高三数学一轮复习题型-对数函数（题型战法）（含解析版）

第二章函数

2.5.1对数函数（题型战法）

知识梳理

一对数的概念指数式对数式

指数对数

1.(1)loga1=0；(2)log“a=l(3)=N

客真数

I|

ab=NlogN=b

2.log10N简记作1gN.log«N简记作InN.a

二对数的运算法则底数

⑴积log„(MN)=lognM+loguN⑵商log„一=log„M-log„N

a

⑶幕loguM=a\ogaM（4）换底公式:

logM

log„M=-^—(c>0,c"),

log"

1

推论：bg“〃=

log/,a

三对数函数的图像与性质

（1）定义域是（0，+8）,因此函数图象一定在y轴的右边.

（2）值域是实数集R.

（3）函数图象一定过点（1,0）.

（4）当时，y=bg"X是增函数；当0＜。＜1时，y=bg“x是减函数.

（5）对数函数的图象

（6）对数函数y=log„*和y=l°g]x的图象关于x轴对称.

a

题型战法

题型战法一对数与对数的运算

典例1.计算：

7

⑴Igl4-21g§+lg7-lgl8；

(2)求x的值：logs(lgx)=l.

变式1-1.计算求值

6n

(D(V3xV2)-flp-(-8)；

(2)1gg+lg2+log224+log3A/27-log,3；

(3)已知67=3,求3的值.

([-log?2xlog27+(lgV2+lg>/5)-

变式1-2.计算:4

变式1-3.计算：

In2+ln3

(1)-h3?-；

22

(2)lg2+lg5+21g21g5;

(3)log29.log34；

(4)log428+log)56.

4

⑸lg±+logi9一]og5125_[og4±;

(6)logs^+lgVi00;

(7)71n23+ln9e；

(8)log2^-log31log51.

ZDo7

变式1-4.计算:

2

2

-2e°+1g2二+lg5'+log,4xlog49；

(2)若山％2=1,求2*+2T的值.

题型战法二对数函数的概念

典例2.已知函数①y=4"；②y=log,2；③y=-log3X；④y=10go?6；⑤>=Wx+1；

⑥y=log2（x+l）.其中是对数函数的是（）

A.①②③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

变式2-1.给出下列函数：

①y=贬*；d）y=log3（x-l）；③y=log"）x；（4）j=logex.

3

其中是对数函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式2.2.下列函数是对数函数的是（)

A.y=\nxB.y=ln(x+l)

C.y=logxeD.y=logxv

变式2-3.函数〃x)=(〃+a-5)1og.x为对数函数，则/七)等于()

A.3B.-3C.-log36D.-log38

变式2-4.对数函数的图像过点”（125,3）,则此对数函数的解析式为（）

A.y=log5XB.y=log^AC.y=loglxD.y=logax

题型战法三对数函数的图像

典例3.在同一坐标系中，函数y=2"与y=log?x的大致图象是（）

变式3-1.函数了（》）=，*与g（x）=Tog“x在同一坐标系中的图像可能是（）

变式3-2.如图是三个对数函数的图象，则以6、c的大小关系是（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

变式3-3.已知函数产1吗（》+3）+1（。＞0且"1）,则函数恒过定点（）

A.(1,0)B.(-2,0)C.(0,1)D.(-2,1)

变式3-4.函数、=1。8“（2万-3）+1的图象恒过定点尸，则点P的坐标是（）

题型战法四对数函数的定义域

典例4.函数〃x）=«+ln（2-x）的定义域为（）

A.[0,2）B.（—,2）C.[0,+助D.（0,2）

变式4-1.使式子log®i)(3-x)有意义的x的取值范围是()

11L2

A.x>3B.x<3C.-<x<3D.-<x<3且XH—

333

变式4-2.函数y=J10g卢T)的定义域为()

A.[2,+<»)B.(-8,2]

C.[1,2]D.(1⑵

变式4-3.函数/"卜仙付,"镇上定义域为()

A.(1,2)B.(In2,2)C.(ln2,l)<j(l,2)D.[ln2,l)u(l,2]

变式44已知函数/（x）=log2宁，〃x+l）的定义域为M,〃2x）的定义域为M

则（）

A.M=NB.McN=0C.MJND.NJM

题型战法五对数函数的值域

典例5.函数y=ln（x-2）+l的值域为（）

A.RB.(1,+℃)C.[1收)D.(2,一)

变式5-1.函数丫=1。4（2'+1）的值域是（）

A.[l,+oo)B.(0,1)C.SO)D.(0收)

变式5-2.函数〃%）=吆（4。2川+11）的最小值是（）.

A.10B.1C.11D.IgU

变式5-3.若函数“力=尸1；（：），『<:的值域为卜3,+8）,则〃的取值范围是（）

I-x+2x,0<x<3

变式5-4.已知函数y=log,（f+加）的值域为⑵+00）,则实数机的值为（）

A.2B.3C.9D.27

题型战法六对数函数的单调性

典例6.函数y=l°gl（2x-J）的单调减区间为（）

3

A.（0,1]B.（0,2）C.（1,2）D.[0,2]

6-1./（"=1"|（*+6）

变式函数一/+的单调递增区间是（)

2

A•（别B.C.（-ool）

D.5,+8

变式6-2.已知函数f（x）=log2（x2-4x-5）在（4”）上单调递增，则4的取值范围是

()

A.(-oo,-l]B.(-00,2]

C.[2,+w)D.[5,+00)

变式6-3.已知函数/（x）=log〃（3-«x）在[0』上是减函数，则。的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,3)

C.(0,3)D.(l,+«))

变式6-4.已知f(x)=<1，；；：：'；*2是(_00,+00)上的减函数，那么q的取值

范围是()

A.I，6B.C.[1,6]D.《

题型战法七比较大小与解不等式

11

典例7.右a=23,Z>=logM3,c=log2-,则()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c

2

3

变式7-1,设〃=log20.3,*=log,-,c=o.4°,则()

25

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

变式7-2.若a=0.6叫fe=log()68,c=log0.80.2,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

变式7-3.不等式1。氏(38+1)<1成立的一个充分不必要条件是()

A.—<x<—B.x<0C.-1<x<-D.0<x<—

3333

变式7-4.设函数f(x)=L-,则满足〃力43的x的取值范围是()

2-log3x,x>1

A.[0,+a>)B.[l,+«>)C.(-a>,0)D.[0,1)

题型战法八对数函数的应用

典例8.人们常用里氏震级也表示地震的强度，4表示地震释放出的能量，其关系

2

式可以简单地表示为M,=；lgE「4.8,2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里

氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.。级地震，则后者释放

的能量大约为前者的（）倍.（参考数据：10°3~2.00,10。，=5.01）

A.180B.270C.500D.720

变式8-1.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数

据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明：C与卬满足C=Wlog2（l+云），

其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，白为信噪比.当信

N

噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W,而将信噪比?从

N

1000提升至4000,则C大约增加了（）（附：lg2"0.3010）

A.10%B.20%C.30%D.40%

变式8-2.中国的5G技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：

C=Wlog2（l+^）.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C（单位：bit/s）

取决于信道宽度W（单位：HZ）、信道内信号的平均功率S（单位：dB）、信道内部

的高斯噪声功率N（单位：dB）的大小，其中力叫做信噪比，按照香农公式，若信

道宽度w变为原来2倍，而将信噪比揖从1000提升至4000,则C大约增加了（）

N

（附:lg2«0.3）

A.110%B.120%C.130%D.140%

变式8-3.声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足

X

/（x）=10xlg——.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音

1x10

的等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）

A.105倍B.IO8倍C.10"）倍D.10%倍

变式8-4.某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产

20%,从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知吆2=0.3010,

lg3=0.4771）（）

A.2019年B.2020年C.2021年D.2022年

题型战法九反函数

典例9.已知函数/（x）=log2X,其反函数为（）

A.B.〃x）=k>g2T

C.=&D.〃x）=2"

变式9-1.函数/⑴毛丁+心一刀的反函数是（）

A.y—，2工-2（1<x<3）B.y=」2x-2（x>3）

C.y=-^2x-2（l<x<3）D.y=-y/2x-2（x>3）

变式9.2.设函数/。）=优+人（〃>0,且awl）的图象过点（04），其反函数的图象

过点（2/），则等于（）

A.2B.3C.4D.5

变式93已知函数〃力=嚏31与g（x）的图像关于>'=%对称，则g（T）=（）

A.3B.1C.1D.-1

变式9-4.与函数y=g］的图象关于直线丫=%对称的函数是（）

A.y=4*B.y=4~x

C.y=log"D.y=log4X

第二章函数

2.5.1对数函数（题型战法）

知识梳理

一对数的概念指数式对数式

指数对数

1.(1)log,,1=0；(2)10g„a=1(3)=N

幕真数

I|

b

2.logN简记作1gN.log-N简记作InN.a=NlogaN=b

l0II

二对数的运算法则底数

(1)积log„(MN)=log„M+logwN(2)商logn—=log„M-log„N

(3)幕log„Ma=alog“M（4）换底公式:

1

推论：bg，=

log—

三对数函数的图像与性质

（1）定义域是（0，+8）,因此函数图象一定在y轴的右边.

（2）值域是实数集R.

（3）函数图象一定过点。,0）.

（4）当。>1时，y=log"X是增函数；当o<a<i时，y=log〃x是减函数.

（5）对数函数的图象

（6）对数函数y=10gux和y=log」X的图象关于X轴对称.

a

题型战法

题型战法一对数与对数的运算

典例1.计算：

7

(I)lgl4-21g-+lg7-lgl8；

(2)求x的值:log5(lgx)=l.

【答案】(1)0;

⑵10、

【解析】

【分析】

(1)根据对数的运算法则计算即可；

(2)根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.

⑴原式=lg(2x7)—2(lg7—电3)+吆7-怆(332)

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2

=0；

5

(2)log5(lgx)=1=>Igx=5=>x=10.

变式1-L计算求值

⑵lgg+lg2+log224+log3V27-log23；

(3)已知6"=2"=3,求的值.

ab

【答案】(1)44

吗

(3)1

【解析】

【分析】

(1)由指数的运算法则计算

(2)由对数的运算法则计算

(3)将指数式转化为对数式后计算

3

(1)(g2-(-8)°-32X23-32><2-1=72-27-1=44；

(2)1g；+1g2+log,24+log,V27-log,3

3

=-lg2+Ig2+log2(3x8)+log332-log23

39

=log23+3+--log23=—；

(3)<7=log63,/?=log23,

则，=log36,7=log32；

ab

所以1-：=10836-10832=10833=1.

ab

I

3

变式1-2.计算：j-log,2xlog427+(lgV2+lg>/5)-

【答案】-；.

【解析】

【分析】

根据指数与对数的运算性质即可求解.

【详解】

322

原式=⑺-log32xlog,23+^lg2+lg5

i31z

=--log32x^xlog23+-x(Ig2+lg5)

i3i

=--^X(log32xl0g23)+2Xlg10

131

=--------1—

222

-2,

变式1・3.计算：

In2+In3

⑵lg22+lg?5+21g21g5；

(3)log291og34；

⑷log*28+log,56.

(5)lg-^+log|9-log5125-log4*.

(6)log8^+lg</100;

(7)>/ln23+ln9e：

⑻log?~~'loSs~•

【答案】⑴g

(2)1

(3)4

(4)-g

(5)-|

(6)-1

(7)In3e

(8)-12

【解析】

【分析】

根据指数哥的运算性质及换底公式逐一计算即可.

In2+ln3ln6_1

⑴解:

In3621n6-2；

⑵解：原2+Ig?5+21g21g5=(1g2+1g5)2=1；

⑶解：Iog29-bg34=21og23-(21og32)=4；

(4)解：log428+log।56=log428-log456=log4；=log??’=-|log22=-1.

(5)解：怆焉+Iogi9-log5125-log$

-23-5

=lglO+log1W-log55-log222

2

9

2

⑹解：logJ+lgM而

55

=log2,2-+lgl0

⑺解：＞/ln23+ln9e=Vln23+21n3+l=J(l+ln3[=1+In3=In3e；

(8)解：log2-log31-log,

5

=log,5"log32"-log,3"

=-121og25-log321og53=-12.

变式1-4.计算:

二

⑴(^了一2e°+1g2-2+1g5-2+log34xlog49；

(2)若x\og32=1,求2'+2T的值•

【答案】⑴:

4

理

【解析】

【分析】

(1)根据分数指数累、对数的运算法则及换底公式计算可得;

(2)根据换底公式的性质得到x=log?3,再根据指数对数恒等式得到2、,即可得解:

2

3-22

(1)解：fA')_2e°+1g2+1g5+log34xlog49

2

=(T)'_2_21g2-2l85+10g322x1082232

2

3Q1

-2-2(lg2+lg5)+2log32-log23=--2-2+2=—

⑵解:.xlog32=l,x=——=log23,

10&31

2,=2晦”=3,.•.2r+2-r=3+-=—

33

题型战法二对数函数的概念

典例2.已知函数①y=4-'；②y=log,2；③"-噫x；©y=log026；⑤y=log?x+1；

⑥y=log2（x+l）.其中是对数函数的是（）

A.①②③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

【答案】C

【解析】

【分析】

依据对数函数的定义即可判断.

【详解】

根据对数函数的定义，只有符合），=1。&》（“>0且。*1）形式的函数才是对数函数，

其中X是自变量，。是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位

置，不是对数函数；③中）'=一脸》=%"是对数函数；④中产1。勖石=1%”，

是对数函数：⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.

故选：C.

变式2-1.给出下列函数：

①"loggY；②y=log3（x-l）；③y=log“帚；④y=iog«x.

3

其中是对数函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数的特征判断即可得答案.

【详解】

①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量X；

③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.

故选:A.

变式2-2.下列函数是对数函数的是（）

A.y=lnxB.y=ln（x+l）

C.y=logxeD.j?=logxr

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数的定义判断.

【详解】

A是对数函数，B中真数是x+1,不是x,不是对数函数，C中底数不是常数，不是

对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数.

故选：A.

变式2-3.函数〃x）=（/+a-5）log.x为对数函数，则等于（）

A.3B.-3C.-log,6D.-log38

【答案】B

【解析】

【分析】

可以先根据对数函数的性质来确定。的取值范围，再带入（得出结果.

O

【详解】

因为函数f（x）为对数函数，

所以函数“X）系数为1.即4+°_5=1,即。=2或-3,

因为对数函数底数大于0,

所以4=2,/（x）=log2x,

所以吧7.

【点睛】

对数函数的系数等于一、真数大于（）、底数大于0且不等于1.

变式2-4.对数函数的图像过点”（125,3）,则此对数函数的解析式为（）

A.y=log5XB.C.y=loglxD.y=logu

【答案】A

【解析】

【分析】

设对数函数y=logax（a>0,且存1），将点代入即可求解.

【详解】

设函数解析式为y=logax（a>0,且W1）.

由于对数函数的图像过点M（125,3）,

所以3=logal25,得a=5.

所以对数函数的解析式为y=k）g5X.

故选：A.

题型战法三对数函数的图像

典例3.在同一坐标系中，函数y=2,与y=log2X的大致图象是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.

【详解】

由指数函数与对数函数的单调性知：y=2',在R上单调递增，>=1。82》在（0，口）上单

调递增，只有B满足.

故选：B.

变式3-1.函数〃x）=〃7与gGb-logaX在同一坐标系中的图像可能是（）

【答案】B

【解析】

分别讨论a>1和0<〃<1时函数"X）=尸与g（x）=-log„x在的单调性和所过定点，利

用排除法即可求解.

【详解】

由对数和指数函数的性质可得。>0且awl,

当时，过点（0,1）在R上单调递减，8（力=-1084％过点（1,0）在（0,+8）单

调递减，所以排除选项C,

当0<a<1时，/（X）=4过点（0,1）在R上单调递增，g（X）=-log.X过点（1,0）在（0,+8）

单调递增，所以排除选项AD,

故选：B.

变式3-2.如图是三个对数函数的图象，则服〃、c的大小关系是（）

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数函数的图象与单调性确定大小.

【详解】

y=logax的图象在（0,+oo）上是上升的，所以底数”>1,函数y=loghx,y=logcx

的图象在（0,+oo）上都是下降的，因此。，cG（0,1）,又易知c>b,故a>c>

b.

故选：D.

变式3-3.已知函数y=log“（x+3）+l（a>0且"1）,则函数恒过定点（）

A.（1,0）B.（-2,0）C.（0,1）D.（-2,1）

【答案】D

【解析】

【分析】

利用对数函数过定点求解.

【详解】

令x+3=l,解得x=-2,y=1,

所以函数恒过定点

故选：D

变式3-4.函数y=log“（2x-3）+1的图象恒过定点乙则点P的坐标是（）

A.（2,1）B.（2,0）C.（2,-1）D.（1,1）

【答案】A

【解析】

【分析】

令真数为1,求出x的值，再代入函数解析式可得定点P的坐标.

【详解】

令2x-3=l,可得x=2,此时y=log,J+l=l,故点P的坐标为（2,1）.

故选：A.

题型战法四对数函数的定义域

典例4.函数f（x）=«+ln（2-x）的定义域为（）

A.[0,2）B.S，2）C.[0,+8）D.（0,2）

【答案】A

【解析】

【分析】

由对数函数的性质和二次根式的性质求解.

【详解】

由题意，、，解得04x<2.

[2-x>0

故选：A.

变式4-1.使式子log0*f（3-x）有意义的x的取值范围是（）

1广2

A.x>3B.x<3C.-<x<3D.3Vx<3且

3

【答案】D

【解析】

【分析】

对数函数中，底数大于0且不等于1,真数大于0,列出不等式，求出x的取值范围.

【详解】

3x-l>0

12

由题意得：3x-Ul,解得：且

3-x>0'

故选：D

变式4-2.函数丫=依记"的定义域为()

A.[2,+<»)B.(-8,2]

C.口⑵D.(1,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

根据根式、对数函数的性质有。即可得定义域.

【详解】

由题设,logl(x-1)-°,即0<x-lVl,可得1<%W2.

2

所以函数定义域为(1,2].

故选：D

变式4-3.函数〃x)=ln(e，-2)+惇上定义域为()

A.(1,2)B.(In2,2)C.(ln2,l)u(l,2)D.[In2,l)u(l,2]

【答案】C

【解析】

【分析】

根据使函数有意义得到不等式组，解得即可;

【详解】

解:因为=

ex-2>0

所以，x-lwO,解得ln2vX<2且xwl,

2—x>0

所以函数的定义域为(ln2,l)u(l,2)；

故选：C

变式4-4.已知函数f(x)=log2?,〃x+l)的定义域为M,/(2”的定义域为N,

则()

A.M=NB.McN=0C.MJND.NJM

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出/(X+1)的定义域为M和/(2X)的定义域为N即可求解.

【详解】

/(x+l)=log2—y,则知={41<x<0|,

/(2x)=log2-!-^-,贝ljN={rO<x<：},所以McN=0,

故选：B.

题型战法五对数函数的值域

典例5.函数y=ln(x-2)+l的值域为()

A.RB.(1,-KO)C.[1,+<»)D.(2,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

由y=山》的值域为R可得y=ln(x-2)+l的值域为R.

【详解】

由对数函数y=Inx的值域为R，向右平移2个单位得函数乂=ln(x-2)的值域为R,

贝y=ln(x-2)+l的值域为R,

故选：A.

变式5-1.函数y=log2(2*+l)的值域是()

A.[l,+oo)B.(0,1)C.SO)D.(0收)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数函数的性质可求原函数的值域.

【详解】

设r=2'l,则t=2*+l>l,故log2(2'+l)>0,

故J=log2(2*+1)的值域为(0,+oo),

故选：D.

变式52函数”》)=馆(4'-2向+11)的最小值是().

A.10B.1C.11D.IgU

【答案】B

【解析】

【分析】

利用换元法，令t=4'-2，M+ll,则y=lgr,先求出r的范围，从而可求出函数的最小

值

【详解】

设r=4*-2"|+11,则y=igr,

因为/=4*-2m+11=(2*)2-2.2'+11=(2*-1)2+10210,

所以y=lg/±lglO=l,所以〃x)=lg(4'-2向+11)的最小值为1,

故选：B

变式5-3.若函数f(x)=的值域为-3,+巧，则a的取值范围是()

A.[-e3,O)B.-'，-，)C.-e\-^D.1,，-口

【答案】C

【解析】

【分析】

求出当0W3和a4x<0时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可

【详解】

当0<x<3时，f(x)=—x"+2x=—(x—1)~+1€[—3,1]

当〃Wx<0时，/(%)=-ln(-x)e[-In(-tz),+co)

要使/(x)的值域为[-3,+8)

则-3M—ln(—tz)41,-e*4a4—

故选：C

变式54已知函数尸1%位+，〃)的值域为[2,y)，则实数加的值为()

A.2B.3C.9D.27

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对数型复合函数的性质计算可得；

【详解】

解：因为函数yTog3(f+m)的值域为2+8),所以y=*2+机的最小值为9,所以m=9；

故选：C

题型战法六对数函数的单调性

典例6.函数y=l°g|(2x")的单调减区间为()

3

A.(0,1]B.(0,2)C.(1,2)D.[0,2]

【答案】A

【解析】

【分析】

先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单

调性的判定方法，即可求解.

【详解】

由不等式2》-彳2>0,g|Jx2-2x=x(x-2)<0,解得0cx<2,

即函数的定义域为(0,2),

令g(x)=2x-x2,可得其图象开口向下，对称轴的方程为x=l,

当xe(0,l]时，函数g(x)单调递增,

又由函数>=，Oglx在定义域上为单调递减函数，

3

结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数yT°g，(2x-Y)的单调减区间为(0J.

3

故选：A.

变式6-1.函数/("=1。81(-/+*+6)的单调递增区间是()

2

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出函数的定义域，进而根据“同增异减''求得答案.

【详解】

由题意，-x2+x+6>0nx2_x_6<0nxe(_2,3),〃x)=log|一(*-；)+y，按照“同

增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是(；，3).

故选：A.

变式6-2.已知函数/(月=1。82卜2-4%-5)在(。,物)上单调递增，则a的取值范围是

()

A.(―°°,—1]B.(―°°,2]

C.[2,+oo)D.[5,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】

复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减，即可得到答案.

【详解】

由f-4尸5>0,得x<-l或x>5,即函数〃劝的定义域为(a,-1)(5,+«0,

令r=f-4x-5,则f=(x-2)2-9,所以函数/在(-°o,T)上单调递减，

在(5,+8)上单调递增，又函数y=lgf在(0,3)上单调递增，

从而函数/*)的单调递增区间为(5，+8),由题意知(a,+8)=(5,+8),a25.

故选：D.

变式6-3.已知函数/(》)=1。8“(3-01)在[0,1]上是减函数，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(0,3)D.(1,3)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复合函数的单调性同增异减求得。的取值范围.

【详解】

由于。>0且awl,所以丫=3-如为减函数，

根据复合函数的单调性同增异减可知”>1.

一I3-6EX1>0

所以{=>l<a<3.

[a>\

故选：B

变式6-4.已知〃x)=:一尸是(—同上的减函数，那么。的取值

范围是()

A.|,6B.|，+8)C.[1,6]D.1,|

【答案】A

【解析】

【分析】

根据f(x)的单调性列不等式组，由此求得。的取值范围.

【详解】

因为f(x)=，：JI；；；；；’?是(f+00)上的减函数,

[J2

2

z5

所以r>l,解得

4-2(2«-l)+3a>0

故选：A

题型战法七比较大小与解不等式

典例7.若a=23,/?=log„3,c=log,^,则()

A.c<b<aB.c<a<hC.b<a<cD.a<b<c

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可.

【详解】

因为2；>2°=1,0=10gli1<log.3<log.兀=l,log£<log,1=0,

所以cvb<a,

故选：A

,2

变式7・1.设。=log2().3,*=log,-,c=0.4%贝IJ()

25

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可.

【详解】

25

3

因为a=log?0.3<log?1=0,b=log1-=log2->log,2=1,o<c=o.4°<0.4°=1,

所以有，

故选：B

变式7-2.若。=0.6°8,fe=log068,c=*0.2,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数函数与指数函数的性质判断.

【详解】

由对数函数和指数函数性质得：

10go.68<0,logos°2>logos0.8=1,0<0.6°*<1，

所以匕<a<c.

故选：D.

变式7-3.不等式bg2（3x+l）<l成立的一个充分不必要条件是（）

A.—<x<—B.x<0

33

C.-l<x<-D.0<x<-

33

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件.

【详解】

由log?(3x+1)<1o一飞<x<q,由于0<x<3=>—Q<x<钎jfi]——<x<~^0<x<—,

故不等式1。无(3%+1)<1成立的一个充分不必要条件是0<x<g,A选项是充要条件，

B选项是既不充分也不必要条件，C选项是必要不充分条件.

故选：D.

3|_Jtx<1

变式74设函数外力=；；一J则满足/(x)W3的x的取值范围是()

2-log,x,x>\

A.B.[1,+«))C.(f0)D.[0,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

分和x>l两种情况解不等式即可

【详解】

当xMl时,由/(x)43,得3-43,得1-xVl,解得04x41,

当x>l时，由〃x)W3,得2-砥/43,得所以x>l,

综上，x>0,

故选：A

题型战法八对数函数的应用

典例8.人们常用里氏震级也表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系

式可以简单地表示为M，=：lgE「4.8,2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里

氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震,则后者释放

的能量大约为前者的()倍.(参考数据：10°3~2.00,10。，=5.01)

A.180B.270C.500D.720

【答案】C

【解析】

【分析】

设前者、后者的里氏震级分别为M；,前者、后者释放出的能量分别为£、E",

根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得.

【详解】

设前者、后者的里氏震级分别为M,'、M；,前者、后者释放出的能量分别为£、E",

则其满足关系M：=-lg反-4.8和M；=-lgE；-4.8,

两式作差可以得到M；-1gE；,,

即与=IO27,所以邑=IO27=IO34-10°3«500,

耳Ex

故选：C.

变式8-1.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数

据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与卬满足C=W10g式l+q）,

其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，［为信噪比.当信

N

噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W,而将信噪比?从

N

1000提升至4000,则C大约增加了（）（附：1g2ao.3010）

A.10%B.20%C.30%D.40%

【答案】B

【解析】

【分析】

先计算方=1000和1=4000时的最大数据传输速率G和G，再计算增大的百分比

与务即可.

【详解】

当士=1000时,G=Wlog，1001«Wlog1000.

N2

当士=4000时，G=Wlog.4001log.4000.

N

C2-C}C21W\og24000t=lg4000Ig4+lgl0001

所以增大的百分比为:-

C,~~C~~lVlog21000-IglOOOIglOOO

lg4=2lg2g2x0.3Q10c02=2（）%

IglOOO33

故选：B.

变式82中国的5G技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式:

C=Wlog?（1+得）.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C（单位：bit/s）

取决于信道宽度W（单位