平均变化率为eq\f(\f(120,10＋5)＋15－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,0＋5)＋15)),10－0)＝eq\f(12,15)－eq\f(12,5)＝－eq\f(8,5)＝－1.6(℃/min).12.(1)根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知，函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x在区间[0，＋∞)上都单调递增．(2)列表如下：[0，2][2，4][4，6][6，8]f1(x)＝2x2222f2(x)＝x2261014f3(x)＝2xeq\f(3,2)62496(3)由上表可知，函数f1(x)＝2x随着自变量的增大，在自变量增量为Δx的条件下，各区间上的函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态；函数f2(x)＝x2在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长的速度越来越快；函数f3(x)＝2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快，并且比f2(x)的增长速度快得多．13.(1)根据表格可知，当x从5m增长到10m时，存水量y关于x的平均变化率为eq\f(40－20,10－5)＝4，即当x从5m增长到10m时，水深每增长1m，水库存水量增加4万立方米．(2)