福建省百校联考2023-2024学年高三年级上册12月月考数学试题

绝密★启用前

2024届高三12月质量检测

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

L答题前.先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定

位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区

域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;

字体工整，笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A={x/—4x+3<0},B={y|y=2A+l),则A3=()

A.(l,+oo)B.[l,+oo)C.(1,3)D,[1,3)

2.已知i(z—l)=z+l,则==()

A.—iB.1—iC.iD.1+i

3.已知b为单位向量，若(a+2b)_L(3a-b),则cos(a®=()

z7cinv

4.若函数/'(耳二%]—sinx为偶函数，则实数a=()

A.lB.OC.-lD.2

5.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面A3CD为矩形，顶棱PQ和底面平行，书中描

述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一•即

V=-(2AB+PQ)BCh(其中〃是刍薨的高，即顶棱PQ到底面A3CD的距离)，已知A3=25C=4,

△P4D和△Q3C均为等边三角形，若二面角P—AD—5和Q—BC—A的大小均为150。，则该刍薨的体积

为()

5百

B.373D.473

(兀、〜八，cos(a—£)

6.右tana-\—=-3,tan3=3,贝！J------------=()

I4；sin(cr+y0)

734

A.-lB.—C.-D.一

555

7.设等比数列｛4｝的公比为q,6〉0,设甲：q>l；乙：。〃+2〉可，贝U()

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知双曲线C：x2--^=l(&>0),点尸(2,0),2(3,0),若C上存在三个不同的点〃满足阳。|=2|九切,

二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知圆(x+2)2+y=l,圆C2：%2+(J-«)2=9,则下列结论正确的是()

A.若q和。2外离，则。〉'或a<-26

B.若G和02外切，贝!14=土26

C.当a=0时，有且仅有一条直线与G和02均相切

D.当a=2时，G和。2内含

10.已知正实数x,y满足％+4y=孙，则()

A.xy<16B.x+y>9

C.工―2的最大值为0D.4、+4y的最小值为2"

%16

11.已知/(x)=log2%+%，g(x)=2*+x,若“〃)=g(Z?)=2,则()

A.〃=2"B.a+b=2

C.a—>>1D.—<ab<2^/2—2

4

12.在三棱锥4—ABC中，AA,平面ABC,AB±AC,AAl=AB=AC=3f尸为△ABC内的一个动

点(包括边界)，AP与平面4BC所成的角为45。，则()

A.AP的最小值为6-石

B.A/的最大值为卡+石

c.有且仅有一个点尸，使得APLBC

D.所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为二巨

4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设S“是公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和，若34=。4,则当巫=.

“2023

14.已知函数/(x)=ln(G：+l),且y=2x为曲线y=/(x)的一条切线，则口=.

22

15.设耳，鸟是椭圆C：a+3=1(。〉6〉0)的左、右焦点，。为坐标原点，/为C上一个动点，且

\MF^+2MF1-F1O的取值范围为[1,3],则椭圆C的长轴长为.

16.已知函数/(x)=sin(0x+e)[ty〉O,O<e<a],若且/⑼+/[=0,则

/周二-------

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17.(本小题满分10分)

ahc

记△A5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且5=——.

4

（1）求△ABC的外接圆的半径;

27r

（2）若匕+c=2,且4=——，求BC边上的高

3

18.（本小题满分12分）

工+盘+…+&=2〃-L

设S.为数列｛q｝的前〃项和,

12n

（1）求数列｛4｝的通项公式;

zz+2

(2)设Z?“=----,证明：4+6+…+6〃<4.

nan-

19.（本小题满分12分）

已知函数/(%)=3(二-ax-a，aeR.

⑴讨论/（x）的单调性;

（2）当时，设X],X2分别为了（无）的极大值点、极小值点，求/（石）-/（%2）的取值范围•

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，AB//CD,AB±BC,2AB=2BC=CD=PD=PC,设E,M分别

为棱AB,PC,CD的中点.

（1）证明：即〃平面K44；

（2）若PA=PM,求。与平面PCD所成角的正弦值.

21.（本小题满分12分）

已知函数/(X)=x?Inx-21nx+办2—g,aeR.

（1）证明：/（无）有唯一的极值点;

（2）若“无）20,求a的取值范围.

22.（本小题满分12分）

己知抛物线C：V=2px（p>0）,尸为C的焦点，P（4,%）（%>。）在。上，且归周=5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/与C交于A,8两点(A,8分别位于直线x=4的两侧)，且直线Q4,的斜率之和为0.

(i)求直线/的斜率：

(ii)求△QAB的面积的最大值.

2024届高三12月质量检测•数学

参考答案、提示及评分细则

题号12345678

答案BCDDABCA

题号9101112

答案ABCBCABDACD

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.【答案】B

【解析】由V—4%+3<0,解得l4x<3,所以A={x|l〈尤<3},因为y=2工+1>1,所以8={小>1},

A[B={x|x>l},故选B.

2.【答案】C

（1+丁

【解析】因为i（z—l）=z+l,z=—所以』=i,故选C.

（i-l）0+i）

3.【答案】D

【解析】依题意，（a+2b＞（3a—b）=3a~+5a•b—2//=l+5a-Z?=0,因为=|闻/?卜05卜力），所以

cos^,Z?y,故选D.

4.【答案】D

•左刀,人旧上r(\asinx.a—1—e”./、a—1—e.、

【解析】由题思，fix)=----------sinx=-----------sinx=/(-%)=------------sin(-x),

1+e*1+ex1+e-x

所以I二厘""J：x=_(aT)eT,所以(a—2乂+1)=0,解得a=2,故选D.

1+e1+e1+e'八'

5.【答案】A

【解析】设名和。分别是P,。在底面的投影，设又为的中点，则

A=PMsin30°=A/3x-=—,RM=PMcos3b。=瓜当=3,所以《Qi=A3+2《M=4+3=7,

22

V=g（2A3+PQ）3C/=gx（2x4+7）x2x^=孚

故选A.

6.【答案】B

【解析】因为tan[?+a1+tan6/

=-3,解得tana=2,

1一tana

cos(6Z-/J)_cosacosj3+sinasin/?_1+tanfztan(3_1+2x3_7

所以---7-----—----------------------=--------------------=—，故选B.

sin(6Z+/?Jsinicos尸+cosasin/?tan67+tan/72+35

7.【答案】C

【解析】考虑充分性：因为q>0,当">1时，«„>0,所以a,.—/=%(/—1)>°，满足充分性；考虑

必要性：all+2>an,即。“(/一1)>0,当4=1,4+2=4，当4<0时，a“正负交替，。“(二一1)不可能

恒大于0,当0<“<1时，«„(^2-1)<0,当4>1,1)>0,满足必要性，所以甲是乙的充要条件，

故选C.

8.【答案】A

【解析】设M(x,y),由|加0=2|九0,可得^x-3)2+y2=2^/(x-2)2+/，整理得(x—g]+/=^,

将点M的轨迹与双曲线联立，即/(Y—l)+(x—g]-^=0,整理得

~~b2--b2

2222

Z?(X-1)+L-|"|-1=(^-1)-(b+l)x+b-^=0,解得X=1或x=2~所以2~->1,解

1+b21+b2

得k<2,所以c的离心率6=Ji+4=ji+/(叵,故选A.

3\a23

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】ABC

【解析】q(-2,0),C2(O,a),|GQ|="+/,4=1,4=3,

若G和。2外离，则|CC|=，4+4>、+&=4,解得a〉2石或。<—2g,A选项正确；

若G和。2外切，|。©="+/=4,解得。=土2百，B选项正确；

当a=0时，|。1&|=2=弓一/;,&和。2内切，故仅有一条公切线，C选项正确；

当a=2时，2=马—弓<|GG|=2，5<{+^=4,G和02相交，D选项错误；

故选ABC.

10.【答案】BC

【解析】x+4y=xy>2^4xy=4yjxy,当且仅当％=4y,即工=8,y=2时等号成立，所以盯216,A

选项错误；

由％+4y=孙，可知3+'=1,所以％+丁=£+2.f%+y')=5+—+—>5+2H^X^=9,当且仅当

xyy)xy\xy

x=2y,即九=6,y=3时等号成立，B选项正确；

由％+4y=冲，可知％=所以工—-上二上」—--=--f—+—^<--2^-x^=0,当且仅当

y-1x164y16414y16)4\4y16

y=2时等号成立，C选项正确；

4%+4-2,4"4y=2…,当x=y时等号成立，由B可知，x+y>9,当且仅当％=2y时等号成立，因

为前后两次不等式取等条件不一致，所以4*+4、>2°,D选项错误，故选BC.

H.【答案】ABD

【解析】因为142〃+〃=2匕+6=1。822'2",所以/(〃)=/(2)又log2%,x均单调递增，所以/(同

单调递增，故。=2”,A选项正确；

由A可知〃=2",所以log2〃=b+a=2,B选项正确；

因为/(%)单调递增，且/(；］=log2；+；〉；+；=2,/(V2)=log2V2+V2=-+V2<2,

y2J22

o

根据零点存在定理，有a-b=a-［2-a)=2a-2<l,C选项错误；

ab=a(2-a),因为二次函数y=a(2—a)的对称轴为1,且在区间|血,^］上单调递减，所以

—<ab<2.>j2,—2,D选项正确，

4

故选ABD.

12.【答案】ACD

【解析】依题意，A3=AC=5C=3四,取3C的中点M,则AML5C,VBC,

所以平面AAM，过A作于"，因为平面

所以且A/BC=M,所以AH_L平面ABC,易得AH=6，且"为等边△A5C的外

心,

由AP与平面人出。所成角为45。，可知=

所以点P轨迹是以〃为圆心，以G为半径的圆在△A5C内部的一部分,

如图所示，

所以的最小值为4〃—打="—6,A选项正确;

由于轨迹圆部分在平面ABC外部，所以4。的最大值不等于+B选项错误;

因为平面4AM，若则点P在线段A"上，有且仅有一个点P满足题意，C选项正确;

动线段AP形成的曲面为圆锥侧面积的一部分，

因为cos/B、HM=且"-=丝,所以工，

1HBi24

2^--2x—x3]1

因为--------4—=—，所以曲面面积为圆锥侧面面积的一，

27144

圆锥AH侧面积为LxJ3x2乃x石=3后，

2

所以所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为空，D选项正确，故选ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2023

13.【答案】

2

q+q+2022d

【解析】因为3%=%，即3(a]+d)=q+3d,所以6=0,」经=-------2-----------------=——

a

生023\+202212

14.【答案】2

【解析】/(0)=0,/'(x)=---,设切点为(%o，ln(a%o+1)),

cue+1

a

则切线方程为y—ln(%+l)=x-

ax。+1

依题意」一=2,且ln(a/+l)-一要匚=0,解得a=2.

axQ+1axQ+1

15.【答案】2也

【解析】|〃与『+2”片.片0="£.(班+2£0)

=MF[-(ME+FlF2^=MF1-MF2=(MO+O与)(MO+OF^

=|A/O|2-|O^|2=|MO|2-C2,

b2-c2=1,a2=5(,

V\MO\e[b,a],.•J|wo|2-c2je[_b2-c2,a2-c2],a2—c1—3,=><b1=3,

〃=/+。2c2=2,

长轴长2a=2yB.

16【答案】—

2

71

【解析】由可知，当％=工时，/(%)取得最大值，所以@x&+*=2左；r+工(kwZ),

662

27r2〃

又/(O)+J0,即sin/=-sin-CD-\-(P=-sin(8左"+2乃一4夕+0)=sin3(p,

jrTT3

因为0</<5，所以0+3。=»,解得°=i，所以G=12左+/(左wZ),

,3〃V2

/[f卜喑x'+泊.=sin——=

4"T

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.【答案】(1)1(2)-

2

nhr1a

【解析】(1)依题意S=——=-bcsmA,所以——=2,

42sinA

由正弦定理一丝=^^=」一=2R,得R=l,

sinBsinAsinC

所以△A5C的外接圆半径为1；

(2)由(1)可知‘一=:=2,解得a=2sin'=百，

sinA.2乃3

sin——

3

由余弦定理，得。2=b2+c2-2Z?ccosA=b2+c2+bc={b+c^-be,

即3=2?—be,解得历二[,

ahc1he1

设边上的高为〃，则S='=—ox/z,所以//=,=—.

4222

n2

18.【答案】(1)an=(n+l)-2-(2)略

【解析】(1)解：因为'■^—-H----1—^=2"-1①，

12n

当〃22时，县+昆+…+”=2"T—1②,

12n-1

q

①-②，可得出=2"—2〃T=2〃T,所以〃22时，S〃=〃-2〃T,

n

当〃N3时，a—"—1)2n-2=(〃+1)•2n-2,

{

又当〃=1时，a1=2-1=1,

当”=2时，S2—a1+a2—4,所以a,=3,

所以当〃=1,2时符合为=5+l).2"-2,

综上，an=5+1卜2"-2；

〃+22(n+l)-n11

(2)证明：由(1)知,>=~

n•(n+l)2,,-2“(n+])-2"-2—("+1).2"-2

所以+…++——++

1x2-22x2-12x2「i3x2°nx2"-3(w+l)x2"

=-------------------------=4------------------<4

1x2-2(n+l)x2"-2(n+l)x2n-2'

19.【答案】⑴详解见解析(2)[4e78)

【解析】(1)f'(x)=ex(^x2-ax-a+2x-a^=ex(x+2)(x-a),

当a=—2时，/(x)=ex(x+2)2>0,/(%)单调递增;

当aw-2时，令/'(X)=0，解得％=-2或％=a,

所以当a>-2时，/'(%)>0,%£(TX),—2)(a,4w),

・・・〃x)在(―oo,—2),(〃,长。)上单调递增，在(—2,〃)上单调递减，

当av-2时，(x)>0,(-2,+oo),

，/(%)在(一8,〃),(—2,-KO)上单调递增,在一2)上单调递减；

(2)当a20时，由(1)可知，石=—2,x2=a,

fl

则〃%)=/(一2)=(。+4)小2,/(x2)=/(a)=-«e,

-2

所以/(xL)-/(x2)=(«+4)e+ae"，

设g(a)=(a+4)e~+aefl(a>0),则g'(a)=e~+(a+l)e">0,

所以g(a)在［0,+8)上单调递增，g(a)>g(0)=4e-2,

所以/(%)-/(%)的取值范围是［4e-2,+oo).

20.【答案】(1)略(2)*5

【解析】(1)证明：取的中点N,则人丁〃CM,且2NF=CM,

又AE〃。恢，且2AE=CM,所以N屋AE,所以四边形AEMVN为平行四边形，

所以ER〃㈤V,又ANu平面M仁平面K4",所以砂〃平面K4"；

(2)解：作AM的中点打，连接/W,

•：PA=PM,：.PH±AM,

又,：CD=PD=PC,M是CD的中点，CDLPM,

又：2AB=25C=CD,AB//CD,ABLBC,M是CD的中点，：.CD±AM,

,：AM=；.C。，平面B4M,CDLPH,

•：PHLCD,PHYAM,AM\CD=M,•,。£><=平面48。£),；.0//，平面48。0,

不妨设2AB=25C=CD=4,

以点〃为坐标原点，分别以HA,过点〃平行于CD的直线，所在的直线为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系，

p

A（1,O,O）,P（0,0,而），M（-1,0,0）,C（-l,2,0）

则PM=（—1,0,—而），MC=（0,2,0）,

因为N为PM的中点，所以N,AN=

由（1）可知，EF//AN,所以E7与平面尸CD所成角,

即为AN与平面PCD所成角，设〃=（羽y,z）为平面PCD的一个法向量,

n-PM=0,—x—Jllz=0,

则由＜令z=l,则x=—

n-MC=0y=0,

即〃=b&T,o,i）.

设AN与平面PCD所成角为氏

\n-AN\2而^A65

则sin6=J—=

2氐行15

所以E尸与平面PCD所成角的正弦值为［p.

21.【答案】（1）略（2）a>-

2

2（2

【解析】（1）证明：/'（x）=2xlnx+x——+2ax=x\21nx——-+l+2tz

JCkX

224

设g（x）=21nx——-+l+2a,则g'（x）=一+二〉0,

所以g（%）在（0,+8）上单调递增，

（2a+l\2a+l

又ge2<21ne2+1+2。=0,

k7

1-2。1-2〃

取玉〉1,且玉>。2,且>2hiX]—2+1+2〃>21ne2-1+2〃=0,

(2a+lA

2

所以存在唯一与£e,x1,使得g(%)=0,

当工£(0,%)时,g(x)<0,/(%)单调递减,

当无£(%,+8)时，g(X)>0,/(%)单调递增，

当X=/时，/(%)取得极小值，所以/(%)有唯一极值点；

22

(2)解：由(1)可知，g(%o)=21nXo—y+1+2d=0,即依；=1—--x：In/,

/