江西省赣州市2023-2024学年高三年级上册期末考试数学试题

赣州市2023〜2024学年度第一学期期末考试

高三数学试题

（考试时间120分钟，试卷满分150分）

第I卷（选择题共60分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合4={—2,—=,则AI3=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2）

2.若复数z满足i（z—1）=1,则z+5=（）

A.-2B.2C.-2iD.2i

r1r1i1

3.己知a,6均为单位向量.若|a-b|=l,则。在6上的投影向量为（）

V3r1r「用1F

A.aB.—aC.—-bD•一b

2222

4.若抛物线炉=2加5>0）上的动点M到其焦点歹的距离的最小值为1,则p的值为（）

A.1B.百C.2D.4

5.已知a为锐角，且3cos（。+45°）=-1,则cos（a+135°）=（）

272112V2

3333

6.从集合。={0,1,2}的非空子集中随机选取两个不同的集合A,B,则AI3=0的概率为（）

1521

A.-B.—C.-D.一

72173

7.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小乐同

学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为30m/s,然后石

片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%,若

石片接触水面时的速度低于6m/s,石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数

为（）（参考数据：In2«0.7,In3«1.1,In5«1.6）

A.5B.6C.7D.8

8.已知是圆必+产=2上两点.若=-1，则西+乙+%+%的取值范围是

A.B.[—1,1]C.[—V2,\/2]D.[—2,2]

22^

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。

9.有一组互不相等的样本数据石,X2，L,七,平均数为元.若随机别去其中一个数据，得到一组新数据，记为

%,%,L,%，平均数为歹，则()

A.新数据的极差可能等于原数据的极差

B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数

C.若元=?，则新数据的方差一定大于原数据方差

D.若元=7，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数

10.如图，点M为正方形A3CD的中心,N为等边ZXABE的边BE的中点，平面ABE,平面贝联)

A.DN=EMB.AB1EM

C.〃平面ADED.MN与平面ABCD所成的角为30。

11.若正数m6满足。+》=1,则()

ab

A.log2tz+log2b>-2B.2+2>2A/2

C.a+ln/?<0D.sinasinZ?<—

4

12.已知函数于(x)=J1+sin2x-Jl一sin2x,则()

A./(x)为奇函数B./(x)的最小正周期为兀

C./(x)的最小值为—1D.直线y=2x—2兀是曲线y=/(x)的切线

第n卷(非选择题共加分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1+-(x—y)8展开式中dy5的系数为(用数字作答).

Iy)

77T

14.某小区计划修建一个圆台形的花台，它的上、下底面半径分别为1m和2m.若需要口n?的土才能把花

3

台填满，则花台高为m.

15.己知数列｛%｝满足％=0,g=1,%=2,。4=3,数列｛%+%+1+。“+2+。“+3｝是公差为1的等差数列，则

%8二---------,

22

16.己知耳,£为椭圆。：=+27=1（。〉6〉0）的两个焦点，过£的直线与C交于M,N两点.若

ab

7

=-,\MN\=\MF\,则C的离心率为.

COSZFXMF2l

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

已知数列｛4｝满足％=2,an+1^2an-n+l.记d=一”.

⑴证明：数列也｝为等比数列；

（2）求数列|组的前〃项和50.

18.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2s吧文山0=2.

cosC+lc

（1）证明：C=2A；

（2）记边AB和BC上的高分别为例和幻，若仅：区=1：6,判断△ABC的形状.

19.（本小题满分12分）

学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①分别在罚球线处和三分线处投篮，每

处有两次投篮的机会；②只有在罚球线处投进一个球，他才可以进行三分线处的投篮，否则不予录取；③他在

罚球线处和三分线处各投进一球，则录取，否则不予录取.

已知学生甲在罚球线处投篮命中率为2,在三分线处投篮命中率为..假设学生甲每次投进与否互不影响.

43

（1）求学生甲被录取的概率；

（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X,求X的分布列及期望.

20.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—4与£中，D为8片的中点，DA=DCX,平面平

面.

rD

A

(1)证明：平面ABC_L平面AACG；

(2)设43,5。,/44。=60。,441=2,四棱锥A—的体积为十，求平面ZMG与平面&BC所

成角的余弦值.

21.(体小题满分12分)设双曲线C的中心为坐标原点，渐近线方程为y=±x,且C过点(、历,1).

(1)求C的方程；

(2)设不过原点的直线丫=丘+"2与C的两支分别交于A,B两点，且△043的面积为&.记P(《7”),

求动点尸的轨迹.

22.(本小题满分12分)设函数/(x)=axlnx+加"2,曲线y=/(功在点(1,/⑴)处的切线方程为

(1)求a和6的值；

(2)/(x)-mx<0,求加的取值范围.

赣州市2023〜2024学年度第一学期期末考试

高三数学参考答案

一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。）

题号12345678

答案ABDCDCBD

二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。）

题号9101112

答案ACBCBCDABD

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13,-2814.115.1516.—

3

四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（1）证明：由a“+i=2。“一”+1,〃=。“一”1分

可得%=—（"+1）_2q—"+1—（〃+1）_2（。“一〃）、23分

b“an-nan-nan-n

因为2=q—1=1,

所以｛%｝表示以1为首项，2为公比的等比数列4分

（2）解：由（1）得，2=2"T,可得"=2^=1+-^

5分

么bn

记。“=号4=春

乙i=l

ng123n-1n/八

则（=心+万+中+TL+—+广6分

1力12,n—2n—1n

-=---1---+LH----------H-------H-----

222l2T~22”T2〃

两式相减，可得

l+-+^+L11〃+2

H---------1------次-=2一8分

52222〃-22〃-12n

即（=4—崇

9分

所以S〃=〃+(="+4----r10分

〃〃2〃一1

18.解：(1)山正弦定理及条件得，sinC(2cosA-cosB)=sinBcosC+sinB1分

整理可得，2sinCcosA=sinA+sin32分

XsinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC3分

于是sinCeosA—cosCsinA=sinA,即sin(C-A)=sinA4分

因为4。£(0,兀)，所以OVC—AVTT

所以C—4=4或。一A=—A(舍去)5分

所以C=2A6分

(2)由4：%=1:6，可得c=6。8分

又由C=24及正弦定理

i口acy/3ay[3a>八

可得-----=------=———=——-------9分

sinAsinCsin2A2sinAcosA

解得cosA=——10分

2

jr

由于Ae(0,7i),所以A=211分

6

jr

所以3=71—A—C=2,所以△A5C是直角三角形12分

2

19.解：记事件4表示“甲在罚球线处投篮，第z•次投进”，事件与表示“甲在三分线处投篮，第，次投进”.

则P(A)=P(A)=Z，P(耳)=「但)=§1分

(1)设事件c表示“学生甲不被录取"，则C=4A+(A+A4)瓦瓦3分

所以P(C)=P(44)+P(A+44)P(E耳2)=z><z+('|+zx|')x§><§=k5分

所以学生甲被录取的概率为』

6

(2)X的可能取值为2,3,47分

/___、1329

P(X=2)=P^AlA,+AlBl^=—+-x-=—8分

/一_\132313

P(X=3)=P(A451+A51)=-X-X-+-X-=-9分

P(X=4)=尸豆i)=；x：x；=+10分

所以X的分布列为

X234

931

P

16816

11分

9315

所以EX=2x—+3x—+4x—=12分

168162

20.(1)证明：设ACIAG=E,则E为AC1的中点,

又因为ZM=Z)G，所以。ELAC]1分

则由平面D4C]，平面AACG，可得，DEL平面4ACG①…2分

设厂为AC的中点，连接五B和EE.

在△AC£中，由E和尸分别是AC】和AC的中点得，EF*CG，

又因为5〃幺gcG，所以BD^EF

所以四边形为平行四边形，所以BFV/DE②3分

由①②可得，8尸1.平面4。£44分

又班'u平面ABC,所以平面ABCJ_平面ACC]A5分

(2)斛：因为%棱能1-BCCQ=万吟棱能1-BCCJ嚏棱锥4-BCG一嚏棱锥G-^BC'

、_3_73

所以匕棱锥G-4BC一万%棱锥A-BCG0g7分

由NAAC=60°,AA=2,及平面ABC,平面AC£4可得

三棱锥G-ABC的高为AAsinZ^AC=也8分

由ABL3C,尸为AC的中点，可得3尸=14。

2

从而忆棱锥cABC=-\~AC2]^^—

—.■IXTSC]—ADC3I4i3

解得AC=29分

所以△AAC为正三角形，所以FC,%两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系E-平

rruum

x=0,

设a=(x,y,z)为平面DAQ的一个法向量,勺•DE=0,

由＜uuir倚＜

r2x+y+V3z=0,

々•ACX=0

令z=l,得先二(0,—g,l),10分

又方2=(o,。/)为平面ACGA的一个法向量，

设平面D4C]与平面A3C所成角为凡则

S13

T分

1

讦2

cos"-1

故平面DAQ与平面ABC所成角的余弦值为与12分

另解：延长交CB于M,连接AM,在中，由5Z＜；CC1知，3是尸C的中点，又且

ZACP=45°,所以

再由平面ACC]A，平面ABC可得，PALAG，于是平面D4G与平面ABC所成角是NP&G，由四边形

AACQ为菱形且Z^AC=60。可得，ZPAQ=30°

21.解：(1)依题意知，双曲线C关于x轴和y轴对称1分

由渐线方程可设C的方程为/—。0)2分

把点(、历,1)代入C的方程得，2=2—1=13分

故C的方程为炉-V=14分

（2）依题意知，相WO,把丁=米+加代入一>2=],

可得(1一42)/-2kmx-n^-1=0,

2kmm2+1

设人（和％）,5（々,%）,则玉+xxx二—；——5分

21-k2t12k2-l

依题意有，玉%2<°，即左2<1①6分

2

于是，|F51=J1+左2J%—%|=2J1+-2.y/l—k-vm

7分

ImI

原点O到直线y=kx+m的距离d=JI②

J1+42

联立①②，可得皿三|明〃[刈^^=[3+]三8分

令/则=及，解得/=—2或f=l9分

1—k

当♦=—2时，毋=2（42_1）,于是左2_1>0,与①矛盾！10分

故加2=1—左2,即％2+加2=1（―1<左<1且加w0）n分

故尸的轨迹是去掉与坐标轴交点的单位圆12分

22

22.解：（1）依题意知，当