陕西省部分学校2024届高三年级下册二模考试数学试题(文)（解析版）

陕西省部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题（文）

一、选择题

1.复数i«+i）的虚部为（）

A.4B.4iC.-1D.-i

（答案XA

K解析X由题意得i（4+i）=—l+4i,故复数i（4+i）的虚部为4,故选：A.

2.若2e｛x|依2+3%+。2_3>（）｝,则。的取值范围为（）

A.（-3,-1）B.[-3,-1]

C.-H»）D.（-<»,-3）LJ（-1,+CO）

[答案XD

K解析X由题意知，当a=0时，｛%|依2+3%+。2-3>0｝可变为｛尤1%>1｝,符合题意;

当a/0时，由2€｛为|+3%+。—-3>0｝,得ax22+3x2+q2_3>0,

即/+4々+3>0，解得a<—3或。>一1且a#0；

综上，实数a的取值范围为（—8,—3）。（—1,+8）.故选：D.

3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

/输出s/

（答案IC

（解析可模拟程序的运行，可得:

左=0,s=2,不满足条件,

k=2,s=L不满足条件,

3

3

左=4相“不满足条件,

4

k=6,s=—,满足条件,

7

…4

输出§=,

故选：C

4.某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用分层抽样的方法从这些人

中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生比护士少（）

A.19人B.18人C.17人D.16人

（答案』C

K解析』由题意知某医院有医生750人，护士1600人,

用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本,

750

则样本中，医生抽取x50=15（人）,

750+1600+150

1600

护士抽取x50=32（人）,

750+1600+150

故样本中，医生比护士少17人,

故选：C

5.已知Q=0.2°3,b=cos2,c=lgl5,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

K答案』c

K解析1T0<O,203<0.2°=1，cos2<cos^=0,lgl5>lgio=l,

人＜4＜。.故选：仁

6.已知｛%｝为等比数列，且。8=6,则死裙=（）

A.216B.108C.72D.36

(答案』A

k解析』设等比数列｛%｝的公比为a,

由题意。8-"1/-6,

所以‘a；=(〃]/)=63=216.

故选：A

7.已知曲线y=lnx在点(1,0)处的切线与圆C：/+y2=r2&>o)相切，则。的半径为

()

A.J2B.1C."D.1

22

K答案1c

(解析工由y=lnx,得了=!，故切线的斜率左=yLT=1，

x

所以曲线y=lnx在点(1,0)处的切线方程为y=x-L

又因为，=彳-1与圆UJ+J?=/相切，

所以C的半径厂=?=42.故选：C.

412

8.已知O为坐标原点，抛物线Uy?=2px(〃>0)的焦点为RM是。上一点，MF垂直于

x轴，N为x轴上一点，且若.OMV的面积为45,则〃=()

A.3B.4C.6D.8

K答案1C

K解析X由题意知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸(吃,0),

由于A/F垂直于x轴，故令x=%，代入V=2内(°〉0)得、=±。，

不妨设M在第一象限，则Mg,。)，

由于MVLOAf,故肱V的斜率为k°M

P_

2

则MN的方程为y—p=T无一令＞=0,得丫=\~,即又子。），

由二QWN的面积为45,得一*|。8|*|加/|=45,

2

即—xp=90,:.p=6,

2

故选：C

9.在三棱锥P—ABC中，Q4_L平面ABC,AC_LBC,且PA=6，AB=2AC=2,

则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.7兀B.8兀C.28兀D.32K

K答案XA

［解析》由题意，在三棱锥P—A5C中，上4,平面ABC,AC1BC,故将该三棱锥

置于一个长方体中，如图所示：

则体对角线95即为外接球的直径，由于R4=后，AB=2AC=2,

所以BP=百+（百了=币,即外接球的半径R=与,则该三棱锥外接球的表面积为

S=4成2=7JI.

故选：A.

10.已知正项数列｛4｝满足对任意正整数小均有々“=2%1，％”+1=4%”，则咏=

A.22699B.22702C.22705D.22708

（答案』B

k解析力由题意知正项数列｛%｝满足对任意正整数”，均有4“=2a21，%〃+1=4。2〃，

3

故的”+1=8。2,1=84（"f+i=8?%-2）+1=8%（“_"）+]=8%=2"a1,

a

in=2%"-1=2%（"T）+i=2义8"1al=2"一4，

故口2023=a2x1011+1=2、"1,4222=“2x111=2、卬=2C/）,

故—23°33q_2702

233%_

故选：B

22

11.已知双曲线C:二-匕=1的左、右焦点分别为百，工.过工作其中一条渐近线的垂线，

24

垂足为尸，贝U|PK|=（）

A.73B.2月C.2D.4

［答案工B

K解析工双曲线的渐近线方程为町士辰=。，其中。=也*=2,

be

所以黑（G0）到到土法=。的距离为rr—r=人,因止匕|P闾=/?,

|。闾=。，忸闾=5=2,则|。P|=（QB）?=a，

|0尸'+3「一附「lopf+QR2Tp闾2=

12|04|西2\OP\-\OF2\~'

得pK「+p闾2=2（|OPF+|O周2）=2X（2+6）=16,解得p制=26.

）

24

A.1B.eC.eD.e

K答案UD

K解析X由/⑴=(x—2)(e4—可知/⑵wO,

故x/2时，则可得,,

eex-2-l

而与，X2是函数/(x)=(x-2)(e"2_1)—e(e>2+1)的两个零点，

令g(x)=^—,h(x)=——，则g(x)M(x)图象必有两交点

ee'-1

且天，X2是两交点的横坐标，

p~~x4-11+e*-2

由于丸(4-x)==-A(x)，即Mx)的图象关于点(2,0)对称，

e~~x-11-e

2—x

而g(4—尤)=——=-g(x)，即g(x)的图象也关于点(2,0)对称，

e

_90%一2I1

故g(x)=土r上,Mx)=的交点关于点(2,0)对称，则为+巧=4,

eeA-1

故炉+2=e4>

故选：D.

二、填空题

13.已知向量a=(x,2),8=(2,5),若。，匕，则％=.

K答案X-5

K解析1由。，匕，得。力=0，

即2x+2x5=0,解得x=—5.

故K答案》：-5.

14.从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为.

(答案】《

K解析》甲被选中，只需从其余3人中，再选1人，即有C；种方法，

从4人中选2人，共有C：种方法，

C11

所以甲被选中的概率为「二冶二大，

C：2

所以甲未被选中的概率为1-工=工.故K答案》为：-

222

15.先将函数/（x）=sinx图象上所有点横坐标缩短为原来的;（纵坐标不变），再把得到

7T

的曲线向左平移二个单位长度，得到函数g（X）的图象，写出g（X）图象的一条对称轴的方程：

6

x=.

JT

k答案』—（（答案》不唯一）

12

K解析工先将函数/（x）=sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的g（纵坐标不变），得

到丁=$也2工，向左平移聿个单位长度得到g（x）=sinf2x+|j,

jrjrjrKIT

令2x+—=—+E,左eZ,解得x=2+」，左eZ,

32122

JTJT

可取左=0,贝！Ix=±.故（答案》为：—（（答案》不唯一）.

1212

16.降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中，把24小

时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：

日降雨量

(0,10](10,25](25,50](50,100]

/mm

等级小雨中雨大雨暴雨

某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次

降雨过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的则当日的降雨量等级为.

参考公式：圆台的体积v=g（s上+JS上S下+S下）,其中〃为圆台的高，S上，S卜分别为

圆台的上底面、下底面的面积.

1答案》大雨

［解析》由题意知，水桶的上底面半径为H=10cm,下底面半径为厂=4cm,桶深为

h=20cm,

R+rh

则水面半径为rx=---=7cm,水深为//,=—=10cm,

所以水桶水中的体积为V=（兀/+71/J2+兀/）=gxl0（167i+49兀+28兀）=3107icm3,

V310兀

得当日降雨量为r=——=3.1cm=31mm,所以当日的降雨量等级为大雨.

TIR2100兀

故［答案》为：大雨

三、解答题

（-）必考题

17.锐角＜ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos2A+sinCB+C）=1.

（1）求A；

（2）若a=2,b=c,求ABC的面积.

解：（1）因为cos2A+sinCB+C）=l,所以1—Zsii?A+sinA=1,

又sinAwO,所以sinA=L.

2

jr

由JRC为锐角三角形，得A=：.

6

（2）由（1）及余弦定理知/=/+。2—2bccosA=b2+c2—7^c.

,4,1NL

因为a=2,b=c,所以b2=------广，所以ABC的面积S=—6csinA=—=2+V3.

2-V324

18.为了提高市民参观的体验感，某博物馆需要招募若干志愿者对馆藏文物进行整理.已知

整理所需时长y（单位：小时）与招募的志愿者人数x（单位：人）的数据统计如下表：

志愿者人数X12345

整理时长y70m504035

5

（1）若2%=250,求y关于x的线性回归方程歹=添+6；

Z=1

（2）根据（1）中的线性回归方程，若博物馆计划在20小时内完成对文物的整理工作，求

博物馆至少需要招募的志愿者人数.

_n___

附：线性回归方程$=+6中，&=吟----------,a=y-bx.

2—2

Ei=l

5

解：（1）由于X%=250,^70+717+50+40+35=250,/.m=55,

i=l

1+2+3+4+5=3，Y=5。

贝ijx=

5

5

Zx/=1x70+2x55+3x50+4x40+5x35=665,

i=\

5

Jx,2=l2+22+32+42+52=55,

i=l

665-5x3x50

故石==—8.5,3=50+8.5x3=75.5,

55-5x9

故y关于尤的线性回归方程为J=-8.5X+77.5；

（2）令一8.5x+77.5<20,解得工26.76,而xeN*，故光之7,

故博物馆计划在20小时内完成对文物的整理工作，博物馆至少需要招募的志愿者人数为7.

19.如图，在直四棱柱ABC。—A4GR中，底面ABC。为菱形，ZBAD=60，AB=2,

A4j=4J5，E是的中点.

（1）证明：5£>//平面ACE；

（2）求点8到平面的距离.

（1）证明：如图所示，连接5,交AC1于/点，连接EF,

由直四棱柱的性质可知尸是8。及AG的中点，所以所是的一条中位线，

即跖/ABD,又ERu平面AGE,平面AC；E,

所以6。//平面AC]E；

(2)解：如图所示，作交A£>延长线于M,

由直四棱柱的特征易知。。，底面AD3，CMu面AD3,

所以£>i£)_LCM,又2。cAD=£>,£>£>]、ADu平面AD2A，

故CM，面ADD^,因为底面ABCD为菱形，ZBAD=60>AB=2,

所以CM=6,BD=2,AC=26，则AC；=2而,£尸=1,

易知5、2到平面AEG的距离相等，设点B到平面ACE的距离为介，

则匕TEG=DAEC=

^I-I^ci-ADiE=-CMx-AD-DiE=—hx-EF-ACX,

解之得/^亚.

11

nInV

20.己知函数/•(x)=t+-—1.

xe

(1)当。=1时，求/⑺的单调区间；

(2)讨论Ax)零点的个数.

解：(1)当。=1时，/(%)=-+——1,定义域为(0,+8),尸(x)=—=+一=一

xex~xcxe

令f'(x)>0,则%〉e；令_f(x)<0,则0<x<e,

IInY

故/(%)=—+——1的单调递增区间为(e,+s),递减区间为(0,e)；

xe

/、।、aInxi八xlnx八

(2)由/(x)——I-------1=0,得a=x-------，尤>0,

xee

人/、xinx八，/、e-1-lnx八、

令"（x）=%-----,x>0,则夕（%）=----------,（zx〉0）,

ee

当0<x<eeT时，9（x）〉0,°（x）在（0,eeT）上单调递增，

当x>eeT时，9（x）<0,e（x）在卜1,+。）上单调递减，

故9（X）max=。（齐）="一…=e-*I2，

e

又0（x）="（eMx）,4>。,当o<%<ee时，（p{x}>0,当joe©时，（p{x）<0,

e

当x无限趋近于0时，奴尤）无限接近于0,

作出函数0（x）=Me—lnx）,x>0的图象如图:

e

0e'、1

IInx

故当〃《0或〃=6,一2时，y=a与0（%）的图象有1个交点，即/（%）=—+----1有1个

xe

1Inx

零点；当0<a<eE时，、与9（%）的图象有2个交点，即/'（x）=—+----1有2个

xe

1InY

零点；当a>ee—2,丁=〃与。（幻的图象无交点，即/（%）=—+-----1无零点.

xe

22

2i.已知椭圆的左、右焦点分别为耳，F,过点可作％轴的垂

a"b’2

线，并与C交于A,2两点，过点居作一条斜率存在且不为0的直线与C交于M,N两点,

|A5|=3,△耳MN的周长为8.

（1）求C的方程.

（2）记A，4分别为C的左、右顶点，直线4河与直线A5相交于点尸，直线4N与直

5,

线AB相交于点Q,△A尸44和4A044的面积分别为S1，邑，试问法是否为定值？若是，

求出该定值；若不是，请说明理由.

解：（1）将x=-c代入C：「+与=1（。〉6〉0）可得y=±竺，

aba

"1=322

所以〈a'解得。=2,b=B故C的方程为L+2L=I.

,„43

依题可设直线跖V的方程为y=1）,以（%,％），N（x2,y2）,

[22

土匕=]

联立方程组《43-'整理得（3+4/）X2_8/X+4/_I2=0,

J=攵（》一1）,

则为+巧=遥记，X/2止―12

3+4公

易知4(—2,0),4(2,0),

直线A3的方程为x=—1,则直线4〃的方程为>=」3（X+2）,

X]~।L

令》=—1,得以）=』力=史三"，同理可得乂?=二口=―.

%+2%+2x2-2x2-2

左(石-1)

5_/耳一百+21(玉一1)(%2—2)1%—2%一%+2

S2QF1一3左(九2-1)3(%—1)(玉+2)3xxx2-玉+2X2—2

%—2

4-2—6

1x,Xr,-（Xi+%）—x+21oI4“2%1*1

=-1-,1-2!--=-——二X•故U定值，且该定值为7；.

3X［X>+2（X［+々）-3%1-2312K-18鼻9s29