湖北省武汉部分学校2024年高考数学四模试卷含解析

湖北省武汉部分学校2024年高考数学四模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)=x3+sinx+ln[g；若/(2a-1)>/(0),则。的取值范围为()

A-B.（0,1）仁g'l[D.

/、x+10x+Lx<0/、/、、

2.设函数/(x)=।।若关于》的方程/(%)=。("周有四个实数解%(z，=1，2,3,4),其中

苞贝!!(%+/)(%3—的取值范围是()

A.(0,101]B.(0,99]C.(0,100]D.(0,+8)

3.若向量加=(0,-2),〃=(币,口,则与2根+〃共线的向量可以是()

A.(G,-1)B.(-1,73)C.(-73,-1)D.(-1,-73)

22

4.已知椭圆C：1+£=1(。〉6〉0)的左，右焦点分别为耳，F2,过K的直线交椭圆C于4,3两点，若

乙钻8=90。，且A取2的三边长忸耳|A却，|A阊成等差数列，则C的离心率为()

A.-B.3C.—D.@

2322

x-y<Q,

5.若x,V满足约束条件(x+y42,,则z=4x+y的取值范围为()

x+1>0,

A.[-5,-1]B.[-5,5]C.[-1,5]D.[-7,3]

6.已知数列｛4｝的前〃项和为S”，％=1,g=2且对于任意〃>1,”可*满足4+1+工_1=2(8"+1),则()

A.%=7B.Si6=240C.%=19D.520=381

7.已知直线狐〃和平面a,若m_La,贝!1"mJ_铲是“几〃a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充分必要条件D.不充分不必要

8.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,

作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估

计阴影部分的面积是()

163218

A.——B.C.10D.―

55

9.已知函数/(%)是R上的偶函数，且当尤时，函数/(%)是单调递减函数，则/(log25),

f(log53)的大小关系是()

A.flog311</(10g53)</(log25)B.flog311</(log25)</(log53)

I3J

(

c./(log53)</log31K/(log25)

D./(log25)</log3-</(log53)

\J

10.已知集合人=,则集合A真子集的个数为()

A.3B.4C.7D.8

11.已知直线2烟+〃)=2(m>0,〃>0)过圆(左一1)2+(y-2)2=5的圆心，则工+工的最小值为()

mn

A.1B.2C.3D.4

12.已知a>0,b>09a+b=1,若a=a+—,P=b+—,则a+/?的最小值是()

ab

A.3B.4C.5D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.各项均为正数的等比数列｛4｝中，S”为其前九项和，若%=1,且$5=邑+2,则公比夕的值为.

22

14.已知用居为双曲线C：I-当=l(a>0,6>0)的左、右焦点，过点耳作直线/与圆/+/=/相切于点A,且

ab

与双曲线的右支相交于点6,若A是5月上的一个靠近点片的三等分点，且忸巴卜10,则四边形的面积为

15.若函数/(%)=%ln(%+JQ+Y)为偶函数,则d-

16.学校艺术节对同一类的A3,。,。四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对

这四项参赛作品预测如下：甲说：“4作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”；丙说：“3,。两项作品未获

得一等奖，，；丁说：“是A或。作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=（l+6tanx）cos2x.

（I）若a是第二象限角，且sina=/，求/（1）的值；

（II）求函数/（%）的定义域和值域.

18.（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量

为7的样本进行分析.

（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）

（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：

学生序号i1234567

数学成绩为60657075858790

物理成绩X70778085908693

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的

人数为求J的分布列和数学期望；

②根据上表数据，求物理成绩V关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为

96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

附：线性回归方程y=

—y）__

其中8=1=1„---------2-------，a=y-bx.

力（七一4

i=l

7_7__

A®—x)(y—y)

Xy

Z=1i=l

7683812526

19.(12分)已知抛物线W：V=2px(p>0)上一点C(/,2)到焦点歹的距离为2,

(1)求f的值与抛物线W的方程；

(2)抛物线上第一象限内的动点A在点C右侧，抛物线上第四象限内的动点3,满足Q4,班1,求直线的斜率

范围.

20.(12分)已知函数，(x)=x|x+a|,aeR.

(1)若/(l)+/(-1)>1,求。的取值范围；

(2)若a<0,对Vx,y€(-8,-0，不等式/(%)<丁+^3+>+:ci1恒成立，求。的取值范围.

-101「41

21.(12分)已知矩阵4=0_］，8=23'若矩阵"=8A，求矩阵"的逆矩阵

22.(10分)设数列｛4｝是等比数列，4="%+5—1)。2++2a,i+4,已知4=1,4=4,(1)求数列｛4｝的首

项和公比；(2)求数列｛1｝的通项公式.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式.

【详解】

由匕土〉0得—1<X<1,

1-X

1+Y2

在时，丁=%3是增函数，y=sinx是增函数，y=ln——=ln(-l+——)是增函数，

1—X1—X

二/(x)=x3+sinx+ln［E；］是增函数，

.•.由/(2a—1)>/(0)得0<2a—1<1,解得;<。<1.

故选：c.

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域

内求解.

2^B

【解析】

画出函数图像，根据图像知：石+々=-10,X3X4=1,\<尤3<1，计算得到答案.

【详解】

/、f%2+10x+l,x<0

〃x)=<hlc，画出函数图像，如图所示：

|lgx|,x>0

根据图像知：%1+%2=-10,lgx3=-lgx4,故X3X4T，且5<工3<1.

(1)

故(玉+电)(七-/)=-10X,---e(o,99].

I)

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.

3、B

【解析】

先利用向量坐标运算求出向量2m+%然后利用向量平行的条件判断即可.

【详解】

m-(0,-2),n=^A/3,1j

2m+n=-3)

(-1,A/3)=-^(A-3)

故选B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定，属于基础题，在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应，切

不可错位.

4、C

【解析】

根据等差数列的性质设出忸闾，|AB|,|A月|,利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得|%|=q=忸片|•再利

用勾股定理建立c的关系式，化简后求得离心率.

【详解】

由已知忸闾，|盟|成等差数列，设忸阊=x,|AB|=x+d,|A阊=x+2d.

由于NA3居=90。,据勾股定理有1%『+1ABl2TMi2,即V+a+d)2=a+2d)2,化简得x=3d；

由椭圆定义知ABa的周长为％+jv+d+x+26?=3x+3d=12d=4a,有a=3d,所以工=。，所以

\BF^=a=\BF^

在直角8名耳中，由勾股定理，2a2=4°2,.•.离心率e=上.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.

5、B

【解析】

根据约束条件作出可行域，找到使直线y=Tx+z的截距取最值得点，相应坐标代入z=4x+y即可求得取值范围.

【详解】

画出可行域，如图所示：

由图可知，当直线z=4x+y经过点A(—1,—1)时，z取得最小值一5；经过点5(1,1)时，z取得最大值5,故—5张必5.

故选：B

【点睛】

本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.

6、D

【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可.

【详解】

当机.2时，Sn+l+Sn_t=2(S,+1)=S“+]-S,=S“一+2nqi+]=%+2.

1,H=1

所以数列｛“〃｝从第2项起为等差数列，4=仁。C,

2n-2,n..2

所以，%=6,io=18.

s“=q+⑷+丁_D=如_1)+1,Sl6=16x15+1=241,

S20=20x19+1=381.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

7、B

【解析】

由线面关系可知相」〃，不能确定“与平面々的关系，若“〃夕一定可得即可求出答案.

【详解】

m±6r,m±n,

不能确定〃ua还是〃

nila,

当〃〃。时，存在aua,nlla.,

由根_1_1=＞根_1_〃，

又nila,可得mJ_n,

所以“根J_〃”是“nila”的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.

8,D

【解析】

直接根据几何概型公式计算得到答案.

【详解】

CQQ1Q

根据几何概型：^=-=—,故5=二.

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.

9、D

【解析】

利用对数函数的单调性可得log25>log35>log53,再根据/(x)的单调性和奇偶性可得正确的选项.

【详解】

因为logs5>log33=1,0=log51<log53<log55=1,

^log35>log53>0.

Xlog25>log24=2=log39>log35>0,故log25>log35>log53.

因为当xe[0,a)时，函数/(x)是单调递减函数，

所以/(log25)</(log35)</(log53).

因为/(%)为偶函数，故/2g3m=/(-log35)=〃log35),

(

所以/(log25)log3-</(log53).

\3J

故选：D.

【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数

来传递不等关系，本题属于中档题.

10、C

【解析】

解出集合A,再由含有〃个元素的集合，其真子集的个数为2'-1个可得答案.

【详解】

解：由A=1xwZ|.<()],得4={%62|_3<140}={_2,_1,0}

所以集合A的真子集个数为23-1=7个.

故选：C

【点睛】

此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有〃个元素的集合，其真子集的个数为2"-1个，属于基础

题.

11、D

【解析】

圆心坐标为(1,2),代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值.

【详解】

圆(x—1)2+(丁一2)2=5的圆心为(1,2),

由题意可得2加+2〃=2,即m+〃=1,加，〃>0,

I)II77iYirjrrj

则—+—=(—+—)(相+“)=2+—+」..4,当且仅当一=—且加+〃=1即m=〃=1—时取等号，

mnmnmnmn2

故选：D.

【点睛】

本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，

考查运算能力，属于基础题.

12、C

【解析】

根据题意，将“、》代入a+/，利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】

Va>0,b>0,a+b=l9

c1,1,1,1u

a+/3=〃+—+/?+—=1+——>1+-------^=5

/.abab[+)],

当且仅当a=b=L时取"=”号.

2

答案：c

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，“:1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”

的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是

最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、

2

【解析】

将已知由前"项和定义整理为%+%+%=2,再由等比数列性质求得公比，最后由数列｛为｝各项均为正数，舍根得

解.

【详解】

因为=S2+2=>4]+%+%+/+%=4+%+2/+/+%=2

_]+

22

a3+a3-q+a3-q=2q+q-l=Q^q=——

又等比数列｛4｝各项均为正数，故4=与1

故答案为：避二

2

【点睛】

本题考查在等比数列中由前“项和关系求公比，属于基础题.

14、60

【解析】

根据题中给的信息与双曲线的定义可求得|明|=3〃闺阊=2c与忸阊=36-2«,再在△期心中，由余弦定理求解得

h3

-=-，继而得到各边的长度,再根据S四边形AgB=SAOB+SF2OB计算求解即可.

a2

【详解】

如图所示：设双曲线C的半焦距为J

因为041=a,周=c，所以由勾股定理，得|A耳|=Vc2-a2=b.

b

所以cos/AKO=—.

c

因为A是8耳上一个靠近点耳的三等分点，。是耳心的中点，所以忸耳|=3b,闺阊=2c.

由双曲线的定义可知：忸媪—忸月|=2凡所以忸闾=36—2a.

在斗心中,由余弦定理可得忸阊之=%2+4c2-2x3Z?x2cxcosZAFfi

AA3

=9/+4。2—2X3bX2cX—=4c2-3b2，所以（3b—2〃产=4c2-3b2，整理可得一二一.

ca2

353

所以忸用=3匕—20=3x50—2a=5。=10,解得a=4.所以0=6.

b632

则c=V42+62=2V13•则cosZAFfi=-=-^-I==得sinNA耳。=.

则F2OB的底边OF］上的高为丸=忸用sinZAFfi=18x-^==胎.

F2OB=^\AB\\AO\+^\OF2\h

所以S四边形AOF/=SAOB+s

11n

=-X12X4+-X2AA3X-==60.

22而

故答案为：60

【点睛】

本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法，需要根据双曲线的定义表示各边的长度，再

在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量a/,c的关系.属于难题.

15、1

【解析】

试题分析：由函数f(x)=xln(x+\la+x2)为偶函数n函数g(九)=ln(x+a+x2)为奇函数,

g(0)=]na=0^>a=l.

考点：函数的奇偶性.

【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结

合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型.首先利用转化思想，将函数/(X)=X1II(%+AG77)

为偶函数转化为函数g(x)=ln(x+Ja+f)为奇函数,然后再利用特殊与一般思想，取g(O)=lna=Ona=l.

16、C

【解析】

假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.

【详解】

A,B,C,D分别获奖的说对人数如下表：

获奖作品ABCD

甲对错错错

乙错错对错

丙对错对错

T对错错对

说对人数3021

故获得一等奖的作品是c.

【点睛】

本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)匕逅(II)函数/(x)的定义域为:xxeR,且%工左"+3次ez1,值域为—

【解析】

(1)由&为第二象限角及sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa及tan1的值，再代入/(x)中即

可得到结果.

(2)函数/(%)解析式利用二倍角和辅助角公式将/(%)化为一个角的正弦函数，根据x的范围，即可得到函数值域.

【详解】

解：(1)因为a是第二象限角，且sina=，5,

3

所以cosa=-Jl-sin2a=----.

3

sinarr

所以tana=----=—，2,

cosa

所以/(a)=(l_』x0)_走

I3J3

JT

(2)函数〃x)的定义域为<%xwR,且xw丘+万•，左wZ>.

化简，得/(x)=(l+Gtanx)=cos2；r

ICOSX)

=cos2x+V3sinxcosx

1+cos2xA/3._

=----------1----sin2x

22

=sinf2x+—,

I6j2

JI

因为xeR,且xwkTr+—，k^Z,

2

rr77r

所以2%+/。2左》+——,

66

所以一l<sin[2x+V]<l.

_13-

所以函数/(尤)的值域为-了5.

(注：或许有人会认为“因为xw左万+g,所以y(x)wo"，其实不然，因为7]=o.)

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和

辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.

18、(1)不同的样本的个数为

9

(2)①分布列见解析,E(^)=-.

②线性回归方程为y=0.65%+33.60.可预测该同学的物理成绩为96分.

【解析】

(1)按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.

(2)7名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数〈服从超几何分布，故可得其概

率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.

【详解】

7

(1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为一义24=4名，

42

7

18名男同学中应抽取的人数为一xl8=3名，

42

故不同的样本的个数为.

(2)①..町名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，

的取值为0,1,2,3.

「3418

•••尸偌=。)=#有，尸仁=1)=营

35

*=2)=笔L1|,-)=*$

••"的分布列为

J0123

418121

p

35353535

9

c12cl

:.E图=Ox---Fix—+2x---F3x—7-

v735353535

小7526.「

(§),**b----e0.659a=y-bxx=83-0.65x76=33.60.

912

，线性回归方程为y=0.65x+33.60.

当x=96时，y=0.65x96+33.60=96.

可预测该同学的物理成绩为96分.

【点睛】

在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算(如二项分布、超几何分布等).

19、(1)1；y~=4x(2)kABe---—)o(0,+oo)

【解析】

(1)根据点c«,2)到焦点尸的距离为2,利用抛物线的定义得/+£=2,再根据点在抛物线上有27=4,列方程

组求解，

(2)设A(——,>2),5(—,b\b<0)>根据左3=-1=。=7T，再由a>2,Z?<。，求得

444—Z?’

—4—2行<b<—2,当。=->,即〃=—2逐时，直线斜率不存在；当aw—b时，

b-a_4"片=篝岁，令/(》)=出二"，利用导数求解,

11

baa+b+b"〃J20b-b3

T-T4-b2

【详解】

(1)因为点C«,2)到焦点产的距离为2,

即点C&2)到准线的距离为2,得/+3=2,

2

又2。=4,解得p=2/=l,

所以抛物线方程为V=4x

“b2

(2)设A(—,a)(a〉2),3(—力)(6<0),

44

,jj116Z?

由kOA-kFB=-l^a=匚记

由。>2/<0,则4—/<0,^^>2n-4—2君</?<—2

4-Z?-

当。=-〃，即6=-26时，直线斜率不存在；

_b-a_4_4_4(4-Z?2)

当时，ABb2a2a+b16Z?20/?-Z?3

QW—Z?---------7+b

444~b

4(43-⑴M_80_8._犷

令/(%)=<0,

20b-b3，J(206-廿1

所以在(-4-26,-2际),(-2其-2)上分另犍减

则kABe(-00,---)u(0,+co)

【点睛】

本题主要考查抛物线定义及方程的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题，

20、(1)