湖北省十一校2024届高三年级下册第二次联考数学试题（解析版）

湖北省十一校2024届高三下学期第二次联考数学试题

一、选择题

1,已知集合/={^2+3尸1°<°},N={yly=G},则MN=(

A.[0,2)B,[1,2)C.[-5,2)D.(-5,2)

(答案XA

K解析X解不等式％2+3x—io<o得—5<x<2,所以"=(—5,2),

由7^120得"=[0,转).-.MN=[0,2)

故选：A.

2.已知i为虚数单位，复数z满足|z+2i|=|z|,则』的虚部为()

A.-1B.1C.iD.-i

[答案工B

k解析X设复数z=a+4,(a/eR),

因为|z+2i|=|z|，可得|a+(b+2)i|==+回,可得"+(6+2)2=4+/,

解得人=-1,所以复数1的虚部为—6=1.

故选：B.

(兀)=2,则sin2a=()

3.右tan1cif——

334_4

A.-B.——c.一D.

555

（答案》B

兀)tan^z-1

[[解析I由tan]"J]+tana-2,得tana=-3,

.入c.2sincifcoscif2tancif_3

••olll^Cxz—NSill(JLvOoCX—,

sincir+cosa1+tan2a5

故选：B.

4.已知向量,b，满足同=网=卜一可,贝!|0(a+》)=()

,1.21/\2\2

A.—CLB.-b2C.5(a+/?)D.

22

(答案』c

k解析U由同=|“=,一.，可得向量a,b的夹角为60°,

.,.“•人=3忖,

—2-•[+2♦-]-2]--3-2

:.a■(a+Z?)=tz+a■b=—a+a为H—b=—(a+b)-=—a

2222

故选：C

5.如图，A是平面a内一定点，8是平面a外一定点，且AB=40，直线A3与平面a

所成角为45。，设平面。内动点M到点A3的距离相等，则线段AM的长度的最小值为

()

A.4B.242C.2D.注

2

k答案XA

（解析》如图所示，因为点M到点A,3的距离相等，

可得动点M的轨迹是线段A3的中垂面与平面a的交线，

又因为AB=4夜，直线A3与平面e所成角为45。，

AB

AC2A

取A5的中点C,可得CM±AB,则线段40的最小值为AAM=-^=春=4.

sm45J2

故选：A.

6.（d+以一1）（1一同6的展开式中炉的系数是_2,则实数a的值为（）

A.0B.3C.-1D.-2

（答案』D

（解析?对（1一域,有Tk+l=C：（—域=（-1）"C"3

故（d+依—1）（1一%）6的展开式中好的系数为：

C：+a.（T）C+（-2c=1-6a-15=-2,即o=-2.

故选：D.

7.平面直角坐标系xOy中，已知点A（—a,0）,B（a,0）其中a>0,若圆

（尤—a+Ip+（y—a—2）2="上存在点尸满足总.网=36,则实数。的取值范围是（）

L11「1J「11n、

A.0,-B.-,1C.-,+coD.[l,^o）

[答案XD

K解析11设尸（x,y）,PAPB=3cr>则（x+a）（x—a）+y2=3a?,即f+9二船？，

即点P亦在圆/=4/上，圆心为（0,0）,半径z；=2a,

又点尸在圆（x-a+1）-+（y-a-2）~="上，圆心为（a-l,a+2）,半径々=a,

故两圆相交，即有|G—彳区—+（a+2『"+&,

+5»0

整理可得<ct~,+2a且a>0,解得a»l.故选：D.

[la2-2a-5>0

8.若对于任意正数x,丁，不等式Ml+li«）2Tny--恒成立，则实数。的取值范围是（）

L11「11D.：,+8

Ie」Lee

K答案UC

k解析U由不等式％（1+12）2入119一。）恒成立，且x>0,y>0,

分离参数得分Nx(lny—lnx)-x,所以aN±(lny_hu)_2,即

yyyxy

设r=2,得r2In'1,fe(O,+8),设g⑺二山才'fe(0,+oo),则a2g«)max-

Xtt

gV)=^—，由g'⑺=0得/=e2,当tw(0,e2)时,g'⑺>0,g⑺单调递增；当

fe(e2,+co)时，g'«)<0,g«)单调递减；

所以g«)max=^(e2)=-7-=4--

e~e

所以a2—.

e

故选：C.

二、选择题

9.若X〜N(100,L52),则下列说法正确的有()

p(x<100)=1

A.

B.E(X)=1.5

C.P(X<101.5)=P(X>98.5)

D.P(97<X<101.5)=P(98.5<X<103)

［答案］ACD

K解析工由XW00,1.52),可得期望为〃=100,方差为〃=1.52,

对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得P(X<100)=g,所以A正确;

对于B中，因为〃=100,即£(X)=100,所以B不正确；

对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得P(X<101.5)=P(X<98.5),所以C正确;

对于D中，由正态分布曲线的性质，可得P(97<X<10L5)=P(〃—2cr<X<〃+cr),

且尸(98.5<X<103)=尸(〃一cr<X<〃+2cr),

可得/(97<X<101.5)=P(98.5<X<103),所以D正确.故选：ACD.

10.如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n行n列(“2100),

%表示第i行第/列的数，比如％3=7,%4=21,贝U()

234567......

35791113......

4710131619......

5913172125......

61116212631......

71319253137......

................................................

A叼=50

B.数字65在这个数阵中出现的次数为8次

C.%=zxj+1

D.这个数阵中I个数的和

4

[答案』AC

K解析工对于A,C选项：第i行是以«+1)为首项，以i为公差的等差数列，

二羯二('+1)+(/—=+L所以%7=7x7+1=5。，故A,C正确；

对于B选项：%=1,j+1=65,/.i•/=64=2°x26=21x25=22x24

=23X23=24X22=25X2】=26x2°故共出现7次，故B错误；

对于D选项，令〃=1时，s="+DJ??=],而数阵中无i,故D错误；

44

故选：AC.

11.用平面£截圆柱面，圆柱的轴与平面a所成角记为。，当。为锐角时，圆柱面的截线是

一个椭圆.著名数学家。加加〃”创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小

相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于a的上方和下方，并且与圆柱面和a均相切.下列

结论中正确的有()

A.椭圆短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等

B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距OjQ相等

C.所得椭圆的离心率e=cos。

D.其中GQ2为椭圆长轴，R为球J半径，有R=AG『tan,

(答案1ABC

k解析》对A,B：过点尸作线段所，所分别与球。一。2切于点F、E，

由图可知，PFr尸工分别与球。-O?切于点耳、F],

故有卢玛+卢闾=|PF|+|PE|=|EF|=|aQ|,

由椭圆定义可知，该椭圆以耳、B为焦点，|°iQ|为长轴长，故B正确,

由与球。1切于点耳，故0匹，。片,

有|0用2=|00『_|04|2=a2-c2=b2,

即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确；

\OF\

对C:由题意可得，=NO。片，则e=—C=74=cos。，故C正确;

a

对D：由题意可得|AGJ=|EGJ,。=/0]0片=/40匹,

夫=回

,,3闺GjAGJ

，即e,故D错误.

2RRtan—

2

故选：ABC.

三、填空题

%+1,%<0

12.已知函数/'(%)=<,则关于x的不等式/(x)Wl的解集为

ln(x+l),x>0

K答案》(f,e-l］

K解析U当xWO时，f(x)=X+1<1X<0,：.x<0

当x>0时，/(x)=ln(x+l)<l,得—l<xWe—1,所以0<xWe-l,

综上：/(另忘1的解集为(—8匹—1］,

故K答案I为：(―8,e—1］.

13.在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,E,尸分别是3C,的中点，将四边形AB跖沿

EF折起使得二面角\-EF-D的大小为90°,则三棱锥4-CDE的外接球的表面积为

D

B

［答案X3471

K解析X由题意，可将三棱锥A-CZ)E补形成长方体，则长方体外接球也即三棱锥

4-CAE的外接球，

设长方体外接球半径为R,则(27?)2=32+32+42=34,得到4女=34,

所以$球=4兀火之=34兀,

故［答案X为：347r.

14.已知在数列｛4｝中，q,%eN+，数列｛4｝的前〃和为S“，为等差数列,

Su=77,贝！|S100=----------.

K答案H-3750

k解析》［邑］为等差数列，所以设£=A〃+3,A3为常数,

〔〃Jn

2

Sn=An+Bn,/.ai=A+B,当时，

22

an—Sn—Sn_y=An+Bn—A（n—l）—jB（n-1）=2An—A+B,

:.an=2An-A+B,neN*,则a〃-a,i=2A(常数).

数列｛4｝为等差数列,

$14=77,二7(弓+q4)=7(%+61)=77,

[(^=11-(^f<^4-tZj=11-2«][13d=ll-2al

所以〈4，即《，即〈，，

%=11—q]q]—%=2q]—117u—2i]]—11

则d=11一——%=孙一(11-41)

137

1039

，7q+134=110,al,allGN+,:.an

经检验可得4=12,=2,

则4=&二幺=一1,.•.4=13-

10

S=(25-〃),〃

"2

S100=—3750.

故K答案』为：-3750.

四、解答题

15.在平面四边形ABCD中，A3=J?,AC=3,BC=272.

(1)求cos/5c4的值;

12/o1

(2)若cosNBCD=——,cosZADC=--—，求AD的长.

135

解：（1）在ABC中，由余弦定理可得：cosZBCA="C一

2ACBC

又AB=EAC=3,BC=2五，所以cosN8cA=9+8—"二叵

--2x3x2V22

(2)由(1)知cosZBCA=也，所以sin/BCA=J-cos?NBCA=<=正,

2V22

12/—

又COSNJBCZ)=----,所以sinNBCD=—sin2ZBCD=)2=—

13V1313

所以sinZACD=sin(ZBCZ)-ZSG4)=sin/BCDcos/BCA-cosXBCDsinZBCA

57212A/217A/2

131326

又cosNADC=一叵,所以sinZADC=Jl—(—叵A=--

5V55

2AD

ACAD

在，ACD中，由正弦定理可得:得到217A/2,

sinZADCsinZACD

526

所以

16.如图所示，平面ACFE，平面ABC。，且四边形ACEE是矩形，在四边形ABCD中,

ZA£>C=120°,2AB=2AD=2CD=BC=6,

2

⑴若EM=—EF,求证：A"//平面3£）产；

3

兀

（2）若直线跖与平面ABCD所成角为一，求平面8即与平面尸所成锐二面角的余

弦值.

（1）证明：连接3。与AC交于点。，连接AM,。厂,

AD=CD=3,ZADC=120°,

4n2+nr*2.AC2

:.ZDCA^3Q，cos120?----------------------,即AC=3JJ，

2ADxDC

又48=3,60=6,则超2+人。2=5。2,

■.ZCAB=90°,ZDAC=ZACB=30°,所以四边形ABC。是等腰梯形，

2

\AO=-AC=-EF=MF,所以四边形是平行四边形，

33

\人"//09又4以（2面应＞尸，Bu面3D产，所以A4//平面3D产.

（2）解：因为平面ACFEL平面ABCD,且四边形ACFE是矩形，AC为两平面的交线,

AELAC,

所以平面ABCD,

兀71

由M与平面ABC。所成角为一，易知Cb上面ABCD可得/用。=—

66

所以CF=6?tan/273,

6

因为为等腰三角形，且NZMC=30。,

所以点。的横坐标长度为ADcos30?—,纵坐标长度为2,

22

f3739）

则3E=（0,-3,2@,BD=

[22J

3c=（36,-3,0）,BF=（33，

BE-%=-3%+2石Z]=0

设平面BED的法向量为“=(ApX，zJ,贝卜

Rn_3739

BD-n^=-^-xx--yj=0

取y=2,.•普=（26,2,6）,

设平面6。尸的法向量为%=(x2,j2,z2),

BC-%=3^/3%2_3%=0

则,二J-一一L，

BF-%=3V3X2-3y2+2V3z2=0

取X=l,二九2=（1，6，°）

।.%-n2RG+2舟2757

cos”=cos%,%=―——=/=~~4==--------

114n%J12+4+3xV?19

即平面BED与平面BCF所成锐二面角的余弦值豆豆.

19

17.2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，

随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长

征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为

了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容

量为”的样本进行调查，调查结果如下表：

关注度

学生群体合计

关注不关注

17

大学生—n——n

210

高中生

3

合计—n

5

附:

a0.10.050.00250.010.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-bc)2

其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z2+d)

（1）完成上述列联表，依据小概率值a=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学

生群体有关，求样本容量〃的最小值；

（2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个

问题，有两种答题方案选择：

方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；

方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.

已知小华同学答出三个问题的概率分别是3,小华回答三个问题正确与否相互独

432

立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）

解：（1）

关注度

学生群体合计

关注不关注

117

大学生—n—n——n

2510

113

高中生一n—n一n

10510

32

合计—n—nn

55

零假设为“0：关注航天事业发展与学生群体无关,

(nnnnY

根据列联表中的数据，经计算得到力2

7〃3n3n2n63

1010TT

因为依据小概率值a=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关,

所以??=—>3.841n〃>30.25,

63

由题可知，〃是10的倍数，・•."min=40

（2）记小华同学答出三个问题的事件分别A,B,C,

321

则P（A）="P⑻=针P（c）=5,

记选择方案一通过的概率为片，

则片=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+尸（ABC）

_32j_31112132j__H.

~432432432432~24；

记选择方案二通过的概率为八，

贝（阴+；P（2+gp（AC）

_1<322131129

3（433242）72'

鸟，.•.小华应该选择方案一.

22

18.已知椭圆M:=+*=1（。〉人〉0）的离心率为A,3分别为椭圆的左顶点和上顶

点，月为左焦点，且1AB片的面积为3.

2

（1）求椭圆M的标准方程：

（2）设椭圆M的右顶点为C、P是椭圆M上不与顶点重合的动点.

（i）若点点。在椭圆M上且位于x轴下方，直线P£）交x轴于点/，设一APF

3

和一a方的面积分别为S],邑若s?=5,求点。的坐标：

(ii)若直线A3与直线CP交于点。，直线取交x轴于点N,求证：2%N-%C为定值,

并求出此定值(其中左°N、上2c分别为直线QN和直线QC的斜率).

cl

〃二2

2

解：(1)由题意得(“又，=/—/，解得＜c=l

1、，A/3

-(a-c)b=b-y[3

•••椭圆M的标准方程为三+乙=1

43

(2)(i)由⑴可得。(2,0),

连接PC9因为S]=SAPF，邑=SDCF

133

所以^―昆二Sop。=—Sop。

2

31

-SDPC=5=52APC=SQPC，

:.OD“PC,所以f-03,

W二=-a

3

y二——x

3,2

所以直线OD的方程为＞=—-,联立22

2xy

——+—=

[43

X。二1XD=-1

解得《3或＜3（舍去）,

%=5

(ii)设直线QC的斜率为左，则直线QC的方程为：y=k(x-2),

又3(0,石)，4(—2,0),直线A3的方程为y=*(x+2)，

2(2八两

y=左(工-2)

a2k苴

由＜解得《

y=+(X+2)46k

、乙

(2(2左+扬4限)

所以。

2k-，2左一班)

y=k(x-2)

由＜X2y2,得(3+4左2)/一16左2%+16左2—12=0,

——+—=1

143

由△=256/—4(3+4/)(16/—12)>0,

1642一128左2—6

则2xp=,所以Xp=

3+4左23+4左2

(8尸一6、-12k

则为=左(%2一2)=左-2

(3+4k之3+442'

/弘2—6-12k

:.P

、3+4左2'3+4左2,

依题意8、尸不重合，所以次2—6,0,即左w土且

2

—12kr-

3+4k2―V-4岛2-12"36

所以kBP=

8F-68左2—6

3+4k2

—4辰2一12左一3月

；・直线8P的方程为yx+y/3，

8人2—6

—4限2—12人—3百

令y=0即—看辛

8k°—6

(2(24g]

:.N/-，u，

(2k+#))

4瓜

.,=2k-#)=8辰+12=1石

"侬-2(22+扬2(22-我-16班~24

2k-出2k+6

2%-限=等为定值，

19.我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积

J7(x)dx,(/(x)〉0)

(*b,八

,其中f于3dx=F(b)—F(a),尸'(尤)=/(%).如果平面

Ja

-j/(x)t/x,(y(x)<o)

图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线C1可以表示为y=/（x）,曲线C2可以

表示为丁=力（耳，那么阴影区域的面积A=J（力（x）-工（力）公，其中

J（力（X）-［（X））办=J力（X）公-\fi（x）办.

y=f(x)d

bxObx