河南省洛阳市伊川县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析）

河南省洛阳市伊川县2023-2024学年九年级上学期期中数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若VTG在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x>-lB.x>-lC.x>lD.x>l

2.方程尤2-3元=-2中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.1,-3,-2B.1,3,2C.1,3,-2D.1,-3,2

3.等式Jx+1.Jx-1=4,一1成立的条件是（）

A.x>lB.x>-1C.-1<X<1D.x>l或xW-1

4.若方程6f+x+l=0有实数根，则b的值不可能是（）

A.0B.1C.0.2D.-2

5.如图，在AABC纸片中，NA=76。，/8=34。.将AABC纸片沿某处剪开，下列

四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（）

cQ0b

CCC

£\

4AKB4A肘XBA1-------------AL---------------------AL-----------------------

①②③④

A.①②B.②④C.①③D.③④

6.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点0,E是BC边上的中点，若OE=2,

AD=5,贝旧ABCD的周长为（）

AD

BEC

A.9B.16C.18D.20

7.如图，已知AB〃CD〃Eb,BD:DF=1:2,那么下列结论中，正确的是（）

A.AC:AE=1:3B.CE:EA=1:3C.CD:EF=1:2D.AB:EF=1:2

3

8.对于实数4,b,c,d,定义如下运算=ad-bc,例如=lx4-2x3=-2,

a24

%]一%

则c,=。的根的情况为（）

21—x

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.无实数根

9.我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形

ABCD的边A3在x轴上，A3的中点是坐标原点。，固定点A,B,把正方形沿箭头方

向推，使点D落在y轴正半轴上点。，处，则点C的对应点C'的坐标为（）

A.（山,1）B.（2,1）C.（1,V3）D,（2,百）

10.某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂5,6月

份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是（）

A.50（1-^）2=182B.50+50（l+x）+50（l+x）2=182

C.50（1+2x）=182D.50+50（l+x）+50（l+2x）=182

二、填空题

11.若*与最简二次根式向I是同类二次根式，贝

12.计算：几十（6+&）=.

13.已知3尤-5y=0,则x+）=.

X

试卷第2页，共6页

14.长方形内两个相邻正方形的面积分别为4和2,图中阴影部分的面积为

15.将三角形纸片（.MC）按如图所示的方式折叠，使点3落在边AC上，记为点夕，

折痕为所，已知AB=AC=3,BC=4.若以点9、F、C为顶点的三角形与：ASC相

似，则3尸的长度是.

三、解答题

16.计算：（/+2）（百-2）-xy/12+y/6

x+2

17.先化简，再求值:其中X=0+1.

x+1

18.已知关于x的一元二次方程％2+如+根-2=0

(1)求证：对于任意实数方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根分别是4和巧，且%-尤2=2,求相的值.

19.解方程d-2x-99=0,某同学的解法如下:

解：由炉一2元-99=0,得比2—2彳+1=99+1，

.,.(尤+1)2=100,

x—l=±10,

・・X]—11,x2=—9.

⑴这位同学是用__________法解方程；

⑵请你用另一种方法解方程.

试卷第4页，共6页

(i)请按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想£(「：)的变形结果及验证过程;

(2)针对上述各式反映的规律，写出用n表示的等式，并验证.(n为自然数)

21.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽

车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为2.88

亿元.

(1)求该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率；

(2)若2023年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过3.4

亿元？为什么？

22.在矩形A5CD和矩形DEPG中，AD=2DE,AB=2DG,AD^DG,将矩形ZJEFC

绕点。旋转，直线AE、CG交于点P.

AB

G

F<

DC

E

⑴求善的值；

CCr

(2)证明：AE1CG.

23.如图，已知正方形ABCD,点E是3c延长线上一点，连接。E,过点8作成，DE

于点尸，连接CF.

(1)求证：NFDC=NCBF；

⑵作点C关于直线DE的对称点连接

①依据题意补全图形;

②用等式表示线段BEDF,CM之间的数量关系，并证明.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于或等于0,列一元一次不等式,

解不等式即可.

【详解】解：JTTT在实数范围内有意义，

%+1>0,

••X2—19

故选A.

2.D

【分析】根据一元二次方程的一般式依2+及+。=0（。彳0）,确定系数即可.

【详解】VX2-3%=-2,

♦•x?—3x+2=0,

二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-3,2,

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式依2+及+。=0（。彳0）及其系数，熟练掌握基本

概念是解题的关键.

3.A

【详解】•:等式而训二=1口;成立，

[x+l>0”,

・•・八八，解得

故选A.

点睛：&-扬=，石成立的条件是：aNO且620.

4.B

【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，二元一次方程的定义和有根的情况，需讨论

人=0和6/0的情况，当当b=0时，此时方程为一元一次方程且方程有实数根，当匕W0时

根据一元二次方程定义和一元二次方程根的判别式列不等式组求解，最后综合一起，求出b

的取值范围即可.

【详解】解：若方程加+x+l=0有实数根，

答案第1页，共12页

当6=0时，此时方程为一元一次方程：x+l=O,x=-l,方程有实数根.

当时，此时方程为二元一次方程：fe2+x+l=O方程有实数根需满足A20,

所以：A=Z>2-4ac=l-4xZ?xl=l-4Z>>0,

解得：b<—,且6片0,

4

综上，若方程云2+x+i=。有实数根，需满足64；.

4

故选:B.

5.C

【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可.

【详解】图①中，/B=/B,/A=NBDE=76。,所以△8DE和△4BC相似；

图②中，ZB=ZB,不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；

图③中，NC=NC,NCED=NB,所以△COE和△CAB相似；

图④中，/C=/C,不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；

综上分析可知，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两个角对应相等的两三角形相似是解此题

的关键.

6.C

【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以

0E是AABC的中位线，由0E=2,即可求得AB=4,继而可得出团ABCD的周长

【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，

.".OA=OC；

又：点E是BC的中点，

；.BE=CE,

.".AB=2OE=2x2=4

故I2ABCD的周长=2(AB+AD)=18

故选C.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.还考查了三角形中

位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半.

7.A

答案第2页，共12页

【分析】根据平行线分线段成比例定理求解.

【详解】解：vAB//CD//EF,BD:DF=1:2,

：.AC:AE=BD:(BD+DF)=1:3,故A选项正确；

CE:EA=DF:(BD+DF)=2:3,故B选项错误；

8：所的值无法确定，故C选项错误；

AB:EF的值无法确定，故D选项错误；

故选A.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是掌握：三条平行线截两条直线，所

得的对应线段成比例.

8.A

【分析】本题考查新定义下的实数运算和一元二次方程根的情况，根据定义列出关于了的一

元二次方程，再根据根的判别式判别根的情况.

%1—X

【详解】解：根据定义.,=尤(1-力-(l-x)x2=0,

整理得：-X2+3X-2=0,

其中a=-1,b=3,c——2,

：.A=&2-4OC=32-4X(-1)X(-2)=9-8=1>0,

JQ]—X.

・・・=0有两个不相等的实数根，

2L-X

故选：A.

9.D

【分析】由已知条件得到A==AD=2,AO=；AB=1,根据勾股定理得到

0D，=VAD,2-0A2=也,于是得到结论.

【详解】解：AD=AD=2,

AO」AB=1,

2

OD'=\lAD'2-OA1=A/3，

CD=2,CD1/AB,

答案第3页，共12页

:.C'(2,后,

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题

的关键.

10.B

【分析】本题主要考查一元二次方程的增长率问题，根据题意分别表示出五月份，六月份生

产零件的量，最后相加列出等式即可.

【详解】解：根据题意，该厂五月份生产零件为：50（l+x）,

则该厂六月份生产零件为：50（l+x）（l+x）=50（l+x）2,

故该厂第二季度共生产零件为：50+50（1+X）+50（1+X）2=182.

故选：B

11.1

【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质化简通=20,再根据最简二次

根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可.

【详解】解：：我与最简二次根式7^工1是同类二次根式，且曲=2夜，

・'・Q+1=2,贝〃=1,

故答案为：1.

12.372-2^/-273+372

【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键.

【详解】解：新心+吟

痣（白-血）

一（出+0）（百-忘）

y/lS-y/n

3忘-2-

3-2

=3A/2-2A/3,

答案第4页，共12页

故答案为：3忘-26.

13.§

5

3

【分析】先由3x-5y=0,得至！=然后整体代入到所求式子中即可得到答案.

【详解】解：5y=0,

8,

5

Q

故答案为：—■

3

【点睛】本题主要考查了分式的求值，根据题意得到y=是解题的关键.

14.272-2

【分析】直接利用总面积减去两正方形面积进而得出答案.

【详解】解：由正方形的性质可得，大正方形边长为：2,小正方形边长为：应，

故阴影部分面积为：2x(2+72)-4-2=272-2，

故答案为：20-2.

【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出正方形边长是解题关键.

15.—或2

7

【分析】本题考查折叠的性质，三角形相似的判定和性质.利用分类讨论的思想是解题关

键.结合折叠的性质可设政=3N=x,则C5=4-x.分类讨论：①当/ABCu/BKC时，

此时ABCsB'FC,得出"=竺，代入数据，即得出关于x的方程，解之即可；②当

ABBC

NABC=NFB'C时，此时ABC^FB'C,同理求解即可.

【详解】解：由折叠的性质可知M=8户,

^BF=B'F=x,贝IJC尸=3C-M=4—x.

,/ZACB=ZB'CF,

：.可分类讨论：①当ZABC=时，则此时,ABCs,B'FC,

.BF

>•---

AB

解得:

答案第5页，共12页

・•・此时斯的长度是1争2

②当NABC=ZFB，C时，则此时ABC^FB'C,

4-x

ABAC3

解得：x=2,

J此时陟的长度是2.

故答案为：羊12或2.

16.-1

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【详解】解：原式=3-4-指+指

=-1.

【点睛】本题考查了平方差公式，二次根式的加减乘除运算，解题的关键是掌握运算法则,

正确的进行化简.

17.J-,立

x-12

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的混合计算法则化简,

再代值计算即可.

【详解】解：］1I1].x+2

x-1-1JX+1

X+1+1x+1

(x+l)(x-l)x+2

x+2x+1

(x+l)(x-l)x+2

1

x-1'

原式-1-1一1一四

当X=0+1时,尿工I-------——(=------—r=-

X-1V2+1-1V22

18.(1)见解析

⑵2

【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式:

(1)证明根的判别式的值大于。即可；

(2)利用根与系数关系，构建方程求解.

答案第6页，共12页

【详解】(1)证明：:一=机2—4(加—2)=机2—4根+8=(加-2)2+4,

又(租-2)2>0,

AA>0,

・•・对于任意实数加，方程总有两个不相等的实数根；

(2)西一玉=2,

2

(玉+x2)-4^X2=4,

*.*xx+x2=-m,xxx2=m-2,

m2—4(根—2)=4,

m2—4m+4=0，

工州=叫=2.

/.m=2.

19.⑴配方

(2)见解析

【分析】本题主要考查了解一元二次方程的方法：配方法、因式分解法；熟练掌握一元二次

方程的解法是解决问题的关键.

(1)根据题意容易得出结论；

(2)利用因式分解法解该方程即可.

【详解】(1)解：根据解方程的方法得：这位同学用配方法解方程，

故答案为：配方；

(2)解：X2-2X-99=0,

因式分解,得：(x-H)(x+9)=0,

x-l=0或x+9=0,

解得士=11,x2=-9.

20.见解析

【详解】试题分析：应用二次根式的性质对二次根式变形，首先应注意变形的规律.

答案第7页，共12页

验证：1(11/1=/n+l1I”+1.

'Vnn+\n+2yn(n+l)(n+2)yn(/t+l)2(n+2)n+1^n(n+2)

点睛：本题主要考查了二次根式的变形，二次根式的性质运用：。＞0时，J/=a；。＜0时,

V?=-a；a=0时，后=0.

21.(1)该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为20%

(2)能，该企业2023年的利润能超过3.4亿元，理由见详解

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，增长率的问题.以及实数的混合运算.

(1)设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为无，根据题意列方程，解方程即

可.

(2)由(1)得出平均增长率，然后计算2023年的利润，然后比较一下即可得出结论.

【详解】(1)解：解：设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为x,根据题意列

方程：

2(x+l)?=2.88

解得：西=0.2=20%,%=-2.2(不合题意，舍去)

/.x=20%

答：该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为20%

(2)能，理由：若2023年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2023年的利润为：

288x(1+20%)=3.456＞3.4

该企业2023年的利润能超过3.4亿元

22.(1)-=-；

CG2

⑵证明见解析.

答案第8页，共12页

4FADAD1

【分析】(1)证明ADE—,COG得到差=为，由PC=24?得到怒=：即可求解；

CGDCDC2

(2)由..ADEs-COG得到NGCD=NE4D,由对顶角NCWD=/WP,根据三角形内角

和定理即可求证；

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形内角和定理，掌握相似三角形的

判定和性质是解题的关键.

【详解】(1)解：在矩形ABCD和矩形DEPG中，ZGDE=ZADC=90°

Z.GDE+ZADG=ZADC+ZADG,

即/ADE=NGDC,

AB=2DG,

：.DC=2DG,

又'AD=2DE,

ADDCc

••一—2,

DEDG

ADDE

即nn——=——，

DCDG

:.AADESMDG,

,AEAD

••一，

CGDC

■:AD=DG,

：.DC=2AD,

・AD1

••一-，

DC2

.AEAD_1

'~CG~~DC~^

(2)证明：设AO与CG交于点M,

由（1）知ADEsCDG,

:.NGCD=NEAD,

又二ZCMD=ZAMP

答案第9页，共12页

ZCDMZAPM^90°,

即A£_LCG.

23.(1)见解析

⑵①见解析；②CM+DF=BF,证明见解析

【分析】(1)设8/与CO交于点G,根据三角形内角和定理，有ZGDF=180°-ZDFG-ZDGF,

ZGBC=180O-ZGCB-ZBGC,再证明NDFG=NGCB=90。，通过等量代换，即可证得

NFDC=NCBF.

(2)①按照题设要求作图即可；②过C作CNLCP交8尸于点N,证明△3NC04DPC,

得出△/CN是等腰直角三角形，运用同角的余角相等，证得△PCM是等腰直角三角形，

CM=FN,最后通过等量代换，证得CM+止=BR.

【详解】