八年级下册 专题. 二次根式章末十大题型总结（培优篇）（人教版）（解析版）34

专题16.6二次根式章末十大题型总结（培优篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次根式相关概念辨析】 1【题型2二次根式有意义的条件】 2【题型3利用二次根式的性质化简】 4【题型4同类二次根式的运用】 7【题型5最简二次根式的运用】 8【题型6比较二次根式的大小】 10【题型7求二次根式中的参数值】 13【题型8化简并估算二次根式的值】 15【题型9二次根式的混合运算】 16【题型10二次根式的化简求值】 19【题型1二次根式相关概念辨析】【例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）下列式子一定是二次根式是（）A．-4 B．π C．3a D【答案】D【分析】根据二次根式的概念进行判断即可．【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意；B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；D、7是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键．【变式1-1】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期中）若204n是整数，则正整数n的最小值是【答案】51【分析】根据204n=251n，且【详解】解：∵204=4×51，∴204=2∴204n∵204n是整数，且n∴n的最小值为：51，故答案为：51．【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．【变式1-2】（2023春·北京海淀·八年级海淀实验中学统考期中）已知12-n是正偶数，则实数nA．12 B．11 C．8 D．3【答案】C【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知12-n是正偶数，而最小的正偶数是2，则12-n＝【详解】解：当12-n等于最小的正偶数2n取最大值,则n＝8，故选：C【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“12-n是正偶数”【变式1-3】（2023·广东·八年级专题练习）下列各式①y;②a+2;③x2+5;④3a;⑤y2+6A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】①y＜0时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；②a＜-2时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；③被开方数一定是正数，符合二次根式的定义；④a＜0时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；⑤被开方数一定是非负数，符合二次根式的定义；故一定是二次根式的有3个．故选B．【题型2二次根式有意义的条件】【例2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）在实数范围内，不论x取何值，下列各式始终有意义的是（

）A．2+x B．(x)2 C．【答案】C【分析】直接利用二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，分别分析得出答案．【详解】解：A、2+xB、(xC、x2+1，不论x取何值，D、-3-x2，不论x故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．【变式2-1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知x，y是实数，且y=x-【答案】±8【分析】根据x-4≥,4-x≥0得到x=4【详解】∵y=∴x-∴x=4∴y=3∴xy∴±64【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的计算，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【变式2-2】（2023春·全国·八年级期中）已知2x(1)求a+(2)求2x【答案】(1)2022(2)5【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得关于a、b的不等式组，解不等式组即可求得答案；（2）把a+b的值代入所给式子，继而根据非负数的性质可得关于x、y的方程组，解方程组求解x、y的值代入所求式子进行计算即可．【详解】（1）由题意{a由①得：a+b≥2022，由②得：a+b≤2022，所以a+b=2022；（2）∵由（1）可知，a+∴a+b-∴2x解之，得：{x∴2x【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．【变式2-3】（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）若关于x的方程4-x-a+1=0有实数解，则【答案】a【分析】先将原方程变换为4-x【详解】解：∵4-x∴4-x∵4-x∴a-1≥0，即故答案为：a≥1【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根大于等于零成为解答本题的关键．【题型3利用二次根式的性质化简】【例3】（2023春·山东威海·八年级统考期末）已知a>b，则aa【答案】-【分析】先根据被开方数为非负数，得出a<0，再根据a>b得出b【详解】解：∵-b-∴-b-∵b-∴a<0∴a====-=-=-=--故答案为：--【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和性质，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，以及二次根式的运算法则．【变式3-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若xy<0，则x2yA．xy B．x-y C．-【答案】D【分析】根据x2y有意义可得y≥0，再结合x【详解】解：∵x2∴y≥0∵xy∴x<0∴x2y故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由x<0得到x【变式3-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）化简(3-a)A．0 B．-2a+6 C．2【答案】B【分析】由二次根式有意义，可知3-a≥0，从而可判断【详解】解：∵3-a∴a≤3∴a-∴(3-故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和化简，利用a2【变式3-3】（2023春·安徽池州·八年级统考期末）代数式1-a2+3-a2的值为常数A．a≥3 B．a≤1 C．1≤a≤3 D【答案】C【分析】分a<1，1≤a≤3【详解】解：1-当a<1时，原式=1-由题意得4-2a解得a=1当1≤a≤3时，原式当a>3时，原式=由题意得2a解得a=3综上，a的取值范围是1≤a故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握a2【题型4同类二次根式的运用】【例4】（2023·河南驻马店·八年级统考期中）下列二次根式中，可以合并的是（

）A．aa和32a2 BC．3aa和a21a【答案】C【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．【详解】A、aa与32aB、2a与3a2C、∵a2∴3aa与a2D、∵3a4=∴3a4与2a故选：C．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式4-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）若12与最简二次根式12a-1是同类二次根式，则【答案】4【分析】先将12化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可进行解答．【详解】解：12=2∵12与最简二次根式12∴a-1=3，解得：故答案为：4．【点睛】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．以及同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．【变式4-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）下列二次根式，不能与12合并的是（填写序号）①48；②-24；③32；【答案】②④【分析】先将个二次化简为最简二次根式，然后找出与12被开方数不同的二次根式即可．【详解】解：12=23，①48=43，②-24=-不能与12合并的是-24和18故答案为：②④．【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，将各二根式化简为最简二次是解题的关键．【变式4-3】（2023春·甘肃武威·八年级校考期中）若最简二次根式3x-102x+y【答案】5【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵最简二次根式3x-10∴最简二次根式3x-10∴3x∴x=4∴x2故答案为：5．【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到3x【题型5最简二次根式的运用】【例5】（2023春·宁夏固原·八年级校考期中）下列各式中，是最简二次根式的是（

）A．8x B．5a2b C．【答案】C【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、8x=22B、5a2bC、4a2+9D、y2=2故选：C．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．【变式5-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）在二次根式5，15，15，0.1中，最简二次根式有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】解：∵15=5∴最简二次根式有：5、15，共2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次要满足被开方数的因数（因式）是整数（整式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母是解题的关键．【变式5-2】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）24化简后与最简二次根式5a+1的被开方数相等，则a【答案】5【分析】本题先将24化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解．【详解】24=26，其中被开方数为6；5a+1故有：a+1=6，则a故答案为：5．【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式．【变式5-3】（2023春·全国·八年级期中）已知A=22x+1，B=3x+3，C=10x+3【答案】68【分析】根据题意得出2x+1=x+3，求出x=2【详解】∵A，B为最简二次根式，且A+∴2x解得x=2∴A=25，B=3∴10x解得y=35，∴2y故答案为：68．【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出x=2【题型6比较二次根式的大小】【例6】（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）比较大小：14-13【答案】＞【分析】先求14+142，15+13【详解】解：∵14+142∴14+∴14-故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进行变形．【变式6-1】（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）已知a=22，b=33，A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】A【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．【详解】解:∵a=22=1又5>∴a>故选：A.【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键．【变式6-2】（2023春·全国·八年级期末）已知a=2022-2021，b=2021-2020，c=A．a<b<c B．a<c【答案】A【分析】先把a,b,c化为12022+2021【详解】解：∵a=b=c=而2022+∴a<故选A．【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．【变式6-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：a-例如：比较19-2与∵19-2-2=19-4

又∴19-2-2=19-请根据上述方法解答以下问题：(1)29的整数部分是________，7-29的小数部分是_______(2)比较2-23与-(3)已知a+ba-b=a2-【答案】(1)5；6-(2)2-23(3)100+【分析】（1）首先估算出5<29<6，得到29的整数部分是5；推出-6<-（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；（3）根据“比差法”比较得100+98-299【详解】（1）解：∵5<29∴29的整数部分是5；∴-6<-∴1<7-29∴7-29的整数部分是1，则7-29的小数部分是故答案为：5；6-29（2）解：2-23∴2-23（3）解：100==∵100+∴1100∴100+【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．【题型7求二次根式中的参数值】【例7】（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知18x+2x2+2xA．10 B．8 C．4 D．-【答案】A【分析】由18x+2x2+2x=m，可得3【详解】解：∵18x∴32x+∵x的值为整数，∴m是5的倍数，且为正值，∴m的值可能为10，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式7-1】（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）已知18-m是整数，则自然数m的所有可能值的个数为（

A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个【答案】C【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出m的取值范围，再根据18-m【详解】解：∵18-m≥0，∴m≤18，∵m为自然数，∴0≤m≤18，∵18-m∴当18-m=0时，m=18；当18-m=1时，m=17；当18-m=4时，m=14；当18-m=9时，m=9；当18-m=16时，m=2；∴自然数m的所有可能值的个数为5个，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【变式7-2】（2023春·江西宜春·八年级校联考阶段练习）若二次根式16-2a有意义，且x2+(A．±12 B．±8 C．12 D．-【答案】D【分析】根据二次根式有意义，可得a的取值范围，根据完全平方公式即可求解．【详解】解：二次根式16-2a∴16-2a≥0，即又∵x2+(a-2)∴a-2=2×5=10或∴a=12或a=-8，且故选：D.【点睛】本题主要考查二次根式有意义，完全平方公式的综合应用，掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式的中一次项系数的确定方法是解题的关键.【变式7-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）若a+43=m+n32，且a，【答案】13或7【分析】先利用完全平方公式将m+n32展开，再等式左右两边对应项相等得到关于【详解】解：∵a+4∴a=m2∵m、n均为正整数，∴m=1，n=2，或m=2当m=1，n=2时，当m=2，n=1时，故答案为：13或7．【点睛】本题考查完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用是解答的关键．【题型8化简并估算二次根式的值】【例8】（2023春·重庆梁平·八年级统考期末）估算2×12+A．4和5之间 B．5和6之间C．6和7之间 D．7和8之间．【答案】D【分析】首先把原式化成一个系数为1的二次根式，再分别与16，【详解】解：∵原式=24+6=26∴49<54<64故选D．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．【变式8-1】（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）估计12-3的值应在（A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】A【分析】先合并同类二次根式，再用“夹逼法”求出范围即可．【详解】解：12-∵1<3<4，∴1<3∴12-3的值应在1和故选A．【点睛】本题考查合并同类二次根式，无理数的估算．熟练掌握合并同类二次根式的法则以及无理数的估算方法，是解题的关键．【变式8-2】（2023春·重庆合川·八年级统考期末）估计27-A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间【答案】B【分析】先根据二次根式的除法法则以及加法法则化简算式，再估算出3-2【详解】解：27=3=3-2∵1<2∴1<3-2故选：B．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．【变式8-3】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）估计230-24A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】B【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】2=230=25而254<20<5，所以2<25-所以估计230-24⋅1故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.【题型9二次根式的混合运算】【例9】（2023春·四川广安·八年级校考期中）计算：(1)91(2)(6【答案】(1)2(2)2【分析】（1）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；（2）先根据乘法分配律展开，再计算二次根式的乘法最后计算加减即可．【详解】（1）9=9×=3=3×=（2）(=-=-12+2+12=2【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·上海·八年级校考期末）计算：12+【答案】53【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.【详解】12=2=2=5321【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.【变式9-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算．(1)5-3+(2)54-11-4【答案】(1)6-2(2)1【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式计算；（2）先进行分母有理化，再进行加减运算．【详解】（1）解：5-3==5-2=6-2（2）解：54-11-==4+=4+=1【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式等，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．【变式9-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算(1)(a(2)(a+b【答案】(1)a(2)-【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；（2）先对括号内分别通