2024年高考数学椭圆的应用问题讲义

椭圆的应用问题

一、单选题

1.如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月

球附近一点尸变轨进入以月球球心厂为一个焦点的椭圆轨道I绕

月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以产为一个焦点的椭圆

轨道n绕月飞行，若用2q和2c2分别表示椭圆轨道I和n的焦距,

用2q和2々分别表示椭圆轨道I和n的长轴长，给出下列式子：①

%_q=。2-。2；②+G=。2+。2；③；④<.中正确的

是（）

A.②③B.①④C.①③D.②④

2.设函数尸小）的图象由方程,+4=1确定，对于函数/⑴给

出下列命题：

Pi：Vxi，Ze氏，X]w々，恒有‘°；）_；（“）<o成立；

p2：y=的图象上存在一点尸，使得P到原点的距离小于虚；

片：对于VXTH,2/（x）+x>0恒成立；

则下列正确的是（）

A.《AgB.C.Y27P3D.S3

3.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一

个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射

光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共

焦点耳、B的椭圆「与双曲线Q构成，现一光线从左焦点耳发出，

依次经Q与「反射，又回到了点耳，历时4秒；若将装置中的。去

掉，如图②，此光线从点片发出，经「两次反射后又回到了点月，

历时今秒；若/2=甑，则「与Q的离心率之比为（）

图①图②

A.3:4B.2:3C.1:2D.1：72

4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.

嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历

发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工

作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再

入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦

娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月

点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的

椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约

为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）

A.0.32B.0.48C.0.68D.0.82

5.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨

道的离心率为e,设地球半径为凡该卫星近地点离地面的距离为

r,则该卫星远地点离地面的距离为（）

人1+e2e-1+ee八

A.--r+--RB.--r+--R

l-el-e1-e1-e

-1+e2«八1-een

C.--r+--RD.--F+；—R

1-e1+e1+e1+e

6.椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆

反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程

22

中不会衰减，椭圆的方程为?+q=l,则光线从椭圆一个焦点出

发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）

A.2B.4C.6D.8

7.已知水平地面上有一篮球，球的中心为。，在斜平行光线的照

射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心

22

O为原点，设椭圆的方程为?+]=1,篮球与地面的接触点为H,

则1。闭的长为（）

A.1B.V2C.|D.巫

223

8.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫

星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速

度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星

与地心的连线）在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴

长、焦距分别为2a,2c.某同学根据所学知识，得到下列结论：

①卫星向径的取值范围是GQ+c]

②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

其中正确的结论是（）

A.①②B.①③C.②④D.①③④

9.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的

光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆

的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为/+4/=4,其左、右

焦点分别是仆直线/与椭圆。切于点P,且1尸币=1,过点尸且

与直线/垂直的直线厂与椭圆长轴交于点则忸/口月叫=

切我..”I

A.42:43B.1：V2C.1:3D.1：6

10.仿照“。即de/血双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完

美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面.如图，底面半径为1的

圆柱内两个内切球球心距离为4,现用与两球都相切的平面截圆柱

所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为

二、多选题

11.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附

近一点P处变轨进入以月球球心产为一个焦点的椭圆轨道I绕月

飞行，之后卫星在尸点处第二次变轨进入仍以产为一个焦点的椭圆

轨道n绕月飞行，且轨道n的右顶点为轨道I的中心.设椭圆I与

n的长半轴长分别为火和电，半焦距分别为。和。2,离心率分别为

6和《2,则下列结论正确的是（）

A.9=。2+。2B.q+q>2（4+。2）

C.e2=2e「lD.椭圆n比椭圆I更扁

12.嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号

“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用

计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制

动（俗称“踩刹车”）后，以vkm/s的速度进入距离月球表面〃km的

环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为名

已知远月点到月球表面的最近距离为机km,则（）

A.圆形轨道的周长为（2mY）km

B.月球半径为

C.近月点与远月点的距离为+?卜m

D.椭圆轨道的离心率为％二

m+n

13.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经

椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放

置的椭圆形台球盘，点耳,B是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,

静放在点耳的小球（小球的半径不计），从点耳沿直线出发，经椭

圆壁反弹后第一次回到点E时，小球经过的路程可以是（）

A.4aB.4cC.2（a+c）D.2（a-c）

14.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心尸为一个焦点

的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地

面山千米，远地点5（离地面最远的点）距地面〃千米，并且RA、B

三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、

短轴长、焦距分别为2a、242c,则

A.a—c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+n

D.b=R)(n+R)

三、填空题

15.从椭圆的一个焦点片发出的光线射到椭圆上的点尸，反射后光

线经过椭圆的另一个焦点工，事实上，点P（的%）处的切线

22

将+答=1垂直于/用庄的角平分线，已知椭圆。:一+《=1的两个

ab43

焦点是耳，K,点尸是椭圆上除长轴端点外的任意一点，/耳尸区的

角平分线PT交椭圆C的长轴于点T（t,o）,则t的取值范围是

16.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其

对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口胡。是

椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点右上，片门位于另一个

焦点工上.由椭圆一个焦点6发出的光线，经过旋转椭圆面反射后

集中到另一个焦点工.已知耳巴，|耳Bug,|耳闻=4,则截口

6AC所在椭圆的离心率为.

B____

/।\

L.\\E

后尸2

射

D透明窗

镜

面

17.如图是数学豕GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得

到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放

两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，

设图中球3,球。2的半径分别为3和1,球心距离以匈=8,截面分

别与球球。2切于点E,F,（E,尸是截口椭圆的焦点），则此

椭圆的离心率等于.

参考答案

1.c

【分析】对于①，由I杯1建立联系；对于②，根据椭圆的性质及不等

式的可加性可以判断；对于③，对式子4-。=。2-。2先变形后就可以

对③④作出判断.

［解析］由6f=|即,«2-。2=附，得4-=。2-。2,故①符合题意;

由图可知4>。2,C1>C29+q>%+。2,故②不符合题意；

故④不符合题意，③符合题意.

C-4-i

故选:C.

【点评】解决本题的关键一是I。/I=%-。=。2-。2；二是对％-=。2-。2

的变形.

2.C

【分析】分类讨论去绝对值可得函数A*）的图象，根据图象以及椭圆

和双曲线的性质可得答案.

【解析】当记0,转。时，方程坐+,=1化为%：=1（x20,”。）表

示椭圆的一部分；

当x>0,y<0时，方程?1+竺=1化为（一二=1«>0»<0）表示双曲线

4242

的一部分;

当x<0,y>0时，方程如1+池=1化为M—£=i(x<0,y>0)表示双曲线

4224

的一部分；

所以函数丁=/(力的图象如图所示：

小Vxxe7?,x尸乙,恒有八?：；伍)〈0成立,等价于函数〃x)在

p2

R上为单调递减函数，由图可知，命题耳正确；

£：y=/(x)的图象上存在一点P,使得P到原点的距离小于行.

22

根据椭圆性质可知,椭圆?+]=1短轴端点(0,0)到原点的距离最小

为正，根据双曲线的性质可知，双曲线的顶点(2,0)到原点的距离的

最小为2,故函数y=/(x)的图象上不存在一点P,使得P到原点的距

离小行，命题2不正确；

P3：对于VxwH,2/(尤)+兀>0恒成立等价于对于\/九€H，

122

从图象可知，直线y=-1x的斜率大于双曲线=1的渐近线

>=一等》的斜率，所以直线y=—与曲线]—；=l(x>0,y<0)有交点,

故命题舄不正确.

所以A八旦、m、巴不正确，6正确.

故选：c

【点评】分类讨论去绝对值，作出方程?+寺=1所确定的图象，

利用图象求解是解题关键.

3.A

【分析】设闺闾=2%设椭圆「的长轴长为2%,双曲线Q的实轴长为2a

设光速为〜推导出q=2%，利用椭圆和双曲线的定义可得出今=g,

由此可计算得出「与Q的离心率之比.

【解析】设闺闾=2c,设椭圆「的长轴长为2%,双曲线Q的实轴长为2a°,

在图②中，e片的周长为

|C国+Q同+|CD|=|%|+|C闾+|D胤+1^1=46=%，

所以，4%=8%,可得％=2%,

在图①中，由双曲线的定义可得|9|-仙川=24,由椭圆的定义可得

忸周+忸阊=2%,

\AF2\=\BF2\-\AB\,则

IMHMH网-阿HM=2%-阿H阴=2%,

即2q-（|阴+.闻+.1）=2%

由题意可知，延石的周长为四I+IM+囱|=%,即

2a2=2ai-vtl=2ai-^=^-,

所以，£=2

因此，「与Q的离心率之比为69=£：£=%：%=3:4.

故选：A.

【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得C的值，根据离心

率的定义求解离心率e的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于。。的齐次方程，然后转化为

关于，的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

4.C

【分析】由题意可知=200+1740,a+c=8600+1740,求出a，。的值，

从而可求出椭圆的离心率

【…解…析】由赵忌侍［a+cc==280600+01+7147040）解侍［［ac==64124000,

所以离心率鬻皿68,

故选：C

5.A

【分析】画出题意画出图形，结合题设条件和椭圆的离心率，求出椭

圆的长半轴和半焦距，进而求得卫星远地点离地面的距离.

【解析】由题意，椭圆的离心率e=£e（0,l）,Q为半焦距；a为长半

a

轴）

地球半径为凡卫星近地点离地面的距离为广，可得a-c=R+r

联立方程组。=鲁0,

1—e1—e

如图所示，设卫星近地点的距离为加，远地点的距离为仆

所以远地点离地面的距离为〃=a+c-氏=3+詈e-R=pr+汽

1—e1—e1-e1-e

故选：A.

【点评】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质的应用，其中解答中

结合椭圆的几何性质求得椭圆的长半轴和半焦距是解答的关键，着重

考查推理与运算能力.

6.B

［分析］先根据椭圆的标准方程求出a=2,c=1，再根据光线路径分三

种情况讨论即可得出结果.

【解析】解：由题意可得£?=4,/?2=3,。2=储_62=］,

所以a=2,c=l.

①若光线从椭圆一个焦点沿％轴方向出发到长轴端点（较近的）再反射,

则所经过的路程为2（。-c）=2,

②若光线从椭圆一个焦点沿x轴方向出发到长轴端点（较远的）再反射,

则所经过的路程为2（a+c）=6.

③若光线从椭圆一个焦点沿非x轴方向出发，

则所经过的路程为4a=8

故选:B

【点评】本题考查椭圆的基本性质，考查椭圆的反光镜问题，考查长半

轴与半焦距之间的基本关系，属于中档题.

7.B

【分析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心

到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是“，

得到一个直角三角形，可得要求的结果.

【解析】在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，

由图NO'AB+AOBA=g(NA'AB+NBBA)=gx180°=90°

AAOB=90",由。是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半

轴，

过球心向地面做垂线，垂足是

在构成的直角三角形中，OO2=OH2+OH2,

:.OH=ylcr-b2=74^2=^,

故选：B.

【点评】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看

清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量.

8.B

【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值

分别为什么；

②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论;

③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断

④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地

点时最小.

【解析】如图所示，

对于①，卫星向径的最小值为IA片1=。-。，最大值为l4EI="+c,二①正

确；

〃一c_12c_12

对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为大大可，

C

22

£越小，“就越大，1一项就越小，椭圆轨道越扁，，②错误；

ec

对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的

运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，，③正确；

对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，二④错误；

综上，正确结论的序号是①③，共2个.

故选B.

【点评】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解,

属于基础题.

9.C

【解析】由椭圆的光学性质得到直线/‘平分角耳2耳，因为

S9」片叫「府年枷4pM」明

SFMPF

PMF2\1\^\F2P\\PM\sinZF2PM\2\

由阀|=1,附|+|9|=4得到|尸局=3,故忸叫匡叫=1:3.

故答案为C.

10.D

【分析】画出图形的轴截面图，则8为椭圆的长轴，圆柱的底面直

径为椭圆的短轴，

利用直角三角形的边角关系计算可得.

【解析】画出图形的轴截面如图所示：

则。为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴;

依题意AB=4,CG=2,AE=BF=1,

则AO=gAB=2

...clAE1

sin//AOF-——

AO2

:.ZAOE=30°

.-.ZGCO=60°

CG1

在Rt'CDG中有cos/GCO==~

..CD=4

即椭圆中，2Q=4,2b=2

a=2,b=l

c2=a2-b2

c=5/3

cA/3

.,.e=—=——

a2

故选：D

【点评】本题考查了圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角

关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.

11.ABC

【分析】根据已知条件得出％=2%,附=%一G=，2—c?,结合离心率

公式可判断各选项的正误.

【解析】由于轨道n的右顶点为轨道I的中心，则4=2%,且

|PF|=q-C]=a2-c2.

对于A选项，2a2-q=-,..q=a?+。2,A选项正确；

22),

对于B选项，4=2%,cx=a2+c2>2C25/.q+q>2%+2c=2(4+。B

选项正确；

I一、HG+2Q+211E

e=

对于C选项，q=«2+c2,■-i-=一八一=9z7=5+5，即26=62+1,

所以，e2=2e-l,C选项正确；

对于D选项，e?=26]-1=(4-1)+6<耳，所以，椭圆II比椭圆I更圆，

D选项错误.

故选：ABC.

【点评】解决本题的关键在于以下两点：

(1)推导出。1=2。2,ai~Cl~a2~C2,并结合椭圆禺心率的取值范围为

(0,1)求解；

(2)对于椭圆，离心率越大，椭圆越扁.

12.BC

【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.

【解析】由题，以vkm/s的速度进入距离月球表面“km的环月圆形轨

道，环绕周期为5则可得环绕的圆形轨道周长为近km,半径为在km,

故A错误；

则月球半径为故B正确；

则近月点与远月点的距离为，"号-jkm,故C正确；

22

设椭圆方程为三+2=1,则〃?+我="+。，"+火=4-。(人为月球的半径)，

ab

:,2a=m+n+2R,2c=m—n,故离心率为「门故D错误.

m+n+2R

故选：BC.

【点评】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义.

13.ACD

【分析】先由题意，不妨令椭圆的焦点在工轴上，分三种情况讨论：

(1)球从月沿X轴向左直线运动；(2)球从耳沿X轴向右直线运动；

(3)球从《不沿x轴，斜向上(或向下)运动；根据椭圆的性质，以

及椭圆的定义，即可分别得出结果.

【解析】由题意，不妨令椭圆的焦点在X轴上，以下分为三种情况：

（1）球从耳沿X轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，

这时第一次回到月路程是2（。-C）;

（2）球从片沿％轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，

这时第一次回到耳路程是2（。+。）;

（3）球从月不沿％轴，斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点C,

反弹后经过椭圆的另一个焦点工，再弹到椭圆上一点，经。反弹后

经过点忆

此时小球经过的路程是|C4|+|C闾+|。闾+|必|=4/

综上所述，从点月沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点耳时，

小球经过的路程是4。或2（a+c）或2（a-c）.

故选：ACD.

【点评】

求解本题的关键在于对椭圆定义和性质的理解，根据椭圆的光学性质,

当光线不沿焦点所在直线出发时，从一个焦点出发，经过反射后必过

另一焦点；由此即可求解.

14.ABD

rr?—Z7—「一R

【分析】根据条件数形结合可知,R,然后变形后，逐一分析

n=a+c-R

选项，得到正确答案.

【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，

m-a-c-R,、

并且根据图象可得(*)

n-a+c-R5

：.a—c=m+R,故A正确；

a-\-c=n+R,故B正确；

(*)两式相力口m+〃=2a-2R,可得2a=m+7z+2H,故C不正确；

由(*)可得，两式相乘可得(帆+R)("+R)=〃-

a2—c2=b1,

=(m+R)(n+R)=>b=Q(m+R)(n+R),故D正确.

故选ABD

【点评】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括,

化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变

形化简.

【分析】利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为-1,即可

求解.

【解析】由题意，椭圆C在点P(的为)处的切线为+等=1,且/e(-2,2),

ab

所以切线的斜率为-含,而角4产2的角平分线的斜率为一］,

4yo