中考复习：初中数学函数知识归纳

初中函数知识点总结

一次函数

一、函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，

y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断丫是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那

么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值)；

第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中

数值对应的各点)；

1

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间

的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有

些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

二、平面直角坐标系

1、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中水平的

数轴叫做横轴（或x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；

两轴的交点。叫做原点。在平面内，原点的右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。

2、坐标平面内被x轴、y轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第一象限、第二象限、

第三象限、第四象限

注意：x轴、y轴原点不属于任何象限。

3、平面直角坐标系中的点分别向x轴、y轴作垂线段，在x轴上垂足所显示的数称为该点的横

坐标，在y轴上垂足所显示的数称为该点的纵坐标。点的坐标反映的是一个点在平面内的位置。

写坐标的规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，全部用小括号括起来。

如P（3,2）横坐标为3,纵坐标为2。

特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。

所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。

4、平面直角坐标系中的点与有序实数对---对应。

5、坐标的特征

2

(1)在第一象限内的点，横坐标是正数，纵坐标是正数；在第二象限内的点，横坐标是负数，纵坐

标是正数；在第三象限内的点，横坐标是负数，纵坐标是负数；在第四象限内的点，横坐标是正数，

纵坐标是负数；

(2)x轴上点的纵坐标等于零；y轴上点的横坐标等于零。

6、对称点的坐标特征

(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；

(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反。

(4)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；

(5)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数。

7、点到两坐标轴的距离

点A(a,b)到x轴的距离为|b|,点A(a,b)到y轴的距离为|a|。

三、一次函数

1、一次函数的定义

一般地，形如丫kxb(k.b是常数，且k°)的函数，叫做一次函数，其中x是自变

量。当。°时、一次函数丫卜',又叫做正比例函数。

(1)一次函数的解析式的形式是丫kxb,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是

否能化成以上形式.

(2)当bo,kO时，ykx仍是_次函数.

(3)当13°,k0时，它不是一次函数.

(4)正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k中0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零

3

当k>0时，直线y=kx经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时,?

直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.

(1)解析式：y=kx(k是常数，kNO)

(2)必过点：(0,0)、(1,k)

(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，？图像经过二、四象限

(4)增减性：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小

(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，kW0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b

即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(白,0)两点的一条直线，我们称它为直线

k

y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。(当b>0时，向上平移；当b<0时,

向下平移)

(2)必过点：(0,b)和(8,o)

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)

k

(3)走向：k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限

b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限

k0k0

直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限

b0b0

k0k0

直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限

b0b0

(4)增减性：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小。

(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴。

(6)图像的平移：当b>0时，将直线y3<的图象向上平移b个单位；

4

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位。

4、一次函数y=kx+b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线,

所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐

标轴的交点：（0,b）。即横坐标或纵坐标为0的点。

5

5、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得

到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

“正比例函数”与“成正比例”的区别：

正比例函数一定是y=收这种形式厂而成正比例则意义要广泛得多,它反映了两个量之间的

固定正比例关系，如a+3与b-2成正比例，则可表示为：a+3=k（b-2）（k/0）

6、正比例函数和一次函数及性质

止比例函数一次困数

断忿一股地，形如y=KX（K是用数，一股地，形如y=KX十b（K,D是吊数，K手

kWO）的函数叫做正比例函数，0）,那么y叫做X的一次函数.当b=0时，

其中k叫做比例系数是y=kx,所以说正比例函数是一种特殊

的一次函数.

自变量

X为全体实数

范围

图象一条直线

■叫\\J，u，、\1，r\y

走向k>0时，直线经过一、三象限；k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限,

k<0时，直线经过二、四象限k>0,bV0直线经过第一、三、四象限

1_.

k<0,b>0直线经过第一、二、四象限

k<0,b<0直线经过第二、三、四象限

增减性k>0,y随x的增大而增大；(从左向右上升)

k<0,y随x的增大而减小。(从左向右下降)

倾斜度因越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

图像的b>0时，将直线y=kx的图象向上平移lb|

个单位；

b<0时，将直线y=kx的图象向下平移lb

平移个单位。

6、直线y=kix*bi(kiw0)与y=k2x电2(Q#o)的位置关系

(1)两直线平行=ki於且bit)2(2)两直线相交ki«k2*

(3)两直线重合kik2且bib2(4)两直线垂直kik21

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未

知数的方程；

(3)解方程得出未知系数的值;

7

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

反比例函数

一、反比例函数

1、函数的定义

Vk

一般地，形如x(k为常数，k#0)的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面

来理解：

(1)x是自变量，y是x的反比例函数；

(2)自变量x的取值范围是xWO的一切实数，函数值的取值范围是yWO.

(3)比例系数kWO是反比例函数定义的一个重要组成部分；

(4)反比例函数有三种表达式：

y卜

①x(kWO)

②ykx1(kwO)

③xyk(定值)(kwo)

ykxk

(5)x函数(kN°)与y(kWO)是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也

yk

是y的反比例函数。(k为常数，kWO)是反比例函数的一部分，当k=°时，x就不是

k

V

反比例函数了，由于反比例函数3x(k#o)中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应

值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

8

2、用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数（kWO）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值,

从而确定反比例函数的表达式。

3、反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四

象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量xWO,函数值yWO,所以它

的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。再作反比例函数的图像时应注

意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

4、反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表:

9

①x的取值范围是xWO,y的取值①x的取值范围是xWO,y的取

值范围是yW0

范围是yWO

性质

②当k>0时，函数图像的两个分支分②当k<0时，函数图像的两个分

别在一、三象限，在每个象限内，y支分别在二、四象限，在每个象

随着X的增大而减小限内，y随着x的增大而增大

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说,当k>0时，y

随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k的符号决定的。反过来，由反比

k

例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如y•用「在第一、三

X

象限,则可知k>Oo

☆反比例函数（kWO）中比例系数k的绝对值的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P（x,y）分别作x轴、y轴的垂

线，E、F分别为足，则1.•nn矩形

田炉上4效中即pgS^DEPF

yjak

☆反比例函数早晨（k#o）中，k越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线y"］越靠

八A

近坐标原点。

☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x

和直线y=-xo

二次函数

一、二次函数

1、函数概念

（1）二次函数的概念：一般地，形如y甩/的x盘（a,b,c是常数，a#0）的函数，叫做二

10

次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a#0,而b,c可以为零。二次函数

的定义域是全体实数。

(2)二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：

①等号左边是因变量，右边是关于自变量的二次式，x的最高次数是2。

②a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

2、二次函数的基本形式

(1)二次函数基本形式：y=ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

开口方向顶点坐标对称轴

x>0时，j随、的0大而0大；x<0时，j随

a>0向上(0,0))轴

x的瑁大而减小；x-。时.)有最小值0.

x>0时，］Hh加大而减小；x<0时，.1随

a<0向下(0,0)J轴

x的博大而11大；x・0时，)育最大值0.

(2)y=ax2+c的性质：上加下减。

4的符号开口方向顶点坐标对称轴ma

X>0T—Xg-K-.X<0»Xt-

时，•随的0大而0大；时.,随

a>0(0,c)

向上'轴

1的增大而减小；X‘°时，J再最小值，.

x>0।x<0ayd

时「随的18大而减小；时，•随

(0,c)

a<0向下'轴

X的0大而0大；x・0时/背霰大值，.

(3)y=a(x_h)2的性质：左加右减。

11

4的符号开口方向顶点坐标对称轴

x＞力时，)随X的增大而增大；x＜力时,yH

A>0向上(*,0)X=h

x的0大而减小；x”时，)育最小值0.

X＞力时，)随K的11大而减小；X＜力时，〕例

a<0向下(哪X=h

X的0大而增大；X•4时，)WBXOIO.

(4)y=a(x41)2+k的性质:

开口方向顶点坐标对称轴we

xM时，)随x的0大而博大；xC时，j随

a>0向上(*>*)X=h

X的增大而减小；x-A时，)何最小值左.

x＞方时，)PSx的1■大而减小；xC时，jfS

a<0向下X=h

x的0大而增大；x・X时，，有最大值k.

3、二次函数图象的平移

(1)平移步骤：

方法一：

①将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x_h)2水，确定其顶点坐标(h,k)；

②保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下:

向上出助1或W下(《川平号t个■电

(2)平移规律

12

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

方法二：

①y=ax2t)xC沿轴平移：向上(下)平移m个单位，y=ax2♦bx*'c变成

y=ax2+b/c+m(或者yax2+bx+c-m)

②y=ax2+bxt沿轴平移：向左(右)平移m个单位，y=ax2+bx+c变成

y=a(x+m)*b(x-rn)e(或者y=a(x-m)*b(x-m)"c)

、二次函数y()2与yax2bxc的比较

4ax-hk

axhk

=『+

从解析式上看，y"（一2与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配

nn「bAac-lr-j.b.

方可以得到前者，

5、二次函数y=ax2+bx+c的性质

1.当a>0时,2口向上,gx—'2的

当时，）*的大而减小；当*时，网的增大而增大；当…2时，）有最小

2a2a2a

值生土.

4a

2.当a<0时，*田f口向下，旃■为一击，瞒明咕4,写L].当时,通

X的flt大而增大；当工>-当时，J随X的增大而减小；当时，J存最大值与£.

2a2a4a

6、二次函数解析式的表示方法

①一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a#0）；

②顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,k是常数，aWO）；

13

③两根式：y=a(x-xi)(x-X2)(aWO,xi,X2是抛物线与x轴两交点的横坐标).

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交

点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac》0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次

函数解析式的这三种形式可以互化。

7、二次函数的图象与各项系数之间的关系

(1)二次项系数a

二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然awo.

①当2>0时・，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

②当a〈0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，Ial的大小决定开口的

大小.

(2)一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴。

在a>0的前提下，

2

当，>0时,一%<0,即抛物线的对称轴在j轴左；

型・0时,-A-o，即抛物残的对称轴就是J轴;

2a

当b<0时,,即他较俵对称轴在J轴的右倜.

在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即

当b>0时，一卷>0，即抛将我的对称轴在》轴右他;

当…时，-’0，即读物残的对称轴就与轴；

当!><0时，-^<0

,即读物娃对称轴在)轴的左《1.

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。

14

ab的符号的判定：对称轴x=--Sv轴左边则ab>0.在)柏的右则

la

<0,跑舌的说就是~左同右异一

(3)常数项

①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;

②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置。

总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。

8、二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必

须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

②已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；

③已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.

9、二次函数的图像对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

(1)关于x轴对称

y=ax2+bx+c关于轴对称后，得到的解析式是y=-ax2'bx-c；

y=a(x-h)2+k关于轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2-k；

(2)关于y轴对称

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y=ax2+bx+c关于轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；

y=a(x-h)2+k关于轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；

(3)关于原点对称

y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；

y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2-k；

(4)关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180。)

y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c-b2/2a；

y=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2+k.

(5)关于点(m,n)对称

y=a(x-h)2+k关于点(m,n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2+2n-k

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此Ial永远不

变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习

惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线

的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。

10,二次函数与一元二次方程:

(1)二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况)：

一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数:

①当A=»，-4oc>0时，0B・与x轴交于两点,0),B(x：,0)(x,*x,),兵中的怎,x.

S~~元二欠方程ax:+&r*c-0(a*0i的两根.这两，点间的距两^B-|x；-J^|"也R"'

②当△=()时，图象与轴只有一个交点;

③当时，图象与轴没有交点。

16

当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；

当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0。

(2)抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；

(3)二次函数常用解题方法总结：

①求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

②求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

③根据图象的位置判断二次函数y=ax?+bx+c中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符

号判断图象的位置，要数形结合；

④二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知

与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑤与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2W本身就是所含字母的二

+bx+c(a0)x

次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:

抛物线与X轴再项式的值可正、一元二;欠方程存两个不相等实根

A>0

两个交点可零、可负

A-0

地物统与X轴只二;欠三项式的值为非负一元二次方程育两个相等的实数据

A<0

抛物线与X轴无二项式的值值为正

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锐角三角函数

一、锐角三角函数

1、锐角三角函数的定义

1、如图，在二ABC中，4=90°

①《角A的对边与斜边的比叫做zA的IBS：，记为s