基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 高频考点-精练（解析版）2024年高考数学一轮复习（艺考生基础版）

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（精练）

A夯实基础

一、单选题

1.（2022•宁夏・平罗中学高二阶段练习（理））下列说法正确的是（）

A.用一平面去截圆台，截面一定是圆面

B.在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线

C.圆台的任意两条母线延长后相交于同一点

D.圆锥的母线可能平行

【答案】C

【详解】对于A,当平面沿轴截圆台时，截面为等腰梯形，故A错误；

对于B,旋转的直角梯形不垂直于底的腰叫做圆台的母线，故B错误；

对于C,由于圆台可由一个平行于底面的平面截圆锥所得，故C正确；故D错误；

故选：C.

2.（2022•辽宁营口•高二开学考试）如图，水平放置的一ABC的斜二测直观图是图中的VAF。,

若A'C'=2,A8=2,则ABC的面积为（）

V’

【答案】B

【详解】在VA'B'C中,由A'B'2=C'A'2+C'B'--IC'AC'B'-cos

4

得4=4+C'B'2-2在C'B',

所以Cb=2应，则底=4上，

由斜二测直观图可推出ABC中，AC±BC,AC=A'C'=2,

故.ABC的面积为=X2X40=4VL

2

故选：B

3.（2022•全国•高一课时练习）若一个正方体的体对角线长为m则这个正方体的全面积为

（）

A.2a2B.2缶2C.2百/D.342a2

【答案】A

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【详解】解：设正方体的棱长为尤，则瓜=4,即

所以正方体的全面积为6/=6xg/=2/.

故选：A

4.（2022・辽宁实验中学高二开学考试）圆台的上、下底面的面积分别是兀，4兀，侧面积是

6兀，则这个圆台的体积是（）

A2指_7A/3n7百

A.---7iBR.21\/R3兀CR.---7lD•---7l

363

【答案】D

【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,母线长为/,高为瓦，

由圆台的上、下底面的面积分别是兀，4K,得，所以r=l,R=2,

[TTR-=4",

由圆台侧面积公式可得兀X（2+1）/=6TI,所以/=2,

所以/=商—但—以=书,

所以该圆台的体积

V=17i/z（Z?2+r2+7?r）=17iX5/3x（4+l+2）=^7r.

故选：D.

5.（2022•重庆・酉阳土家族苗族自治县第三中学校高一阶段练习）若一个圆锥的底面半径为

1,母线长为2近，则圆锥的体积是（）

A.yB.qC.岳D.3同

【答案】C

【详解】因为圆锥的底面半径为L母线长为26，

所以圆锥的高为h=7（2A/7）2-12=3A/3，

所以圆锥的体积为」5/7=匕万*12X3石=耳',

33

故选：C

6.（2022•河高二阶段练习）如图，三棱锥ABC各棱的棱长均为G，

点。是棱的中点，点E在棱OC上的动点，则。E的最小值为（）

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c

A.—B.—C.立D.1

222

【答案】B

根据题意，在△OOC中，当时，即E为OC的中点时，OE取到最小值,

连结C2OD,易得△OOC为等腰三角形，CD=，,CE力,由勾股定理，

22

得DE2=CD2-CE"解得=则|DE|的最小值为也.故A,C,D错误.

2112

故选：B.

7.(2022•陕西•西乡县教学研究室一模(文))据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为

底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个"阳马"，底面A8CZ),底面A8CD是矩形，

且E4=5,AB=4,BC=3,则这个"阳马"的外接球表面积为()

A.5兀B.200兀C.50兀D.100%

【答案】C

【详解】把四棱锥尸-ABCD补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四

棱锥P-ABCD的外接球直径，

设球半径为R,则(2R)2=PA2+AB2+BC2=5O,

球表面积为S=4兀代=son.

故选：C.

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8.（2022・山东•临沂二十四中高一阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱

CE1

AA尸8.若侧面AA/B/B水平放置时，液面恰好过AC,BC,AiC/fBiCi的三等分点处，——,

1CE1

当底面ABC水平放置时，液面高度为以此时液体体积％=因为弁=£,所以

3CAJ

SCEF--SA/-%月_64Q

飞-gUABFE-g°CAB,%=飞、ABFE，*=可、CABf

i6464

所以％=]SCAB•八力5侬，解得力二可.

故选：A.

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二、多选题

9.（2022•山东泰安,高一期中）如图长方体ABC。-A旦G2被一个平面截成两个几何体,

其中EF//4G//BC,贝U（）

A.几何体ABCD-\EFDX是一个六面体

B.几何体ABCD-AEFQ是一个四棱台

C.几何体A4E5-O£>FC是一个四棱柱

D.几何体BqE-CC/是一个三棱柱

【答案】ACD

【详解】解：在长方体ABCO-ABCD中，EFI/B^/IBC,EB\IIFC\,所以E尸=8C，

因为有六个面，所以几何体AB。-AEFR是一个六面体，故A正确；

因为胡，所以侧棱的延长线不能交于一点,故ABCD-A.EFD,不是四棱台，故B错误；

因为几何体A\EB-DD.FC的侧棱平行且相等，四边形AAXEB与四边形DD.FC是平行且全

等的四边形，

所以几何体胡防-。。尸C为四棱柱，

同理几何体BBiE-CC逮是一个三棱柱，故C、D正确；

故选：ACD

10.（2022•云南•高三阶段练习）"堑堵""阳马"和"鳖席""是我国古代对一些特殊几何体的称

谓.《九章算术・商功》："斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖席”.一个

长方体沿对角面斜解（图1）,得到一模一样的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶

点和相对的棱斜解（图2）,得一个四棱锥称为阳马（图3）,一个三棱锥称为鳖席（图4）.

若长方体的体积为V,由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖腌的体积分别为匕匕，匕,

则下列选项正确的是（）

A.K+%+K=VB.V,=2V2

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C.匕=2匕D.匕=?v

【答案】ACD

【详解】由题意，堑堵的体积耳=（V，阳马的体积匕=V（,瞥席的体积匕V

236

故选：ACD

三、填空题

11.（2022・湖北•高一期末）我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为

刍童，关于"刍童"的体积计算日："倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之•各以其广乘之，

并，以高乘之，六而一•"其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底

面的宽相乘;将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘;把这两个数值相

加，与高相乘，再取其六分之一•已知一个"刍童"的下底面是长为6,宽为4的矩形，上底面

是长为3,宽为2的矩形，"刍童"的高为3,则该"刍童"的体积为.

【答案】42

【详解】由题意可知，"刍童"的体积丫=（x3x[（3x2+6）x2+（6x2+3）x4]=42,

则该"刍童"的体积为42.

故答案为：42

12.（2022•全国•高三专题练习）在矩形ABC。中，AB=2AD=12,点E,尸分别是

CO的中点，沿所将四边形AEED折起，使/AEB=60。，若折起后点A,B,C,D,E,

尸都在球。的表面上，则球。的表面积为

【答案】84兀

【详解】解：因为矩形ABC。中，AB=2AD=12,点E,歹分别是AB,8的中点，

所以四边形AER9和四边形EFCF是正方形，

又沿EF将四边形AEFD折起，使ZAEB=60°,

所以几何体AE3-DbC是正三棱柱，AD=6,

设球。的球心0在底面DFC的射影为G,因止匕GO=；AO=；x6=3,

显然G是等边三角形DFC的中心，

FG=-FH=~^DF--DH2=-J62-（-X6）2=-x3>/3=2^,

333Y23

在直角三角形G中，OF=y/OG2+FH2=^32+（2A/3）2=0T,

所以球。的表面积为4兀•。产=84%，

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AB

故答案为：84兀

四、解答题（共0分）

13.（2022•全国•高一单元测试）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方

便，适于牧业生产和游牧生活.如图1,一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合.

如图2,已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.

图1图2

⑴求该蒙古包的侧面积；

⑵求该蒙古包的体积.

【答案】⑴（3•兀+18兀）平方米

（2）3371（立方米）.

（1

由题意可知8C=OE=3米，AE=2米，BE=3米，

则AD="+2?=屈（米）.

圆锥的侧面积岳=：x2无（平方米），

圆柱的侧面积邑=2兀•BCBE=2TIX3X3=18无（平方米），

故该蒙古包的侧面积S=SX+S2=（3A/13TI+18^）平方米.

（2

圆锥的体积匕=g兀♦£»E2.&E=g兀X32X2=6TI（立方米），

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圆柱的体积匕=无一国安，班=兀*32><3=27无（立方米），

故该蒙古包的体积丫=乂+匕=6兀+27兀=33兀（立方米）.

14.（2022•安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）如图，已知圆锥的底面半径为4,母线长

为8,尸为母线弱的中点.

（1）求圆锥的表面积和体积；

（2）若A3为底面直径，求沿圆锥表面，点尸到点3的最短距离.

【答案】⑴48兀，处昼

3

（2）475

（1）（1）••・圆锥的底面半径为4,母线长为8,

/.S表面积=7cx42+7ix4x8=48兀.

由SO2+AO2="2,解得SO=4JL

•••圆锥的体积为V=工兀X4~4^=电羽.

33

（2）（2）沿着母线S3,把圆锥的侧面展开，如图所示，

Ojrx4

设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为6,则，=n，

O

JT

ZBSP=~,SB=8,SP=4,

2

圆锥面上P点到2点的最短距离为Js笈+Sp=，8?+42=4A疗.

B能力提升

15.（2022・全国•高一课时练习）如图，在IABC中，ZACB=90,ZABC=30,BC=6，

在三角形内挖去一个半圆，圆心。在边3C上，半圆与AC,分别相切于点与BC交

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于另一点N,将ABC绕直线8c旋转一周得到一个旋转体.

A

⑴求该旋转体中间空心球的表面积的大小；

(2)求图中阴影部分绕直线8C旋转一周所得旋转体的体积.

【答案】(1号47r

(2)——

27

(1)

连接O"，QAB为半圆的切线，.\OM.LAB,

A

设。N=贝IJO5=6—r，

.•.sinZMBO=-^—=!,解得：厂=¥，，S球而=4万产=?•

(2)

ZACB=90,ZABC=30,8c=5:.AC=1,

将阴影部分绕直线8C旋转一周得到一个圆锥，里面挖去一个内切球,

所求体积丫=嗫铢一%=：7xAC^xBC—"xg—g"xf=挈万