山西省运城市2024年中考数学最后一模试卷含解析

山西省运城市运康中学2024年中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.实数“，从c在数轴上对应点的位置大致如图所示，。为原点，则下列关系式正确的是（）

—J——I_I-------1_»

a匕0c

A.a-c<b-cB.\a-b\=a-bC.ac>bcD.-b<-c

2.如图，A3是）。的直径，弦垂足为点E,点G是AC上的任意一点，延长AG交。C的延长线于点

F,连接GCGRAD.若NB4T>=25°,则ZAGD等于（）

A.55°B.65°C.75°D.85°

3.

3.点A（xi,y。、B（X2,y2）、C（X3,y3）都在反比例函数丫=的图象上，且xi<X2<0<X3,则yi、、2、y3的大小关系

x

是（）

A.ys<yi<y2B.yi<y2<y3C.ya<y2<yiD.y2<yi<ys

4.一、单选题

如图中的小正方形边长都相等，若4MNP9AMEQ,则点0可能是图中的（）

A.点AB.点BC.点CD.点£)

5.已知OO的半径为5,且圆心O到直线1的距离是方程xZ4x-12=0的一个根，则直线1与圆的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

6.数据4,8,4,6,3的众数和平均数分别是（）

A.5,4B.8,5C.6,5D.4,5

7.估计而-2的值在（）

A.0至！J1之间B.1到2之间C.2到3之间D.3到4之间

8.在同一坐标系中，反比例函数y=七与二次函数》=履2+4（时0）的图象可能为（）

x

9.郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的

体育训练，成绩如下所示：

成绩（单位：米）2.102.202.252.302.352.402.452.50

人数23245211

则下列叙述正确的是（）

A.这些运动员成绩的众数是5

B.这些运动员成绩的中位数是2.30

C.这些运动员的平均成绩是2.25

D.这些运动员成绩的方差是0.0725

10.V4的算术平方根为（）

A.+72B.y/2C.±2D.2

11.某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有7名学生报名参加班级选拔赛，他们的选拔赛成绩各不相同，现

取其中前3名参加学校比赛.小红要判断自己能否参加学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这7名学生

成绩的（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

12.如图在AA5C中，AC=BC,过点C作垂足为点。，过。作Z>E〃5c交AC于点E,若30=6,AE

=5,则sinZEDC的值为（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.因式分解：3/—12=.

14.如果m,n互为相反数，那么|m+n-2016|=.

15.在RtAABC中，ZC=90°,sinA2=—,那么cosA=.

16.1017年11月7日，山西省人民政府批准发布的《山西省第一次全国地理国情普查公报》显示，山西省国土面积

约为156700kmi,该数据用科学记数法表示为_________km1.

17.若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为.

18.科学家发现，距离地球2540000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近.其中2540000用科学记数法表示为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）在△ABC中，已知AB=AC,ZBAC=90°,E为边AC上一点，连接BE.如图1,若NABE=15。，O为

BE中点，连接AO,且AO=1,求BC的长；如图2,D为AB上一点，且满足AE=AD,过点A作AFLBE交BC于

点F,过点F作FGLCD交BE的延长线于点G,交AC于点M,求证：BG=AF+FG.

EG

D

图1图2

20.(6分)嘉兴市2010〜2014年社会消费品零售总额及增速统计图如下:

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)求嘉兴市2010~2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数.

(2)求嘉兴市近三年(2012〜2014年)的社会消费品零售总额这组数据的平均数.

(3)用适当的方法预测嘉兴市2015年社会消费品零售总额(只要求列出算式，不必计算出结果).

21.(6分)已知：如图，在半径为2的扇形中，NAO3=90°°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA

(2)若E是弧AB的中点，求证：BE2=BO*BCi

(3)联结CE,当ADCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长.

22.(8分)在4人8(2中,/人,/8都是锐角,且51皿=^^118=白八8=10,求4人8(：的面积.

23.(8分)如图，AB是。。的直径，CD与。O相切于点C,与AB的延长线交于D.

(1)求证：AADC^ACDB；

3

(2)若AC=2,AB=-CD,求。O半径.

2

24.(10分)如图，点D,C在BF上，AB〃EF,ZA=ZE,BD=CF.求证：AB,=EF.

25.(10分)随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市

旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：

某市2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图

人数万人

A

(1)2017年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客—万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是一，

并补全条形统计图.

(2)根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人

会选择去E景点旅游？

(3)甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说

明，并列举所用等可能的结果.

26.(12分)如图，在AABC中，ZCAB=90°,ZCBA=50°,以AB为直径作。。交BC于点D,点E在边AC上,

且满足ED=EA.

(1)求NDOA的度数；

(2)求证：直线ED与。O相切.

27.(12分)如图，在。。中，A3是直径，点C是圆上一点，点。是弧8c中点，过点。作。。切线£>/，连接AC

并延长交。尸于点E.

(1)求证：AE±EF；

(2)若圆的半径为5,80=6求AE的长度.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解析】

根据数轴上点的位置确定出“，方，c的范围，判断即可.

【详解】

由数轴上点的位置得：a<b<Q<c,

:・acVbc,\a-b\=b-a,--c,a-c<ib-c.

故选A.

【点睛】

考查了实数与数轴，弄清数轴上点表示的数是解本题的关键.

2、B

【解析】

连接BD,利用直径得出NABD=65。，进而利用圆周角定理解答即可.

【详解】

.,.ZABD=90°-25°=65°,

.,.ZAGD=ZABD=65°,

故选B.

【点睛】

此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出NABD=65。.

3、A

【解析】

作出反比例函数丫二-3三的图象（如图），即可作出判断：

3

・・・反比例函数y=-巳的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，且当xVl时，y>l；当时，y<l.

x

，当X1VX2VIVX3时，y3<yi<yi.故选A.

4、D

【解析】

根据全等三角形的性质和已知图形得出即可.

【详解】

解：,:AMNP经AMEQ,

...点。应是图中的。点，如图，

故选：D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，

对应边相等.

5、C

【解析】

首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线a的距离为d,若d<r,则直线与圆相交;若d=i•，则直线与圆相切;若d>r,

则直线与与圆相离.

【详解】

Vx2-4x-12=0,

(x+2)(x-6)=0,

解得：xi=-2(不合题意舍去)，X2=6,

,/点O到直线1距离是方程X2-4X-12=0的一个根，即为6,

•*.点O到直线1的距离d=6,r=5,

•*.d>r,

二直线1与圆相离.

故选：C

【点睛】

本题考核知识点：直线与圆的位置关系.解题关键点：理解直线与圆的位置关系的判定方法.

6、D

【解析】

根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据平均数的计算公式求出平均数即可

【详解】

•••4出现了2次，出现的次数最多，

•••众数是4；

这组数据的平均数是：(4+8+4+6+3)4-5=5；

故选D.

7、B

【解析】

,.<9<11<16,

•••3<VTT<4,

，1<而-2<2

故选B.

8、D

【解析】

根据k>0,k<0,结合两个函数的图象及其性质分类讨论.

【详解】

分两种情况讨论：

①当k<0时，反比例函数y=8,在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向上下与y轴交点在原点下方，D符合;

X

②当k>0时，反比例函数y=K,在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符.

x

分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D.

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点.

9、B

【解析】

根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案.

【详解】

由表格中数据可得：

4、这些运动员成绩的众数是2.35,错误；

B、这些运动员成绩的中位数是2.30,正确；

C、这些运动员的平均成绩是2.30,错误；

D、这些运动员成绩的方差不是0.0725,错误；

故选用

【点睛】

考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程

度.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是

用来衡量一组数据波动大小的量.

10、B

【解析】

分析：先求得〃的值，再继续求所求数的算术平方根即可.

详解：-^4=2,

而2的算术平方根是力，

的算术平方根是企，

故选B.

点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误.

11、B

【解析】

由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，只需知道中位数

即可.

【详解】

由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，故应知道中位数

是多少.

故选B.

【点睛】

本题考查了统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键.

12、A

【解析】

由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,由AE=5,DE〃BC知AC=2AE=10,

ZEDC=ZBCD,再根据正弦函数的概念求解可得.

【详解】

•.•△ABC中，AC^BC,过点。作CDJ_AB,

：.AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,

；AE=5,DE//BC,

：.AC=2AE=1Q,ZEDC=ZBCD,

BD63

smZ.EDC=sinZBCD-.......=—=—,

BC105

故选：A.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质

等知识点.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、3(x-2)(x+2)

【解析】

先提取公因式3,再根据平方差公式进行分解即可求得答案.注意分解要彻底.

【详解】

原式=3(x2-4)=3(x-2)(x+2).

故答案为3(x-2)(x+2).

【点睛】

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.

14、1.

【解析】

试题分析：先用相反数的意义确定出m+n=0,从而求出|m+n-1|,*.'m,n互为相反数，...m+nu。，|m+n-1|=|-1|=1；

故答案为1.

考点：1.绝对值的意义；2.相反数的性质.

15、昱

2

【解析】

.a

■:RtAABC中，ZC=90°,:.sinA=-,

c2

故答案为由.

2

16、1.267X102

【解析】

科学记数法的表示形式为axl°n的形式，其中lS|a|V10,n为整数.确定n的值是易错点，由于126700有6位，所以

可以确定n=6-1=2.

【详解】

解：126700=1.267x102.

故答案为1.267x102.

【点睛】

此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

174G

3

【解析】

根据题意画出草图，可得OG=2,ZCMB=60°,因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.

【详解】

解：如图，连接Q4、OB,作OGLAB于G；

则OG=2,

；六边形ABCDEF正六边形，

.Q4B是等边三角形，

：.ZOAB=60°,

八，OG24A/3

•••吁;^»丁，

~2

二正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为逑.

3

故答案为迪.

3

【点睛】

本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题

思路.

18、2.54x1

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为axW的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n

是负数.

【详解】2540000的小数点向左移动6位得到2.54,

所以，2540000用科学记数法可表示为：2.54x1,

故答案为2.54x1.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a卜10,n为整数，表示时

关键要正确确定a的值以及n的值.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(1)(2)证明见解析

【解析】

(1)如图1中，在AB上取一点M,使得BM=ME,连接ME.,设AE=x，则ME=BM=2x,AM=AB2+AE2=BE2,

V-

可得方程(2X+、TX)2+X2=22,解方程即可解决问题.

(2)如图2中，作CQ1AC,交AF的延长线于Q,首先证明EG=MG,再证明FM=FQ即可解决问题.

【详解】

解：如图1中，在AB上取一点M,使得BM=ME,连接ME.

在RtAABE中，VOB=OE,

.,.BE=2OA=2,

VMB=ME,

.\ZMBE=ZMEB=15°,

AZAME=ZMBE+ZMEB=30°,设AE=x,贝！|ME=BM=2x,AM=卒

,.,AB2+AE2=BE2,

；.X=r,(负根已经舍弃)，

i

/.AB=AC=(2+.7)*.」，

ABC=V-，AB=v-+1.

作CQ±AC,交AF的延长线于Q,

VAD=AE,AB=AC,ZBAE=ZCAD,

AAABE^AACD(SAS),

.\ZABE=ZACD,

VZBAC=90°,FG±CD,

AZAEB=ZCMF,

AZGEM=ZGME,

，EG=MG,

VZABE=ZCAQ,AB=AC,ZBAE=ZACQ=90°,

.,.△ABE^ACAQ(ASA),

ABE=AQ,ZAEB=ZQ,

/.ZCMF=ZQ,

；NMCF=NQCF=45。，CF=CF,

/.△CMF^ACQF(AAS),

；.FM=FQ,

:.BE=AQ=AF+FQ=AF=FM,

VEG=MG,

BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

20、(115)这组数据的中位数为15.116%；(116)这组数据的平均数是11511609.116亿元；(15)116016年社会消费

品零售总额为11515167x(115+15.116%)亿元.

【解析】

试题分析：(115)根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案；

(116)根据平均数的定义，求解即可；

(15)根据增长率的中位数，可得116016年的销售额.

试题解析：解：(115)数据从小到大排列115.16%,116.5%,15.116%,16.115%,5.7%,

则嘉兴市1160115〜116015年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数是15.116%；

(116)嘉兴市近三年(1160116〜116015年)的社会消费品零售总额这组数据的平均数是：

(6.16+7.6+515.7+9.9+1150.0)4-5=11575.116(亿元)；

(15)从增速中位数分析,嘉兴市116016年社会消费品零售总额为1150x(115+15.116%)=16158.116716(亿元).

考点：115.折线统计图；116.条形统计图；15.算术平均数；16.中位数..

3L

21、(2)sinZOCD=-;(2)详见解析；(2)当DCE是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或2g-2.

【解析】

(2)先求出08=2,设得出C0=AO=(M-。。=2-x,根据勾股定理得：(2-x)2--=2求出工，即

2

可得出结论；

(2)先判断出=进而得出NCBE=N5CE,再判断出△OBEsaEBC,即可得出结论；

(3)分两种情况：①当CD=CE时，判断出四边形AOCE是菱形，得出NOCE=90。.在RtAOCE中，0。=0呼-CE2=4

-a1.在RSCO。中，OC2=CD2-OD2^a2-(2-a)2,建立方程求解即可；

②当CZ>=OE时，判断出NZME=NZ>EA,再判断出NOAE=OEA,进而得出NZ>EA=NOEA,即：点。和点。重合，

即可得出结论.

【详解】

(2)VC是半径中点，AOC^-OB=2.

2

•.♦OE是AC的垂直平分线，：.AD^CD.设O0=x,：.CD=AD^OA-0D^2-x.

35OD3

在RtAOC。中，根据勾股定理得：(2-X)2-*2=2,,；.CD=~,：.sinZOCD=——=-；

44CD5

(2)如图2,连接AE,CE.

是AC垂直平分线，，AE=CE.

是弧AB的中点，:•AE=BE，--AE=BE,：.BE=CE,：.ZCBE=ZBCE.

连接OE,：.OE=OB,：.ZOBE=ZOEB,：.ZCBE=ZBCE=ZOEB.

BEOB、

'：ZB=ZB,:.△AOBEsA^EBC,：.——=——，：.BE2=B0・BC；

BCBE

(3)AOCE是以CO为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：

①当CZ>=CE时.

是AC的垂直平分线，.,.AO=C。,AE=CE,.,.AZ>=a)=CE=AE,二四边形AOCE是菱形，.."〃人。,二/OCE=90。，

设菱形的边长为a,：.OD=OA-AD=2-a.在RtAOCE中，OC2=OE2-CE2=4-a2.在RtACOD中，OC2=CD2-OD2=a2

-(2-a)2,/.4-a2=a2-(2-a)2,a--2^/3-2(舍)或a=26-2;/•CD-2^/3-2;

②当C0=OE时.

：Z>E是AC垂直平分线，：.AD=CD,：.AD=DE,；.NDAE=NDEA.

连接OE,...04=0^,.,./OAE=NOEA,.•.NOEA=NOE4,...点。和点。重合，此时，点C和点3重合，.,.CZ>=2.

综上所述：当AOCE是以为腰的等腰三角形时，。的长为2或26-2.

E

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线

是解答本题的关键.

22、—73

2

【解析】

根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的值，再利用三角形的面积公式求解.

【详解】

如图：

.'.△ABC为直角三角形，且NC=90。，AB=10,

1

.•.BC=ABsin30°=10x-=5,

2

AC=AB-cos30°=10x=573，

2

•,.SAABC=-AC?BC=—A/3.

22

【点睛】

本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

23、（1）见解析；（2）将

2

【解析】

分析：（1）首先连接CO,根据CD与。O相切于点C,可得:ZOCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得:ZACB=90°,

据此判断出NCAD=NBCD,即可推得小ADC<^ACDB.

(2)首先设CD为x,则AB=32x,OC=OB=34x,用x表示出OD、BD；然后根据4ADC^ACDB,可得:ACCB^CDBD,

据此求出CB的值是多少，即可求出OO半径是多少.

详解：

(1)证明：如图，连接CO,

「CD与。。相切于点C,

/.ZOCD=90°,

；AB是圆O的直径，

/.ZACB=90°,

.,.ZACO=-ZBCD,

VZACO=ZCAD,

/.ZCAD=ZBCD,

在4ADC^ACDB中，

ZCAD=/BCD

ZADC=ZCDB

/.△ADC^ACDB.

(2)解：设CD为x,

33

贝!]AB=—x,OC=OB=-x,

24

VZOCD=90o,

•••OD=7(9C2+CD2=^(1x)2+x2=：X,

531

/.BD=OD-OB=-x--x=-x,

442

由(1)知，AADCs/XCDB,

.ACCD

••=，

CBBD

2_x

即赤二「

-x

2

解得CB=1,

:，AB=J4c2+BC”=亚，

.••OO半径是好.

2

点睛：此题主要考查了切线的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握.

24、见解析

【解析】

试题分析:依据题意,可通过证小A5C之rO来得出AB=EF的结论,两三角形中，已知的条件有即尸,

NA=NE,BD=CF,即3c=OF；可根据AAS判定两三角形全等解题.

证明：VAB//EF,

/.ZB=ZF.

又；BD=CF,

/.BC=FD.

"B=/F

在AABC与△EFD中NA=NE，

,BC=FD

/.△ABC^AEFD(AAS),

/.AB=EF.

25、(1)50,108°,补图见解析；(2)9.6；(3)

【解析】

(1)根据A景点的人数以及百分表进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；先求得A景点所对应的圆心角的

度数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比X360。进行计算即可；根