2022年江苏省盐城市高考数学二模试卷(二模)含解析

2022年江苏省盐城市高考数学二模试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合A=｛尤|y=/w（x-2））,8=｛彳|7-4尤+3忘0｝,则（）

A.[1,3]B.（2,3]C.[1,+8）D.（2,+°0）

2.若（2+i）z=i,其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

TT―T―T

3.已知a,b为单位向量.若|a-2bl=岔，则|a+26|=（）

A.V3B.V5C.V7D.5

4.利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°〜90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角

函数值又可以通过查三角函数表得到.如表为部分锐角的正弦值，则tanl600°的值为（）（小数点后

保留2位有效数字）

(X10°20°30°40°50°60°70°80°

sina0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848

A.-0.42B.-0.36C.0.36D.0.42

5.已知圆锥的顶点和底面圆周均在球。的球面上.若该圆锥的底面半径为2次，高为6,则球。的表面

积为（）

A.32nB.48nC.64nD.80TT

6.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为P

（X=8入（Z=0,1,2,-）,其中e为自然对数的底数，入是泊松分布的均值.已知某种商品每周

销售的件数相互独立，且服从参数为入（入＞0）的泊松分布.若每周销售1件该商品与每周销售2件该商

品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（）

Xv

7.已知椭圆C：-+^-=1（a>b>0）的左焦点为E右顶点为A,上顶点为8,过点P与x轴垂直的

azbz

直线与直线AB交于点P.若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（）

V7-1V7-1V5-1V5-1

A.B.C.D.

2323

8.已知实数a,be(1,+8),且2(a+6)^e2a+2lnb+l,e为自然对数的底数，则()

A.\<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD.ea<b<e2a

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡

村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年〜2021年某市城镇居民、农村居民

年人均可支配收入比上年增长率如图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（）

0-----------------------------------------------------------------

20172018201920202021

—•—城镇居民人均可支配收入比上年增长率（％）

---农村居民人均可支配收入比上年增长率（％）

A.该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民

B.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大

C.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大

D.2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升

10.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过原点。的动直线/交抛物线于另一点P,交抛物线的准线于点Q,

下列说法正确的是（）

A.若。为线段中点，则尸尸=2

B.若尸尸=4,贝。尸=2萌

C.存在直线/,使得PBLQB

D.△PF。面积的最小值为2

11.设函数/(无)=2sin(3x+^),3>0,下列说法正确的是()

A.当3=2时，f(x)的图象关于直线刀=需对称

B.当3另时，/(X)在［0,自上是增函数

C.若/(X)在［0,用上的最小值为-2,则3的取值范围为325

D.若/(X)在［-TT,0］上恰有2个零点，则3的取值范围为32g

12.在四棱锥尸-A8CD中，底面ABC。是边长为2的正方形，巩_L平面48C。，且必=2.若点E,F,

G分别为棱A3,AD,PC的中点，则()

A.AG_L平面尸8。

71

B.直线/G和直线A8所成的角为一

4

C.当点T在平面PBD内，且7A+TG=2时，点T的轨迹为一个椭圆

D.过点E,F,G的平面与四棱锥P-ABC。表面交线的周长为2位+旄

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.实数a,b满足lga+lgb=lg(a+2b),则仍的最小值为.

14.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，

深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展

示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为.(用数字作

答)

15.己知定义在R上的奇函数/(%)满足了(1-x)+f(1+x)=2,当尤曰0,1］时，f(x)=2x-/,若

f(x)对一切无6R恒成立，则实数6的最大值为.

16.某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为20c相的小球放在圆弧

上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差力为8c处

则圆弧的半径为cm.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在平面四边形A3CD中，已知NA8C="，ZADC^AC平分NA4D

36

(1)若/区4。=号，AC=2,求四边形ABC。的面积；

(2)若CD=2WAB,求tan/BAC的值.

k

18.(12分)已知数列｛劭｝,当阳2卜1,呼)时,an=2,18N*.记数列｛斯｝的前w项和为防.

(1)求〃2,420；

(2)求使得SV2022成立的正整数〃的最大值.

19.(12分)如图，在四棱锥尸中，四边形ABC。是边长为2的菱形，8是边长为2的等边

三角形，PDLAB,PD=V6.

(1)求证：平面B48_L平面A8CD；

(2)求平面B4B和平面PC。所成锐二面角的大小.

20.（12分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p现对该

产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为

试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为。（。>0）元.

（1）①写出X的分布列；

②证明：E（X）<-

（2）某公司意向投资该产品.若p=0.25,且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理

由.

21.(12分)双曲线C：—=1(a>0,b>0))经过点(8，1),且渐近线方程为y=±x.

(1)求a,b的值；

(2)点A,B,。是双曲线C上不同的三点，且2,。两点关于y轴对称，△A3。的外接圆经过原点。求

证：直线AB与圆/+y2=l相切.

22.(12分)设函数/(x)=a"+sinr-3尤-2,e为自然对数的底数，aeR.

(1)若aWO,求证：函数/(无)有唯一的零点；

(2)若函数/(x)有唯一的零点，求°的取值范围.

2022年江苏省盐城市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

1.已知集合4=口,=历(%-2)),8={兄/-4尤+3<0},则AUB=()

A.[1,3]B.(2,3]C.[1,+8)D.(2,+°0)

解:集合A={x|y=/〃(.x-2)]—[x\x>2),

B={4?-4尤+3W0}={x|lWxW3},

则AU2={4x21}.

故选：C.

2.若(2+z)z=i,其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：(2+z)z=i,

._i_i(2-i)_12.

''z~2+l~(2+i)(2-i)-5+5l)

复数z在复平面内对应的点(:，|)位于第一象限.

故选：A.

3.已知a,b为单位向量.若|a—2b|=*，则|a+26|=()

A.V3B.V5C.V7D.5

解:因为丘一26|=花，所以-4”b+4庐=5,解得益b=0,

)—>—―—>—>

所以|a+2b『=a2+4a*b+4b2=l+4=5,

TT

所以|a+2b|=V5.

故选：B.

4.利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°〜90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角

函数值又可以通过查三角函数表得到.如表为部分锐角的正弦值，则tanl600°的值为()(小数点

后保留2位有效数字)

a10°20°30°40°50°60°70°80°

sina0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848

A.-0.42B.-0.36C.0.36D.0.42

解：嘉=—半券=—建矢；级・

tanl600°=tan(4X360°+160°)=tanl60°=-tan20°=—cos20°sm70°0.9397—0.36

故选：B.

5.己知圆锥的顶点和底面圆周均在球。的球面上.若该圆锥的底面半径为2次，高为6,则球。的表面

积为()

A.32TTB.48TTC.64TTD.80TT

解：设球的半径为R,

因为该圆锥的底面半径为2次，高为6,

所以R2=(2百/+(6—R)2,解得R=4.

故S以=4•7T-42=647r.

故选：C.

6.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为P

(X=k)=备/入(％=0,1,2,­••),其中e为自然对数的底数，入是泊松分布的均值.已知某种商品

每周销售的件数相互独立，且服从参数为入(入>0)的泊松分布.若每周销售1件该商品与每周销售2

件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为()

2468

A.-B.-C.-D.-

e4e4e4e4

解：由题意可得，P(X=l)=尸(X=2),即=—P解得入=2,

eA2eA

故/(X=k)=Q-2,

*2°1//2

P(X=o)=瓦e-2=^2，P(X=l)=yi-e-2=aP(X=2)=-^e-2=苕,

故两周销售2件的概率P=6•残|+废白2=*

故选：D.

%2y2

7.已知椭圆C：—+—=1(«>&>0)的左焦点为R右顶点为A,上顶点为8,过点尸与x轴垂直的

azbz

直线与直线AB交于点P.若线段。尸的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为()

V7-1V7-1V5-1V5-1

A.-------B.-------c.-----D.-------

2323

解：根据题意可得尸(-c,0),

过点/作无轴的垂线，则垂线的方程为x=-c,

又因为A(a,0),B(0,b),

所以直线AB的方程为y-b=-务,

联立卜一=一乳

1%二—C

』be

得P(-c,—+/?),

a

~.cab+bc

所以。P中点为F，M),

又中点在椭圆上,

C2匕2(a+c)2

所以务+干

=1,

〜,c2a2+2ac+c2

所以4az+---4la~zz--=L

所以C2+4Z2+2«C+C2=4〃2,

所以2c2+2〃C=3〃2,

所以2e2+2e-3=0,

所以6=与1或6=考土(舍去)，

故选：A.

8.已知实数〃，be(1,+8),且2(〃+/?)=/。+2/泌+1,e为自然对数的底数，则()

A.l<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD.ea<b<e2a

解：实数〃，比(1,+8),且2(。+人)=e2"+2加b+1,变形为2b-2历匕=62〃-24+1,

令u(x)-x-1,xE.(0,+8),

则/(x)1>0,J函数〃(x)在在(0,+8)上单调递增,

w(x)=/-x-\>u(0)=0,即/-x-l>0.

①令/(x)=/-x+l,/(2〃)=ela-2tz+l；

令h(x)=2/-2x,h(Inb)=2elnb-2lnb=2b-2lnb,

x>1时，h(x)-f(x)-x-l>0,

：.h(x)>f(x),当/(2〃)=h(Inb)时，2a>lnb,即bv/".

②令m(x)=e1x-2x+l,m(〃)=ela-2«+l；

令h(x)=2/-2x,h(Inb)=2elnb-2lnb=2b-llnb,

x>\时，m(x)-f(x)=白-2/+l=(/-1)2>0,

.*./z(x)<m(%),

当m(a)=h(Inb)时，a<lnb,即e"Vb.

综上，可得/V匕

每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡

村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年〜2021年某市城镇居民、农村

居民年人均可支配收入比上年增长率如图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是()

0-------------------------------------------------------------

20172018201920202021

―•—城镇居民人均可支配收入比上年增长率(％)

一♦一农村居民人均可支配收入比上年增长率(％)

A.该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民

B.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大

C.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大

D.2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升

解：由增长率高，推导不出来收入高，故A错误；

由表中数据，可知城镇居民相关数据极差较大，故8正确；

由表中数据，可知农村居民相关数制中位数较大，故C正确；

由表中数据，可知增长率为正，故。正确.

故选：BCD.

10.已知抛物线y=©的焦点为F,过原点O的动直线/交抛物线于另一点P,交抛物线的准线于点Q,

下列说法正确的是()

A.若O为线段中点，贝iJPF=2

B.若勿'=4,贝！]OP=2萌

C.存在直线/,使得尸

D.△尸尸。面积的最小值为2

解：抛物线/=©的准线为尤=-1,焦点F(1,0),

若。为P。中点，所以4=1,所以|尸尸|=4+1=2,故A正确；

若[Pf]=4,则有=4-1=3,所以|。尸|=J孙2+、p2=J孙2+4孙=网,故B错误；

设尸(a2,2a),贝IQ(-1,所以"=(a2-1,2a),QF=(2,-),

-aa

所以FP・QF=2/-2+4=2/+2>0,所以尸尸与尸。不垂直，故C错误；

11211

S^PFQ=^\OF]-\yp-y\=^XlX\2a+=-\=\a\+-^>2,当且仅当⑷=告,即。=±1时取等号,

乙乙QCvICvIICvI

所以△尸尸。面积的最小值为2,故O正确.

故选：AD.

11.设函数/(%)=2sin(a)x+与)，a)>0,下列说法正确的是(

A.当3=2时，f(x)的图象关于直线％=雪对称

B.当3=4时，f(x)在［0,卞上是增函数

C.若/⑴在［0,TT］上的最小值为-2,则3的取值范围为O)>I

D.若/(X)在［-TT,0］上恰有2个零点，则3的取值范围为32g

解：对于函数/(x)=2sin(o)x+"a)>0,

当o)=2时，令1=金，求得/(x)=2,为最大值，

故/(x)的图象关于直线％=金对称，故A正确；

1-TTTC7TCTC

当3=2时，3%+可€弓，—bf(X)在［0,鼻］上不单调，故3错误；

若/(x)=sin(0)%+亨)在［0,川上的最小值为-2,

且3%+可€［，(1)71+京，

故有con+5>当，则0)>，，故C正确；

32o

若/(X)在［-TI,0］上恰有2个零点，且OU+翁［-所+百，卞,

47

则有-2ll<-3TT+可W-TT,则3的取值范围为［，故。错误，

故选：AC.

12.在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面A8CZ),且B4=2.若点E,F,

G分别为棱AB,AD,PC的中点，贝I］()

A.AG±¥ffiPBD

71

B.直线/G和直线AB所成的角为一

4

C.当点T在平面内，且TA+TG=2时，点T的轨迹为一个椭圆

D.过点E,F,G的平面与四棱锥尸-ABC。表面交线的周长为2或+逐

解：将该正四棱锥补成正方体，可知AG位于其体对角线上，

则AGL平面尸2D,故A正确；

设尸8中点为X,贝|PG〃A//,且=故B正确；

1/7A+TG=2,T在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，

又平面尸2。与其长轴垂直，.•.截面为圆，故C错误；

设平面EFG与PB,PD交于点M,N,连接PE,EC,PF,FC,EM,MG,GN,NF,

：E4=BC,AE=BE,/PAE=/CBE,AE4£^ACBE,

:.PE=CE,而PG=GC,故EG_LPC,同理FGJ_PC,

而尸GCEG=G,；.PC_L平面EBG,而EMu平面EBG,贝UPC_LEM,

ABCD,BCu平面ABC。，J.PAYBC,

\"BC1AB,PAHAB=A,PAB,

VEM±¥ffiPBC,而尸8u平面P8C,贝I]EM_LP8,

：.BM=EM=*BE=号,同理，FN=DN=

XPG=V3,PM=2近一孝=挈贝!|GAf=GN=苧，

而EF=酒=V2,

交线长为EF+EM+MG+GN+FN=2五+遥，故。正确.

故选：ABD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.实数a,6满足/ga+/gb=/g(a+2b),则ab的最小值为8.

解：由题意得，lgab—lg(a+26),a>0,b>0,

所以ab=a+2b2272ab,当且仅当a=26时取等号，此时6=2,a=4,

解得,a心8,即M的最小值为8.

故答案为：8.

14.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，

深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物

展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为144.(用

数字作答)

解：根据题意，“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，

先排3个不同造型的“雪容融”，

再将4个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中，

有北房=144种排法.

故答案为：144.

15.己知定义在R上的奇函数/(%)满足了(1-x)+f(1+x)=2,当尤曰0,1］时，f(x)=2X-7,若/

(x)2x+6对一切XCR恒成立，则实数b的最大值为-1.

解：因为/(1+x)=2,

所以/G)的图象关于(1,1)中心对称，

当xE［-1,0］时，f(%)=-/(-%)=7+2x,

故/(x)的图象如图所示：

结合图象，可知只需当在［-1,0］时，/(x)=%2+2%》1+/?即可，

即一;，故人工一.，

所以b的最大值为

故答案为：-

16.某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为20cM的小球放在圆弧

上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差h为

8cm,则圆弧的半径为120cm.

解：如图所示，设圆弧圆心为。，半径为R,三个小球的球心自左至右分别为O1,02,03,

设/。1。。3=48,由题意可知，sin。=/埠=及：,0,

且h=02M-20=02M-0]N=02P=002-OO】cos2。=(R-20)一(R-2O)cos20=2(R-

20)sin26,

即2(R-20)sin29=8,

所以2(R—20)(言/2=8,解得R=120,

故答案为：120.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）在平面四边形ABC。中，已知/A8C=竽,ZADC=AC平分/BAD

（1）若NBA。*,AC=2,求四边形ABC。的面积;

(2)若CD=2WAB,求tanNA4C的值.

177-QTT

解：(1)ZDAC=ZBAC=^BAD^^,则"="=2,4CD=百

ABAC7

在△ABC中，由正弦定理可知，,则力Bn

sinZ-ACBsin乙ABC7T

i2i1网4H

则&BCQ=SABC+SACD=2XJ^X^X2^2X^X^X~2=

ABAC

（2）设N8AC=NZMC=a,在△ABC中，由正弦定理可知・

sinZ-ACBsinZ-ABC"

ABAC„AB2n

即嬴/=斯'即就=7^s讥a），

CDAC

在△AC。中，由正弦定理可知，即

sinZ.DACsinZ-ADC"

2mABAC2V3AB皿n

即」———j—,即an------二2sina,贝U2s讥(可一a)=sina,

sina

2

遮

2(—cosa—^sina)=sina,

2

V3cosa=2sina,

解得tcma=苧.

k

18.（12分）已知数列｛即｝,当〃丘[2-1,2*）时,an=2,依N*.记数列｛珈｝的前〃项和为S”.

(1)求〃2,420；

（2）求使得%V2022成立的正整数〃的最大值.

解：（1）因当"6[2y1,2后）时，an=2卜,k6N*,

而2c[22-1,22）,则02=22=4,

又20H25-1,25）,则。20=25=32,

所以〃2=4,Q20=32；

(2)因当几日2Q1,2氏)时，an=2卜,kEN*,

当几日20,21)时，的=21,

22

当尤[2L2）时，a2=a3=2,

当nG[22,23）时,a=a3

45…=a7=2,

344

当HG[2,2）时，a8=a9=…=a15=2,

455

当H£[2,2）时，a16=a17=…=a31—2,

56a6

当nE[2,2）时，a32=%3=…=63=2,

而S31=21+2X22+4x23+8X24+16X25=2+23+25+27+29=682,

又S63=21+2X22+4X23+8X24+16X25+32X26=2+23+25+27+29+211>2022,

则有品〈2022时，31<n<63,

66

由%=S31+(n-31)-2=682+(n-31)-2<2022得：

几<31+妥335=511步5，

1616

而KGN,于是得n»iax~511

所以使得Sn<2022成立的正整数n的最大值是51.

19.(12分)如图，在四棱锥中，四边形A8CD是边长为2的菱形，△丛8是边长为2的等边

三角形，PD±AB,PD=V6.

(1)求证：平面朋平面48CZ)；

(2)求平面E4B和平面PC。所成锐二面角的大小.

解：(1)证明：取A8的中点为连接PM,DM,

则在等边△必2中，PMLAB,

5L'：PD±AB,PMCPD=P,PM,PDu面PMD,

.•.A8_L平面PMD,:ATOu平面PMD,：.AB±MD,

又D4=AB=2,AM=1,：.ZDAB=60°,PM=DM=V3,PD=V6,

.,.PM2+W2=PZ)2,即尸M_LDM,

y,PMDAB=M,PM,ABu平面以8,平面BAB,

在平面ABC。上，.•.面力8_1面A8C£).

(2)以点M为坐标原点，MP为尤轴，AB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系,

则M(0,0,0),P(V3,0,0),D(0,0,V3),C(0,2,V3),

—>

由(1)知平面B4B的法向量为=(0,0,V3),

PC=(-V3,2,V3),PD=(-V3,0,V3),

设平面PCD的法向量薪(x,y,z),

'_>T

由,=-痔+伍=0,取E,得益=(1,0,1),

m-PC——V3x+2y+y[3z=0

设平面PAB和平面PCD所成锐二面角的平面角为6,

则平面PAB和平面PCD所成锐二面角的余弦值为

TT

COS0=-rz；——士

\MD\-\m\

n

平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小为丁

20.(12分)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p现对该

产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记

X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a(a>0)元.

(1)①写出X的分布列；

②证明：E(X)<-

（2）某公司意向投资该产品.若p=0.25,且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明

理由.

解：（1）①由题意可得，X=l,2,3,?10,

故P(X=k)=p(1-p)ki,k=l,2,?9,P(X=10)=(1-p)9

(1-p)S=(1-p)1+2(1-p)2+3(1-p)3+・+9(1-p)9,

,9

两式作差可得，pS=(1-p)°+(1-p)1+(1