2024年高中数学会考试题与解析

—企人A=1$2">4］B=(xlln%<1)AD_

1.已知集合LJ,II>,则集合A()

A.(-<x>,e)B,(2,e)C.(-00,1)D,(0,2)

【答案】B

【分析】解不等式求得集合A、B,由此求得Ac8.

【详解】2'>4=2?nx>2nA=(2,+oo),

lnx<l=lne=>0<x<e=>B=(0,e),

所以Ac3=(2,e).

故选：B

2.下列函数中，既是偶函数，又是在区间［0,+a)上单调递减的函数为()

A.y=x_,B.y=l-x2C.V=xD.y=x\x\

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义和函数单调性判断选项即可.

【详解】对于A选项，/(%)=-=--=-/(-%),故函数为奇函数，在(0,+8)上是减函数,

X—X

不满足题意，故错误；

对于B选项，y=l—f是二次函数，满足〃尤)=—9+1=一(_力2+1=/(_力，

故y=l-炉是偶函数，在［0,+“)上单调递减，故符合题意，正确；

对于C选项，/(X)=X=-(-X)=-/(-X),故函数为奇函数，在［0,+8)上是增函数，

不满足题意，故错误；

对于D选项，/(%)=x|x|==-/(-X),故函数为奇函数，

工2%〉0

y=x\x\=\；—在［0,+。)上是增函数，不合题意，故错误；

—x,x<0

故选：B

3.设a=logo,33,bc=log23,则().

A.c>b>aB.c>a>bC.a>obD.b>c>a

【答案】A

【分析】确定”,仇c的符号即得解.

【详解】由题得a=logo_33<logo_31=。，

1

0<b=2^<2°=T

c=log23>log22=1,

所以c>6>a.

故选：A

4.在用二分法求方程3，+3x-8=0在(1,2)内近似根的过程中，已经得到

/(1)<0,/(1.5)>0,/(1.25)<0,则方程的根落在区间()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间.

【详解】(1)<0,/(1.5)>0,

在区间(1,1.5)内函数/。)=3工+3尤-8存在一个零点

又,：f(1.5)>0,f(1.25)<0,

在区间(1.25,1.5)内函数f(x)=3H3x-8存在一个零点,

由此可得方程3,+3x—8=0的根落在区间(1.25,1.5)内，

故选：B

5.已知函数丁=4+3+3(。>0,且awl)的图象恒过点p,若角a的终边经过点「，贝|cosa=

().

3344

A.-B.--C.-D.---

5555

【答案】B

【分析】令1+3=0,求得定点，然后再由角a的终边经过点P,利用三角函数的定义求解.

【详解】令1+3=0,则x=—3,y=4,

所以函数y=a'+3+3(。>0,且的图象恒过点P(—3,4),

又角a的终边经过点P,

3

所以COSCL---,

故选：B

2

6.已知函数/(x)=§sin(2x—夕)，(0<0<2句为偶函数，则。的值为()

兀371

A.—B.nD.万或彳

2cT

【答案】D

【分析】由函数/(%)为偶函数可得-0=痴+,左eZ,从而即可求解.

27C

【详解】解：因为函数/■(x)=§sin(2x-e)为偶函数，所以—夕=左乃+万,左eZ,即

(p——kji——,keZ,

因为。<。<2乃，所以°或年，

22

故选：D.

z1xx2-2ar

7.已知/1(x)=；在［1,3］上是减函数，则实数。的取值范围为()

A.B.［1,2］C.[2,3]D,[3,+<»)

【答案】A

【分析】利用复合函数的单调性即可求解.

【详解】令"必―2奴，则”(/)=

因为/(%)在［1,3］上是减函数，由复合函数的单调性知,

函数二=/一2av与人⑴=的单调性相反;

又因为力⑺单调递减,

所以/=必-2必需在［1,3］上单调递增.

函数7=必一2融的对称轴为％=。，所以只需要

故选:A.

e-%-e—X

8.函数〃x)=在［-3,3］上的大致图象为()

x2+l

【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由/（2）＞1时，可排除选项CD,可得出正确答案

【详解】=e所以函数y=/（x）是奇函数，排除选项B,

X+1

2_-2

又/⑵二；〉1,排除选项CD,

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在AABC中,下列关系恒成立的是（）

A.tan（A+B）=tanCB.cos（2A+2B）=cos2C

.（A+B}.C.（A+B}C

C.sinI---I=sin—D.sinI---I=cos—

【答案】BD

【分析】

根据三角形中A+5+C=〃和倍角和半角公式化简求值即可。

【详解】A选项：tan（A+B）=tan（7r-C）=-tanC,不正确；

B选项：cos（2A+2B）=cos（2-C））=cos（-2C）=cos2C,1E5I；

4H.（A+B}.（7i-CyC…匕

C选项：sm[2J=sm1?J=cos万，不正确;

.CA+B}.(n-CyC十立

D选项:sinJ=sm]J=cos5，正确.

故选：BD

【点睛】此题考查三角恒等变化，注意诱导公式和倍角半角公式的使用，属于较易题目。

10.一元二次方程0c2+4%+3=0有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是()

A.(2<0B.u<—1C.<3<1D.—3<。<—2

【答案】BD

【分析】根据方程根的情况，解出等价条件，再利用其真子集是充分不必要条件即得结果.

【详解】一元二次方程依2+4%+3=0有一个正根毛和一个负根吗，

A-16-12a>0

则13c，解得a<0,

xrx2=—<0

、a

则一元二次方程依2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分而不必要条件应为(-8,0)的真子集，故

BD正确，AC错误.

故选：BD.

11.已知函数/(%)=101112%-《)，则()

兀

A./(%)的最小正周期为TB./(x)的定义域为<+左eZ>

CD./(可在上单调递减

【答案】AC

【分析】根据正切函数的周期性、定义域、特殊角的正切值和单调性依次判断选项即可.

【详解】对于A：函数/(x)=tan[2x—弓]的最小正周期T=^,故A正确；

IT]C兀7兀，70kit7L

对于B：由2%wkuH—,k£Z,得九。---1—，kE7J

6223

ATTjr

所以函数/(九)的定义域为卜+卜故B错误；

对于C：/用虫”2又十£|=tan]=5/1圄虫”口十胃虫(葛二百,

，故C正确;

71

对于D：当xe时，2x——e

3’22,6

因为y=tan尤在单调递增,

2'6

所以/(%)在上单调递增，故D错误.

故选：AC.

12.下列说法不正确的是()

Y2_i_3

A.函数/(%)=I的最小值为2.

，？+2

B.已知a>>0,c>。，则a+Z?+c2++

C.函数/(x)=1在定义域上是减函数.

D.若定义在(0,+8)上的函数/(X)为增函数，且/(2m)>/(〃—1),则实数机的取值范围为

(-1,+8).

【答案】ACD

【分析】对A,令t=G+2N血,利用对勾函数的单调性即可求解判断；对B：由

(Vo-#)2+(4a-4c)2+(VF-Vc)2>0即可判断;对C:函数/(%)=-在(-8,0)和(0,+co)上

是减函数即可判断；对D：利用函数是增函数解不等式即可判断.

【详解】由题意，

对A,

在/(%)=中,f(^)=y/x2+2+.,

G+2A/X-+2

令/=6+则y=t+^在［0,+°0)单调递增，

所以y=t+->42+^==—,即函数/(对的最小值为巫,

t7222

故选项A错误;

对B,

因为a>0,b>0,c>0,所以（々¥+（>Ja-Vc）2+（扬-Vc）2>0.

所以a+b-2>/ab+b+c-sfbc+a+c-2^/^>0,即a+b+c>y[ab+>Jbc+y[ac，

故选项B正确；

对C,

函数/（X）=-在（—8,0）和（0,+8）上是减函数，

X

所以选项C错误；

对D,

因为函数/（X）为（0,+8）上的增函数，且

2m>0

所以<m-l>0解得777>1,

2m>m-1

故选项D错误.

故选:ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13已知函数/（x）=]*（2x；l），x>0,则〃〃_2））=.

【答案】1

【分析】根据分段函数的解析式代入即可求值.

[详解]由题意可得了（—2）=2-=g,所以/（/（—2））=d£|=log22=l.

故答案为：1

14.若事函数了（无）=（加2—m―1）尤苏+2”,的图象不经过原点，则实数冽的值为.

【答案】-1

【分析】根据函数/（%）=（m2-m一1）无混+2，”是嘉函数，由疗一根_1=1求得出再图象不经过原点确定.

【详解】因为函数"％）=（病—m―I）/卡?恒是塞函数，

所以机2一根一i=i,解得机=-1或zn=2；

当机=-1时，/（%）=无T,图象不经过原点，满足题意;

当机=2时，/(x)=x8,图象经过原点，不满足题意；

所以用=-1.

故答案为：-1.

15.函数y=Jsinx+；的定义域为.

{rr77r]

【答案】j^2k7r--<x<2k/r+G>

【分析】由sinxN—g,在同一坐标系中作出函数y=sinx,y=—g,利用数形结合法求解.

【详解】因为sin龙+,20,即sinxN-工，

22

在同一坐标系中作出函数y=sinx,y=-1•如图所示：

Ii-[jr77r

所以函数y=Jsinx+-的定义域为j用22》——<x<2k兀+,keZ

I.jr7乃

故答案为：1---<x<2k兀〜----,kGZ

[66

16.如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点。为

正六边形的一个顶点，当点尸第一次落在桌面上时，点P走过的路程为.

P

/

【答案】1+3J71

【分析】根据己知可得正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为(，可得点尸第一次落在桌面上时，点

尸走过的路程为：分别以A,8,C为圆心，为半径，圆心角为q的弧长和，求出三段弧长，即

可得出结论.

详解】

由正六边形的关系可得，AP=2,BP=5

正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为

点尸第一次落在桌面上时，点P走过的路程为:

2

故答案为：(1+寸)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.化简求值：

_2

⑴(27Yi0।2।16

(1)J+71+10g2--log4-'

2sin("一a)+sin—+a\

(2)已知tan】=_2,求(2J的值.

cos(-iz)+sin(a-3")

4

【答案】⑴—；(2)-1.

9

【分析】(1)根据指数与对数的运算公式求解即可；

(2)根据诱导公式，转化为其次问题进行求解即可.

【详解】⑴原式=，）+l+log2|-log21

4…1

=9+1+10822

_4

~9,

2sina+cosa

（2）原式:-------------

cos。一sina

2tana+l

1-tana

=—1.

18.命题P：MVxe[l,2],x2+*4x-«>0，，,命题4：-3xeR,x2+3%+2-«=0,5.

（1）写出命题。的否定命题Y,并求当命题9为真时，实数。的取值范围；

（2）若。和4中有且只有一个是真命题，求实数。的取值范围.

【答案】（1）a>2

（2）。>2或〃<---

4

【分析】（1）根据全称命题的否定形式写出当命题为真时，可转化为（必+X-Q）min<。，当

xe[l,2],利用二次函数的性质求解即可；

（2）由（1）可得。为真命题时。的取值范围，再求解4为真命题时。的取值范围，分。真和4假，。假

和q真两种情况讨论，求解即可

【小问1详解】

由题意，命题0：“Vxe[1,2]，%2十%—〃之0”,

根据全称命题的否定形式，~P：M3%e[l,2],炉+x—a<。，，

当命题为真时，（/+x_a）miii<0,当xe[l,2]

二次函数y+x-a为开口向上的二次函数，对称轴为x=-g

故当x=l时，函数取得最小值，即（必+x—a）min=2-。<0

故实数a的取值范围是a>2

【小问2详解】

由（1）若。为真命题“W2,若。为假命题a>2

若命题夕："ElxeR,Y+3x+2—a=0”为真命题

则A=9—4(2—a)20,解得工

4

故若q为假命题!

4

由题意，〃和4中有且只有一个是真命题，

当，真和q假时，且]<—,故4<—；

44

当。假和0真时，〃>2且[2一,，故〃>2；

4

综上：实数。的取值范围是。>2或a<-,

4

19.已知函数/■（九）=2sin（2x—,..

(1)求“X)的单调递增区间;

JT5九

(2)当xe—时，求/(龙)的最大值和最小值.

7t7C

【答案】(1)——+kn,—+k7i(keZ)

(2)最大值为2,最小值为1

【分析】(1)利用正弦函数的单调性计算即可；

(2)利用三角函数的单调性结合整体代换法计算最值即可.

【小问1详解】

因为/(x)=2sin12x—E],XGR,

由正弦函数的单调性可令一]+2左兀<4]+2左兀(左GZ),

解之得xe-—+kn,—+kn,即/(尤)的单调递增区间为-%+防t,§+E(左eZ)；

【小问2详解】

兀5兀1c7C兀27r

当x£—,—时，2xE—,—,

[_612]6[_63」

由正弦函数的单调性可知：

当2尤_?=1,即x=6时，/(%)取得最小值W=2sin1)=l,

兀2s陪卜2,

当2,4三即x=g时，/(九)取得最大值/

JT5冗

故当工£—时，/(%)的最大值为2,最小值为1.

20.(1)求函数=(k)g2%)2+log2x,；,2的值域；

2

(2)解关于X的不等式：log^(X+1)>loga(3-X)(〃>0,且QW1).

【答案】(1)—；,2；(2)Q>1时，原不等式的解集为｛%|-l<x<g｝；0<〃<1时，原不等式的解集

为{][一1<%<1}.

【分析】⑴令f=log2X，1,1],y=/+/='+g]_1,然后利用二次函数的知识求解即可;

(2)分。>1、0<。<1两种情况，结合对数函数的单调性解出不等式即可.

【详解】⑴令/=log2%，由于xe；,2,则

于是原函数变为y=/2+f='+g]—

y«)图象为开口向上的抛物线，对称轴/=—；,且[一；]一(一1)<1一

故当♦=-4,y取最小值一J_；当》=1时，y取最大值2.

24

所以原函数的值域为-!，2.

4

(2)当a>l时，原不等式可化为:

3-->o

)，

尤+1>3—x

一^/^<x<y/3

解得1<x<6.

x>1或％<-2

故时，原不等式的解集为｛%1-1<%<6｝.

当Ova<l时，原不等式可化为:

x+l>0

X+1<3—%?

x>—1

即〈c」解得一IVJTVl.

-2<x<l

故0<a<l时，原不等式的解集为{x|-l<X<l}.

综上：a>l时，原不等式的解集为{3-1<X<6}；0<a<1时，原不等式的解集为{x|—1<X<1}.

21.物联网（IntemetofThings,缩写：/0T）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立

功能的普通物体实现互联互通的网络.其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家

庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调

查了解到下列信息：仓库每月土地占地费以（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，x>0）,

其中％与x+1成反比，每月库存货物费内（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库,

贝1J%和%分别为2万元和7.2万元.

（1）求出当与%的解析式;

（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

20

【答案】（1）%=---,x>0,y=0.8x,x>0

x+12

（2）把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元

【分析】（1）设出力与x+1以及为与尤的解析式，将尸9的费用代入，求得答案;

（2）列出两项费用之和的表达式，利用基本不等式求得其最小值，可得答案.

【小问1详解】

设%=占化70），y2=0）,其中%>0,

k

当x=9时，,=----=2,y=9m=7.2.

19+12

解得上=20,和=0.8,

20

所以乂=----,x>Q,y=0.8x,x>0.

x+12

【小问2详解】

设两项费用之和为z（单位：万元）

20

则z=%+%=----1-0.8%

x+1

20

+0.8(%+1)—0.8

x+1

-ax0.8(x+l)—'0.8

=7.2,

20

当且仅当——=0.8(%+1),即x=4时，“=”成立，

所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元.

22.己知Ax)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且/(x)+g(x)=2e，,其中e=2.71828...

(1)求函数〃x)和g(x)的解析式；

(2)若不等式/(二+3)+/(1—依)>0在(0,+8)恒成立，求实数。的取值范围；

(3)若。石6[0,1],王2€[加，+8)，使"％2)=6巾,成立，求实数取值范围.

f1e

【答案】(1)g(x)=eA+e-x/(x)=ev-e-x；(2)a<4；(3)-oo,-In——.

；I2e-1

【分析】⑴将x替换为T,得/(—x)+g(—x)=2e-"与已知条件联立方程，求函数的解析式；⑵

利用函数的奇偶性不等式转化为f(x2+3)>/(成:-1)在(0,+s)上恒成立，利用单调性转化为

4

%2+3>狈—1在(0,+8)上恒成立，参变分离后a<x+—在(0,+8)上恒成立，即转化为求函数的最值;

X

(3)首先设函数/l(X)=eR",根据条件转化为了(X)而n«/2(X)mM，转化为求两个函数的最小值，即得

结论.

【详解】⑴由题意知/(x)+g(x)=2e)令f替换x得/(—x)+g(—力=2""

即—/(x)+g(尤)=2e-1

于是2g(x)=2e*+2尸，解得g(x)=ev+e-x；

2/(x)=22-2/,解得f(x)=2—

(2)由已知/(%2+3)+/(I-ax)>0在(0,+oo)上恒成立.

因为/a)为R上的奇函数，

所以/(尤2+3)>/(依—1)在(0,+8)上恒成立.

又因为/(x)=e'--工为R上的增函数

所以光2+3>冰-1在(。，+°0)上恒成立

4

即a<x+