湖南省2024年中考适应性考试数学试题含解析

湖南省德山乡龙潭庵中学2024年中考适应性考试数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如果将抛物线二=二向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是

A.-=B._C.二=（二+厅口.二=（二一厅

2.下列因式分解正确的是()

A.X2+l=(x+l)~B.x~+2x—1=(x—1)~

C.2X2-2=2(X+1)(X-1)D.x~—x+2=x(x-1)+2

3.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使

PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.273B.2C.3D.逐

4.若△ABCs/iA，B，C，，ZA=40°,ZC=U0°,则NB，等于（）

A.30°B.50°C.40°D.70°

5.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨！.小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5

3

月的水费则是10元.已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5机1.求该市今年居民用水的价格.设去

年居民用水价格为x元加1,根据题意列方程，正确的是（）

3015「3015,

------i-----------=5------------------=5

A.“।1、xB.1x

15

3015_530_5

CX（1+；）尤D.x（if

6.某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20,18,23,17,20,20,18,则这组数据的众数与

中位数分别是（）

A.18分，17分B.20分，17分C.20分，19分D.20分，20分

7.据报道，南宁创客城已于2015年10月开城，占地面积约为14400平方米，目前已引进创业团队30多家，将14400

用科学记数法表示为（）

A.14.4X103B.144xl02C.1.44xl04D.1.44x104

8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”

其意思是“今有直角三角形（如图），勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内

切圆）直径是多少？”（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

9.如图，AB是。。的直径，点E为BC的中点，AB=4,ZBED=120°,则图中阴影部分的面积之和为（）

A.1B.WC.6D.20

2

10.如图，在平行线li、b之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A,B分别在直线h、12±,若Nl=65。，则N2

的度数是（）

A.25°B.35°C.45°D.65°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第象限.

12.完全相同的3个小球上面分别标有数一2、一1、1,将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第

一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是.

13.垫球是排球队常规训练的重要项目之一.如图所示的数据是运动员张华十次垫球测试的成绩.测试规则为每次连

续接球10个，每垫球到位1个记I分.则运动员张华测试成绩的众数是

分数

012345678910测演号

14.小明和小亮分别从4、5两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C,小明先到达奶茶

店C,并在C地休息了一小时，然后按原速度前往5地，小亮从3地直达A地，结果还是小明先到达目的地，如图是

小明和小亮两人之间的距离y（千米）与小亮出发时间x（时）的函数的图象，请问当小明到达B地时，小亮距离A地

16.二次根式而T中的字母a的取值范围是.

17.若a是方程3/—%—2=0的根，贝!l5+2a—6/=•

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）已知：二次函数Ci：yi=a/+2ax+a-1（。注0）把二次函数Ci的表达式化成y=a（x-%产+分他力。）的形式，并

写出顶点坐标；已知二次函数G的图象经过点4（-3,1）.

①求a的值；

②点8在二次函数。的图象上，点A,3关于对称轴对称，连接A3.二次函数C2：刈=区2+质优制）的图象，与线段

AB只有一个交点，求左的取值范围.

环

5-

4-

3

2

12345X

19.（5分）从广州去某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的

行驶路程的L3倍.求普通列车的行驶路程；若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5

倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度.

20.（8分）如图，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点A（-1,0）和点B,与反比例函数y=—的图象在第一象限

x

rrj

内交于点C（1,n）.求一次函数y=kx+2与反比例函数y=—的表达式；过x轴上的点D（a,0）作平行于y轴的直

线1（a>l）,分别与直线y=kx+2和双曲线丫=一交于P、Q两点，且PQ=2QD,求点D的坐标.

21.（10分）先化简，再求值：三上在+5一_匚），其中x=J5.

1+xx+1

22.（10分）平面直角坐标系中（如图），已知抛物线〉=必+法+。经过点A（1Q）和8（3,0）,与y轴相交于点C,

顶点为P.

（1）求这条抛物线的表达式和顶点尸的坐标;

(2)点E在抛物线的对称轴上，且E4=£C,求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN,点。在直线MN右侧的抛物线上，ZMEQ=ZNEB,求点

。的坐标.

23.(12分)已知抛物线y=x?+bx+c经过点A(0,6),点B(1,3),直线h:y=kx(k#1),直线b:y=-x-2,直线h经过抛物

线y=x2+bx+c的顶点P,且h与12相交于点C,直线12与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线

的顶点在直线12上(此时抛物线的顶点记为M),再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线h上(此时抛物线的

顶点记为N).

(1)求抛物y=x?+bx+c线的解析式.

(2)判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线L的位置关系，并说明理由.

(3)设点F、H在直线h上(点H在点F的下方)，当AMHF与AOAB相似时，求点F、H的坐标(直接写出结果).

24.(14分)在星期一的第八节课，我校体育老师随机抽取了九年级的总分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩

进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A、B、C、D、E、F六个等级，并绘制成如下两幅不完整

的统计图表.

等级得分X(分)频数(A)

A95<x<1004

90<x<95m

C85<x<90n

D80<x<8524

E75<x<808

F70<x<754

请你根据图表中的信息完成下列问题:

(1)本次抽样调查的样本容量是.其中m=,n=.

(2)扇形统计图中，求E等级对应扇形的圆心角a的度数；

(3)我校九年级共有700名学生，估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数共有多少人？

(4)我校决定从本次抽取的A等级学生(记为甲、乙、丙、丁)中，随机选择2名成为学校代表参加全市体能竞赛,

请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、D

【解析】

本题主要考查二次函数的解析式

【详解】

解：根据二次函数的解析式形式可得，设顶点坐标为(h,k),则二次函数的解析式为.=afxih；；..由原抛物线解析

式,一、.可得a=L且原抛物线的顶点坐标为(0,0),向右平移1个单位后的顶点坐标为(1,0),故平移后的解析式为

y=(*一厅.

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次函数的顶点式，根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.

2、C

【解析】

依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论.

【详解】

解：D选项中，多项式xZx+2在实数范围内不能因式分解；

选项B,A中的等式不成立；

选项C中，2X2-2=2(X2-1)=2(x+1)(x-1),正确.

故选C.

【点睛】

本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法.

3、A

【解析】

连接BD,交AC于O,

\•正方形ABCD,

/.OD=OB,AC±BD,

，D和B关于AC对称，

则BE交于AC的点是P点，此时PD+PE最小，

•.•在AC上取任何一点(如Q点)，QD+QE都大于PD+PE(BE),

此时PD+PE最小，

此时PD+PE=BE,

二•正方形的面积是12,等边三角形ABE,

.*.BE=AB=Vii=25

即最小值是26，

故选A.

D

B

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的应用，关键是找出PD+PE

最小时P点的位置.

4、A

【解析】

利用三角形内角和求NB,然后根据相似三角形的性质求解.

【详解】

解：根据三角形内角和定理可得：NB=30。，

根据相似三角形的性质可得：NB，=NB=30。.

故选：A.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键.

5、A

【解析】

解：设去年居民用水价格为x元/cm］，根据题意列方程：

3015「

~/------x——_5

八，x,故选A.

I3；

6、D

【解析】分析：根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找

中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数.

详解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23,

所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，

故选：D.

点睛：本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误

选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，

则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

7、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，

n是负数.

【详解】

14400=1.44x1.

故选C.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

8,C

【解析】

试题解析：根据勾股定理得：斜边为正寿7=17,

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径厂=任与卫=3（步），即直径为6步,

2

故选C

9、C

【解析】

连接AE,OD,OE.

VAB是直径，NAEB=90。.

XVZBED=120°,/.ZAED=30°./.ZAOD=2ZAED=60°.

,/OA=OD..♦.△AOD是等边三角形..*.ZA=60o.

又；点E为BC的中点，ZAED=90°,/.AB=AC.

/.△ABC是等边三角形，

...△EDC是等边三角形，且边长是AABC边长的一半2,高是

二ZBOE=ZEOD=60°,/.BE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE围成的部分的面积.

'阴影部分的面积二故选。

10、A

【解析】

如图，过点C作CD〃a,再由平行线的性质即可得出结论.

【详解】

如图，过点C作CD〃a,则N1=NACD,

,.*a/7b,

，CD〃b,

/.Z2=ZDCB,

VZACD+ZDCB=90°,

.,.Zl+Z2=90°,

又•..Nl=65°,

：.Z2=25°,

故选A.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11,一

【解析】

•.•一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，

A=4+4m<0,解得mV-1,

m+l<0,m-l<0,

...一次函数y=(m+1)x+m-1的图象经过二三四象限，不经过第一象限.

故答案是：一.

2

12、一

3

【解析】

画树状图列出所有等可能结果，从中找到能两次摸到的球上数之和是负数的结果，根据概率公式计算可得.

【详解】

解：画树状图如下：

-2-11

AAA

-2-11-2-11-2-11

由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有6种结果,

所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为9=-,

93

2

故答案为：—.

3

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于

两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

13、1

【解析】

根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得答案.

【详解】

运动员张华测试成绩的众数是1.

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查了众数，关键是掌握众数定义.

14、1

【解析】

根据题意设小明的速度为成就入，小亮的速度为必，〃力，求出a,b的值，再代入方程即可解答.

【详解】

设小明的速度为akm/h,小亮的速度为bkm/h,

—=3.5-2.5

5a9

(3.5—2屹+(3.5-2.5)〃=210

A『「〃=120

解得，।，

[b=60

当小明到达5地时，小亮距离A地的距离是：120x(3.5-1)-60x3.5=1(千米)，

故答案为1.

【点睛】

此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组.

15、a{a+b){a-b)

【解析】

先提取公因式〃，再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】

a3-ab2=a(a2-b2}=a^a+b^a-b^

故答案为：a(a+b\a-b).

【点睛】

本题考查了分解因式，熟练掌握因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的区别，根据题目选择合适的方法是解题

的关键.

16、a>-1.

【解析】

根据二次根式的被开方数为非负数，可以得出关于a的不等式，继而求得a的取值范围.

【详解】

由分析可得，a+l>0,

解得：aN-L

【点睛】

熟练掌握二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键.

17、1

【解析】

利用一元二次方程解的定义得到3a2-a=2,再把5+2a-6az变形为5-2(3〃—力,然后利用整体代入的方法计算.

【详解】

；a是方程31—x-2=0的根，

3a2-a-2=0,

3a2-a=2,

5+2a-6a2=5-2(3a2-tz)=5-2x2=l.

故答案为：1.

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(l)ji=a(x+l)2-1,顶点为(-1,-1)；(2)①1；②"的取值范围是七1或左=-1.

262

【解析】

⑴化成顶点式即可求得；

⑵①把点A(-3,1)代入二次函数Ci：yi=ax2+2ax+a-1即可求得a的值；

②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；

【详解】

(l)yi=ax2+2ax+a-l=a(x+l)2-1,

，顶点为(-1,-1);

⑵①・・,二次函数G的图象经过点A(-3,1),

・•.〃(-3+1)2-1=1,

1

/.«=—；

2

②・・・A(-31),对称轴为直线x=-L

•"(I,1),

当左>0时,

二次函数。2：以=依+履(原0)的图象经过A(-3,1)时，l=9k-3k,解得k=L

6

二次函数C2：J2=fc^+fcv优利)的图象经过5(1,1)时，\=k+k,解得左=；,

11

：•—^k<—,

62

当左V0时，・・•二次函数。2：y2=kx2+kx=k(x^-—)2--k,

24

1

一-k=19

4

:.k=-1,

综上，二次函数C2：以=区2+履(%0)的图象，与线段只有一个交点，左的取值范围是%工或左=-1.

62

【点睛】

本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键.

19、(1)520千米；(2)300千米/时.

【解析】

试题分析：(1)根据普通列车的行驶路程=高铁的行驶路程xL3得出答案；(2)首先设普通列车的平均速度为x千米

/时，则高铁平均速度为2.5x千米/时，根据题意列出分式方程求出未知数x的值.

试题解析：(1)依题意可得，普通列车的行驶路程为400x1.3=520(千米)

(2)设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为2.5x千米/时

依题意有：型-您=3解得：x=120

x2.5x

经检验：x=120分式方程的解且符合题意高铁平均速度：2.5x120=300千米/时

答：高铁平均速度为2.5x120=300千米/时.

考点：分式方程的应用.

20、⑴一次函数解析式为y=2x+2；反比例函数解析式为y=±(2)0(2,。).

X

【解析】

⑴根据A(-1,0)代入卑质+2,即可得到左的值；

m

(2)把C(1,〃)代入y=2x+2,可得C(1,4),代入反比例函数y=一得到机的值；

x

444

(3)先根据D(a,0),PD〃y轴，即可得出P(a,2a+2),Q(a,一),再根据PQ=2QD,即可得2a+2——=2x-,进

aaa

而求得D点的坐标.

【详解】

(1)把A(-1,0)代入尸fcr+2得-A+2=0,解得4=2,

...一次函数解析式为尸2x+2；

把C(1,")代入y=2x+2得”=4,

AC(1,4),

m

把C(1,4)代入户一得帆=1x4=4,

x

4

・••反比例函数解析式为产一；

(2)・・・PD〃y轴,

而D(m0),

4

AP(〃，2。+2),Q(。，—),

a

VPQ=2QD,

44

2a+2--=2x—,

aa

整理得a2+a-6=0,解得ai=2,ai=-3(舍去)，

AD(2,0).

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程

组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数的解析式.

21、1+0

【解析】

先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.

【详解】

回x(x+2)(x+xx)

解：原式=-----——-----------,

l+xIx+1x+1)

_x(x+2)%2

1+x冗+1'

_x(x+2)x+1

1+xx2

_x+2

x

当x=y/2时，

原式=义普=1+豆.

V2

【点睛】

考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

22、(1)y=x2-4x+3,顶点尸的坐标为(2,4)；(2)E点坐标为(2,2)；(3)。点的坐标为6,8).

【解析】

(1)利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P的坐标；

(2)设£(2,1),根据两点间的距离公式，利用E4=EC得到(2-1)2+/=22+0-3)2,然后解方程求出t即可得到

E点坐标；

(3)直线后之交x轴于歹，作直线尸2于〃，如图，利用3iNNE5=；得到设

QQm,m2-4m+3),则HE=n?-47〃+l,QH=m-2,再在及中利用正切的定义得到tanNHEQ=翌=!，

HE2

即m2-4m+l=2(m-2),然后解方程求出m即可得到Q点坐标.

【详解】

解：(1)抛物线解析式为丁=(xT)(x-3),

即_y=x~-4x+3,

y=(X-2)2-1,

二顶点P的坐标为(2,-1)；

(2)抛物线的对称轴为直线后夕，

设E(2,t),

£A=EC,

/.(2-1)2+干=%+(六3)2,解得t=2,

••.E点坐标为(2,2);

(3)直线xW交x轴于F,作MNL直线x=2于H,如图，

ZMEQ=ZNEB9

—BF1

而tan/NEB=—=—,

EF2

/.tanZMEQ=—,

2_=

设。(的m4m+3),则/£5=病-4根+3-2=m2-4冽+1,QHm~29

在Rt_QHE中,tanZHEQ=^-=-,

HE2

nr-4m+1=2(m-2),

整理得"『-6m+5=0，解得叫=1(舍去)，冽2=5，

，Q点的坐标为(5,8).

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会

利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.

23、（1）y=d—4x+6；（2）以点N为圆心，半径长为4的圆与直线“相离；理由见解析；（3）点、H、歹的坐标

分别为下（8,8）、〃（一10,—10）或-8,8）、"（3,3）或网—5,-5）、H（-10,-10）.

【解析】

（1）分别把A,B点坐标带入函数解析式可求得b,c即可得到二次函数解析式

（2）先求出顶点P的坐标，得到直线4解析式，再分别求得MN的坐标，再求出NC比较其与4的大小可得圆与直线12

的位置关系.

(3)由题得出tanZBAO=1，分情况讨论求得F,H坐标.

【详解】

26=c

(1)把点4(0,6)、B(l,3)^Ay=x+^+cWk_1+z?+c>

b=-4

解得，工，

c=6

二抛物线的解析式为y=f-4x+6.

(2)由y=Y—4x+6得y=(x-2y+2,.•.顶点P的坐标为P(2,2),

把尸(2,2)代入4得2=2左解得左=1,.•.直线4解析式为。=尤,

设点代入4得机=T,.•.得M(2,—4),

设点N(〃,-4),代入4得〃=T,.•.得N(T,—4),

由于直线4与x轴、V轴分别交于点。、E

易得£>(—2,0)、E(0.-2),

；•OC=^/(-1-0)2+(-1-0)2=y/2,CE=^(-1-0)2+(-1+2)2=72

/.OC=CE,•.•点c在直线y=x上，

NCOE=45，

；.NOEC=45，NOCE=180-4