2024年河北省部分示范性高中高三年级下册一模数学试题

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.已知N是全集。的两个非空子集，若“口（1双）=〃，则下列说法可能正确的是（）

A.MU（CuN）=UB.&MUN="C.MC\N^0D.M\jN=U

2.已知［<，<0,则下列结论一定正确的是（）

ab

A.a2>b2B.C.D.—+-^-<2

3.若—=i,i为虚数单位，则三上=（）

1+iz+i

A.iB.-iC.1D.-1

4.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热

爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示,

设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y,则（）

A.x=88,y=90B.x=83,y=90C.x=83,y=85D.x=88,y=85

5.已矢口sinx-2cosx=V^sin(x+o),贝i]sin2Q-ZCOS?夕=()

1234

A.一B.-C.-D.一

5555

6.如图，已知圆柱。。2的底面半径和母线长均为1,B,A分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线

7T

QB与02A所成角为则A3=()

A.1B.V2C.1或2D.2或6

fv21

7.已知椭圆C：下+6=1(。〉》〉0)的离心率为5,左顶点是A,左、右焦点分别是耳，F2,M

是C在第一象限上的一点，直线M耳与C的另一个交点为N.若MF2〃AN,则直线MN的斜率为

()

,V5V31V15

A•---B.---C.—D.----

21127

8.已知实数a,be。,+oo),且2(a+b)=e20+21nb+l,e为自然对数的底数，则()

A.l<b<aB.a<b<1aC.2a<b<eaD.ea<b<e2fl

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知函数的定义域为R,且〃x+l)为奇函数，“X+2)为偶函数，贝!J()

A.4为“X)的一个周期

B."211)=0

C.由〃0)+〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=2,可知"2)=2

D.函数y=/(%)+1g|尤|的所有零点之和为0

10.已知函数"X)=sin(0x+°)(0〉0,R)在区间上单调，且满足

71

17，则(

/(X),则/'(x)的最小正周期为D看a

C.关于x的方程/(x)=l在区间［0,27)上最多有4个不相等的实数解

上恰有5个零点，则。的取值范围为1|,3

D.若f(x)在区间

36

11.在数列｛%｝中，对于任意的〃eN*都有4>0,且匕「4+1=%，则()

A.对于任意的〃22,都有4>1B.对于任意的％>0,｛%｝不可能为常数列

C.若0<%<2,则｛%｝为递增数列D.若%>2,则当“22时，2<a“<%

第n卷（非选择题共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知向量丽=（3,2）,05=（2,1）,。为坐标原点，在x轴上找一个点使得丽7•丽取最小

值，则点M的坐标是.

13.等差数列｛%,｝的前"项和为5“，%+%+。4=42,则$5=.

14.若一个两位正整数机的个位数为4,则称根为“好数”，若m=p2-q2,且p,q为正整数，则称数

对（P，q）为“友好数对”，规定：H（m）=2,例如24=52-V,称数对（5,1）为“友好数对”，

P

H（24）=1,则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的“（加）的最大值为.

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC—』c=6.

2

（1）求A；

（2）若线段3c上一点。满足AD=3。=1,CD=3,求A3的长度.

16.（15分）

如图，在三棱柱ABC—44G中，平面ACG4，平面ABC，ABLAC,AB=AC,AAX=AXC.

（1）若M,N分别为AG，84的中点，证明：MN〃平面ABC；

2

（2）当直线AB与平面ACqa所成角的正弦值为§时，求平面A0C与平面A4A夹角的余弦值.

17.（15分）

22_

在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：［-二=1（。〉0,〉〉0）的离心率为J5,实轴长为4.

ab

(1)求C的方程；

(2)如图，A为C的下顶点，直线/过点P(Oj)且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间)，过P的直

线交。于G,H两点,直线AG,AH分别与/交于N两点，若0,A,N,M四点共圆，求

点P的坐标.

18.(17分)

某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲、乙两地的一些小白鼠体内，小白鼠血样的某项指标X值

满足12.2<X<21.8时，小白鼠产生抗体.从注射过疫苗的小白鼠中用分层随机抽样的方法抽取了210只

进行X值检测，其中甲地120只小白鼠的X值平均数和方差分别为14和6,乙地90只小白鼠的X值平

均数和方差分别为21和17,这210只小白鼠的X值平均数与方差分别为〃，b?(〃与er?均取整

数).用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设X~N(〃,b2).

⑴求〃，CT2;

(2)小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的N只小白鼠中有102只产生抗体，试

估计N的可能值(以使得P(K=102)最大的N的值作为N的估计值)；

(3)对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X值

进行分组检测，若每组〃(〃<50)只小白鼠混合血样的X值在特定区间内，就认为这九只小白鼠全部产生

抗体，否则要对“只小白鼠逐个检测.已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，“只小白鼠混合

血样的检测费用为〃+9元.试给出"的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值

(精确到01元).

附：若X~N(〃Q2),则p(|x—“Wb)"0.68,P(|x-//|<2o-)«0.95.

参考数据：V21-4.6,V22~4.7,723«4.8,后土4.9.

19.(17分)

已知函数/(x)=^ax1+(a+l)x+lnx,

Q£R.

(1)若x=l是的极值点，求a的值;

(2)判断〃x)的单调性；

(3)已知"X)=3℃2+X有两个解X],々(玉<%2).

(i)直接写出a的取值范围(无需过程)；

(ii)彳为正实数，若对于符合题意的任意不，%，当5=几(玉+%2)时，都有尸(s)<0,求X的取值范围.

参考答案及解析

一、选择题

1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.D

二、选择题

9.ABD10.ABD11.ACD

三、填空题

四、解答题

15.解：（1）由acosC-^c=6及正弦定理可得sinAcosC-^sinC=sin_B,

22

因为A+B+C=re,

所以sin5=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC—』sinC=sinAcosC+cosAsinC,即一^sinC=cosAsinC,

因为sinCwO,所以cosA=——,

因为Ae(O,乃，所以A=^.

(2)由题设/43。=/胡。=。，0e

jr

则ZDAC=—-0,C=--3,ZADC=20,

33

在△ADC中,

sinCsinADAC

所以sin

所以2sin6=J^cosd,即=所以。e［。,1］，

隹”星.“A/21„2A/7

解得sin0=-----，cos0=------，

77

在等腰三角形A3。中，取AB的中点E,连接DE,则DELAB,

则AB=2BE=2BDcos6=勺夕.

16.(1)证明：如图，取AC的中点P,连接MP,交AC于点Q,连接Q3,

因为M是4G的中点，N是6片的中点，所以BN/ZAA"73”,BN=QM,

所以四边形MNBQ是平行四边形，所以Q3〃MN.

又Q5u平面ABC,MN<t平面ABC,所以MN〃平面48c.

(2)解：因为A3LAC,平面ACCiA，平面A3C,平面4CG4口平面ABC=AC,ABu平面

ABC,所以A3,平面ACG4，

2

所以直线\B与平面ACGA所成角为,则sinZA^B=-.

在RtZkBAA中，不妨设A3=AC=2,

则AB=3,A4；=V5,连接CM.

因为A4,=AC=CC「所以CM，AG，

又平面ABC//平面44G,所以平面ACQA，平面A4G，

且平面ACG^n平面A6G=AG，CMU平面Acad，故CN,平面A4a.

设与G的中点为E,连接ME,

以M为坐标原点，ME,MQ,MC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

则A（O,T,O），C（0,0,2）,耳（2,-1,0）,Q（0,1,0）,

则而=(O/,2),==(-2,2,0).

设平面AXBC的法向量为n=（x,y,z

AC-n=0,y+2z=0,

则《_L即＜不妨取x=2,则拓=（2,2,—1）.

BC•亢=0,-2x+2y=0,

易知平面44G的一个法向量为比=（o,o,i）.

设平面AXBC与平面A151G的夹角为e,

II玩词1-111

贝！Jcos0=cos(m,n)\=

1'力同司=次/一+22+(—1)2=—3,

所以平面AXBC与平面A/C］夹角的余弦值为1.

17.解：(1)因为实轴长为4,即2。=4,a=2,

又£=后，所以c=2后，b2=c2-a2=4,

a

22

故C的方程为乙-土=1.

44

(2)由。，A,N,M四点共圆可知，ZANM+ZA0M=71,

又ZM0P+ZA0M=乃，即ZANM=ZM0P,

故tanZANM=tanNMOP=---------,

tanZ0MP

即一%AN=—,所以ZAN，％OM=L

k()M

设G(XQI),"(9,%)，〃(如，加)，

由题意可知A(0,—2),则直线AG：y=5一x-2,直线AH：了=之一x—2,

因为点M在直线/上，所以代入直线AG的方程，可知与="+2)\,

%+2

(〃+2)M、t(y.+2)

故点M的坐标为一,所以"”二'1),

、%+2J(%+2)玉

又kAN=kAH="*，kAN'kOM=1>所以警，

x21%+2居x2

整理可得比=5+2)(%+2),

tXjX2

当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，

故设直线GH：y=kx+t,代入C的方程可得已2一1卜2+2左比+/—4=0,

cr.—2ktr—4

所以X1+%2=,2_]，再尤2=.2_]'

又(％+2)(,2+2)=(2+/+2)(京？+/+2)=左+左(/+2)(西+々)+(/+2)一

〃—4-2kt-(+2)-

+左(7+2〉+(7+2『

*k2-1左2—1上2—1

一(7+2)2

所以色=5+2m+2)=匕1-(，+2)“

=士」(/+2。0)，

2

txxx2t-4-『一4

k2-l

故/=2T,即/=1,所以点P的坐标为(0,1).

18.解：(1)解法一：记甲地小白鼠样本的X值平均数为了，方差为s；,记乙地小白鼠样本的X值平均

数为了，方差为学,

则元=14,y=21,s；=6,s；=17,

120s；+伉-〃月+90,+("〃『］

120元+909120x14+90x21_

所以〃=--------------=---------------------=17,c2

210210210

4x6+(14-17)2+3x17+(21-17『

«23.

7

解法二：记甲地小白鼠样本的X值分别为国，x2,再2°，平均数为元，方差为s；，记乙地小白鼠样

本的X值分别为％,为，…，%)，平均数为歹，方差为学，

因为元=14,5=21,s；=6,si=17,

120x+90y120x14+90x21「

所以〃=-------------=--------------------=17.

210210

120120

由2(%—可2=120S：,-%)=0,

k=\k=\

120120

可得五一元+亍—〃『=22

2(%—=2(xk-x)+2(%4-x)(x-//)+(%-//)

4=1k=\

120120120

二£(4―元)？+2(元一4)士—元)+£(元一二120s；+120(%-//)2=30x60,

k=\k=\k=\

90

同理=90s；+90(歹一〃)2=30x99,

k=\

1120c90c30x60+30x99”

于是/=7777£(%-〃)+£(%-〃)-------------------x23.

k=\左=1L=1k=\210

(2)解法一：因为0=历24.8,所以P(12.2〈X42L8)=P(〃—crWXW〃+b卜0.68.

从注射过疫苗的小白鼠中取出N只，其中产生抗体的有KN,则K~JB(N,0.68),

17

P(K=k)=C%0.32NI(左=0,1,2,…，N).

当N<102时，P(K=102)=0；

17102

当N2102时，P(K=102)=C%0.32N

17102

即&(2=(2%0.32"

「102N—101

则一

a（N+1）-0.32C器—0.32（N+1）.

a（N、ini32

由，、<1等价于N—101<0.32（N+l）,当且仅当N<」LL=149,知当103WN<148时,

a（N+l）\'0.68

a（N）＜a（N+l）；当N=149时，a（N）=a（N+l）；当N〉149时，a（N）〉a（N+l）.故当

N=149或N=150时，a（N）最大，所以N的估计值为149或150.

解法二：因为cr=回a4.8,所以P（12.2WX421.8）=P（〃—b4X<〃+b）=0.68.

从注射过疫苗的小白鼠中取出N只，其中产生抗体的有KN,则7＜：~8（双,0.68）,

17

P（K=左）=C%0.32NI（左=0,1,2,…，N）.

当N<102时,尸（K=102）=0；

102

17

当N2102时，P（K=1O2）=C%O32N

17

若N=102,则P（K=102）=§102P（*=101）<P（X=101）-

102

1710217

Ca0.32'!2C,Q32N+1

若N2103,贝八

1710217102

窜0.32'j2哨0.32'T

°32（N+l）WN-10L解得］49VNM150.

化简得

0.32N2N—102,

综上，N的估计值为149或150.

（3）记"只小白鼠的检测费用为丫元，当〃只小白鼠全部产生抗体时，Y=n+9,当“只小白鼠不都产

生抗体时，Y=lln+9,

则/（y=〃+9）=0.99T,P（Y=11H+9）=1-1.991".因此

包1="幽必吵匕吧上口一吨…）“9

I+一,

nnn

因为〃050,所以（1—0.009）"=1—C：0.0091+C^0.0092-C：0.0093+・・•a1—0.009〃,

E（y）9

^=0.09n+-+l>2+1=2.8,当且仅当〃=10时取等号,

nn

故平均每只小白鼠的检测费用的最小值约为2.8元，〃的估计值为10.

19.解：(1)因为/(x)=5QX2+(Q+l)%+ln%(%>0),

/、1ax2+(<2+l)x+l(ax+l)(x+l)

所以广⑴=办+〃+1+—=----5^——L——二A-----八——L,

XXX

因为元=1是/(%)的极值点，所以/，(1)=0,即〃+〃+1+1=0,故〃=—1.

止匕时尸(X)=A————L,则当xe(o,l)时，尸(x)〉0,当xe(l,+oo)时，/,(x)<0,

所以当xe(0,1)时，单调递增，当xe(l,+oo)时，单调递减，

则x=l是“X)的极值点，满足题意.综上，a=-l.

(2)由(1)知，当时，广(%”1------——Z>0,故/(%)在(0,+oo)上单调递增;

11(1A

当。<0时，令［(x)>0,得0<x<——,令「(x)<0,得X〉—一，所以/(x)在0,——上单调递

增,在［-上单调递减.

综上，当时，f(x)在(0,+oo)上单调递增；当。<0时，“X)在(0,—4］上单调递增，在

—,+°°j上单调递减.

a)

(3)(i)由〃冗)=(以2+工，得〃％+lnx=0,即Q%+lnx=0有两个解玉，x2<x2).

令g(x)=ax+ln%(x>0),则g，(%)=〃+：=+1,且g(%)在(0,+oo)上有两个零点.

当时，8，(0=竺已〉0,所以g(x)在(0,+⑹上单调递增，则g(x)在(0,+8)上没有两个零

点，不满足题意;

11(1A

当。<0时，令g［x)>0,得0<x<—上，令/(x)<0,得X〉—乙，所以g(x)在0,——上单调递

acikdj

(1

增，在——,+OO上单调递减，即g(x)的极大值为

ka

为使g(%)在(。,+°°)上有两个零点，则g(—〉0，

〉0,解得—<〃<().

e

当0<%<时，易知一工>e，

aa

1

因为g(l)=a+lnl=a<。,所以g(l)g<0.

a

c工］上有唯一零点;

又g(x)在上单调递增,所以g(x)在0,-

a)

当x>—时，令9(x)=e"—f(x>l),则/'(%)=e%-2%,

再令=—2Mx>1),则M(%)=e'-2>e］一2>0,所以M%)在。，+°°)上单调递增，

所以K(X)>=e—2〉0,即夕'(X)>0,

故9(%)在(1,+oo)上单调递增,所以3(冗)>/⑴=>_1>0,

因为一工>e>l,11「〉0,

所以。>0,即e二

aaa

--1

即ea>—,即a2ea>1,故Ra-\>Q,

a

C_j_A