第08讲指数与指数函数（人教A版2019）（原卷版）

第08讲指数与指数函数【人教A版2019】·模块一指数幂运算·模块二指数函数·模块三指数型复合函数·模块四课后作业模块一模块一指数幂运算1．指数幂整数指数幂指数

幂中

的指

数从

整数

拓展

到了

有理

数分数指数幂正整数指数幂：正数的正分数指数幂：负整数指数幂：正数的负分数指数幂：规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.2．有理数指数幂的运算(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指数幂的几个常用结论：①当a>0时，>0；

②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；

③若(a>0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.3．无理数指数幂及实数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.整数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围实数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0n∈Z,a∈R,b∈Rr∈R,且a>0,b>0【考点1指数幂运算化简问题】【例1.1】（2023·全国·高一专题练习）计算a−2b−3A．−2b B．−b2 【例1.2】（2023秋·高一课时练习）下列各式正确的是（

）A．a−35C．a12a【变式1.1】（2023·江苏·高一专题练习）化简(2a−3b−2A．−32b2 B．32b【变式1.2】（2023秋·高一课前预习）下列各式中，正确的是（

）A．−a=−aC．6a2=【考点2指数式的给条件求值问题】【例2.1】（2023·山东·校联考模拟预测）若a−1−a1=4A．8 B．16 C．2 D．18【例2.2】（2023·全国·高一专题练习）已知m12+m−A．15 B．12 C．16 D．25【变式2.1】（2023·江苏·高一专题练习）已知ab=−5，则a−baA．25 B．C．−25 D．【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）已知a+a−1=3①a2+a−2=7；②aA．1 B．2 C．3 D．4模块二模块二指数函数1．指数函数的概念(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：

①的系数为1;

②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质0<a<1a>1图象性质定义域R值域过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化范围当x<0时，y>1当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1当x>0时，y>1【考点3指数函数图象——底数比较大小】【例3.1】（2023秋·高一课时练习）如图是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c【例3.2】（2023秋·山东济宁·高一校考期末）如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数a的值可取为2，43，310，15，则相应于曲线C1，C2，C3，C4A．43，2，15，310 B．2，43C．310，15，2，43 D．15，3【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）指数函数y=ax与y=bA．a<0,b>0 B．0<a<1,0<b<1C．0<a<1,b>1 D．a>1,0<b<1【变式3.2】（2023·全国·高一课堂例题）已知y1=13x，y2=A． B．C． D．【考点4指数函数过定点问题】【例4.1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=ax−3+2（a>0A．0,1 B．0,3 C．3,3 D．4,1【例4.2】（2023春·江苏淮安·高二校考期中）已知幂函数f(x)=(a−2)xa，则g(x)=bA．(1,1) B．(1,2) C．(−3,1) D．(−3,2)【变式4.1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=ax−m+n（其中a>0，a≠1，m、n为常数）的图像恒过定点3,2A．3 B．4 C．5 D．6【变式4.2】（2023春·贵州毕节·高一校考阶段练习）若函数y=ax+2+2(a>0，且a≠1)的图象恒过一定点P，则PA．0,1 B．−2,1 C．−2,2 D．−2,3【考点5利用指数函数单调性比较大小】【例5.1】（2023·全国·高一专题练习）已知32−0.3,b=1.10.7,c=2A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a【例5.2】（2023·全国·高一专题练习）已知a=243A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．c<a<b【变式5.1】（2023·高一课时练习）设y1=90.9，y2A．y3>yC．y1>y【变式5.2】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知函数fx=3x−12，记a=f22A．b>a>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b模块模块三指数型复合函数1．指数型复合函数的解题策略常见的指数型函数主要分为两类：一类是与二次函数复合的指数型函数；另一类是与分式复合的指数型函数；求解指数型复合函数时，先分析该复合函数的复合型式，再借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，然后结合具体问题，进行求解即可.【考点6指数型函数——与二次函数复合】【例6.1】（2023秋·高一课时练习）已知函数f(x)=1（1）若a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.【例6.2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=4a×9(1)若a=14，求(2)若a>38，存在实数m，n(m<n)，当f(x)的定义域为[m,n]时，f(x)的值域为[3【变式6.1】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=2(1)试确定a的值及此时的函数解析式；(2)证明函数f(x)在区间(−∞(3)当x∈[−2,0]时，求函数f(x)=2【变式6.2】（2023秋·山东枣庄·高一校考期末）设函数fx=ax−a−x(1)若0<a<1，证明y=fx(2)若f1<0，求使不等式fx(3)若f1=32，gx=a2x+【考点7指数型函数——与分式复合】【例7.1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=−2x+b(1)求a+2b的值；(2)若对任意t∈(1,2)，不等式f(t2−2t)+f(2t【例7.2】（2023·全国·高一课堂例题）已知函数fx=ax−1(1)判断函数fx(2)讨论fx(3)求fx【变式7.1】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）已知fx=1−(1)判断fx在R(2)若f1−a+f1−【变式7.2】（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知函数fx=a⋅(1)判断并证明函数fx(2)是否存在实数k，使得函数fx在区间m,n上的取值范围是k4m模块模块四课后作业1．（2023·高一课时练习）计算结果正确的是（）A．﹣6x2y3÷12x2y2=﹣12B．−C．16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣32x2y5D．(22．（2023·全国·高三专题练习）214−0.5A．π B．2 C．1 D．03．（2023秋·江苏扬州·高三统考开学考试）设函数fx=2xx−aA．4,+∞ B．−4,0 C．0,4 D．4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，函数y=2x−2A．

B．

C．

D．

5．（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考期末）幂函数fx=a2−2a−2A．（1，1） B．（1，2） C．（3，1） D．（3，2）6．（2023·全国·高一假期作业）如图所示：曲线C1，C2，C3和C4分别是指数函数y=ax，y=bx,y=cx和A．a<b<1<c<d B．a<b<1<d<cC．b<a<1<c<d D．b<a<1<d<c7．（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=exex+1A．−∞，1 B．C．0，1 D．08．（2023秋·高一课时练习）若a，b∈R，且满足12<A．aa<ab<ba B．9．（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）函数f(x)=12x+2，若对于任意的x∈1,4，不等式f(x)+f(a−2x)≤A．3,+∞ B．C．−∞,4 10．（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数f(x)=2x+2−x，g(x)=m⋅f(2x)+2f(x)+m.若对于∀x1∈0,+A．−∞,0 B．0,+∞ C．−11．（2023·山东·校联考模拟预测）计算：(1)(−π(2)512．（2023·全国·高一专题练习）已知a1(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a13．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：(1)2−1.5，2(2)16−6(3)82，1(4)20.1，314．（