2024届云南省保山市施甸县中考数学模试卷含解析

2024届云南省保山市施甸县中考数学模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.若关于X的一元二次方程x（x+l）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）

A.-1B.1C.-2或2D.-3或1

2.下面四个几何体：

其中，俯视图是四边形的几何体个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知点A、B、C是直径为6cm的。O上的点，且AB=3cm,AC=30cm,则NBAC的度数为（）

A.15°B.75°或15°C.105°或15°D.75°

或105°

4.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望小学时经过每个路口都是绿灯，但

实际这样的机会是（）

113111

A.-B.—C.—D.—I-----1—

288222

5.已知抛物线c：y=x2+2x-3,将抛物线c平移得到抛物线心如果两条抛物线，关于直线x=l对称，那么下列说法

正确的是（）

A.将抛物线c沿x轴向右平移之个单位得到抛物线c，B.将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c，

2

7

C.将抛物线c沿x轴向右平移一个单位得到抛物线c，D.将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c，

2

6.已知：如图四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sin/AOB=.反比例函数y=在第一象限图象经过点

JJ一

A,与BC交于点F.SAAOF=.,贝！|k=()

C.12D.5

7.如图，在口ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F,连接CE,若ACED的周长为6,则

口ABCD的周长为（）

A.6B.12C.18D.24

8.用圆心角为120。，半径为6c帆的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（)

D.4cm

9.一元二次方程d+2x+4=0的根的情况是（）

A.有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

10.不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x-4y+U的值（）

A.总不小于1B.总不小于11

C.可为任何实数D.可能为负数

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.边长为3的正方形网格中，（DO的圆心在格点上，半径为3,tanZAED=

12.用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为.

13.中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻.互换其中

一只，恰好一样重.”设每只雀、燕的重量各为X两，y两，则根据题意，可得方程组为

X1

14.计算---------的结果是.

x-1x-1

15.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是.

16.如图，已知A3〃CZ>,直线E尸分别交45、CZ）于点E、F,EG平分N5EF,若Nl=50。，则N2的度数为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间，（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统

计图（A：0<Z<10,B：10</<20,C：20</<30,D：f>30）,根据图中信息，解答下列问题：这项被调查的总人数是

多少人？试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；如果小明想从。组的甲、乙、丙、丁四人中

随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率.

各组人数的条形统计图各组人数扇形统计图

18.（8分）如图，AABC是。O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE

为菱形.

（1）求证：AC=CE；

（2）求证：BC2-AC2=AB«AC；

（1）已知。O的半径为L

①若——=-,求BC的长；

AC3

AR

②当——为何值时，AB・AC的值最大？

AC

A

E,

•o

D

19.(8分)如图1,在小ABC中，点尸为边AB所在直线上一点，连结CP,M为线段CP的中点,若满足NACP=ZMBA,

则称点P为XABC的“好点”.

⑴如图2,当NA3C=90。时，命题“线段A3上不存在“好点”为(填“真”或"假”)命题，并说明理由;

(2)如图3,P是A4BC的5A延长线的一个“好点”，若尸C=4,PB=5,求AP的值；

图3

20.(8分)已知抛物线y=-2x?+4x+c.

(1)若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围；

(2)若抛物线经过点(-1,0),求方程-2x2+4x+c=0的根.

21.(8分)如图，已知等边△ABC,AB=4,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DELAC,垂足为E,

过点E作EFLAB,垂足为F,连接FD.

(1)求证：DE是。O的切线；

(2)求EF的长.

22.（10分）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价.商

品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报.某市某楼盘准备以每平方米5000元的均

价对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定

以每平方米4050元的均价开盘销售.求平均每次下调的百分率；某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开

发商还给予以下两种优惠方案发供选择：

①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？

23.（12分）为了保护视力，学校开展了全校性的视力保健活动，活动前，随机抽取部分学生，检查他们的视力，结

果如图所示（数据包括左端点不包括右端点，精确到0.1）；活动后，再次检查这部分学生的视力，结果如表所示

分组频数

4.0<x<4.22

4.2<x<4.43

4.4<x<4.65

4.6<x<4.88

4.8<x<5.017

5.0<x<5.25

（1）求活动所抽取的学生人数；

（2）若视力达到4.8及以上为达标，计算活动前该校学生的视力达标率；

（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价视力保健活动的效果.

24.如图，在RtAABC中，NC=90。，翻折NC,使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在

边AC、BC±）

若ACEF与4ABC相似.

E.

①当AC=BC=2时，AD的长为；

②当AC=3,BC=4时，AD的长为；当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得A=0,得到关于a的方程，解方程即可得.

【详解】x(x+l)+ax=O,

x2+(a+l)x=0,

由方程有两个相等的实数根，可得△=(a+1)<4xlx0=0,

解得：ai=a2=-l,

故选A.

【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式A的关系：

(1)A>0坊程有两个不相等的实数根；

(2)△=0历程有两个相等的实数根；

(3)△<0地程没有实数根.

2、B

【解析】

试题分析：根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，

故选B.

考点：简单几何体的三视图

3、C

【解析】

解：如图1.为直径,/.ZABD=ZACD=90°.在RtAABD中,AD=6,43=3,则N3ZM=30。,ZBAD=60°.在

RtAABDAD=6,AC=3血，ZCAD=45°,则NBAC=105°；

如图2,.,.•AO为直径，,ZABD=ZABC=90°.在RtAABD中，AZ>=6,43=3,贝！|NBZM=30°,NBAD=6Q。.在RtAABC

中，AD=6,AC=3y/2,ZCAD^45°,则/3AC=15。.故选C.

点睛：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是

解题的关键，注意分情况讨论思想的运用.

4、B

【解析】

分析：列举出所有情况，看各路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可.

二共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，

.•.实际这样的机会是:.

故选B.

点睛：此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于三步或三步以上完成的事件，解题时要注意列出所有的情形.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

5、B

【解析】

:抛物线C：y=x2+2x-3=(x+1)2-4,

.•.抛物线对称轴为x=-1.

抛物线与y轴的交点为A(0,-3).

则与A点以对称轴对称的点是B(2,-3).

若将抛物线C平移到C，，并且C,。关于直线x=l对称，就是要将B点平移后以对称轴x=l与A点对称.

则B点平移后坐标应为(4,-3),

因此将抛物线C向右平移4个单位.

故选B.

6、A

【解析】

过点A作AM_Lx轴于点M,设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标，再根据四边形OACB是菱形、点F在边

BC上，即可得出SAAOF=S菱形OBCA,结合菱形的面积公式即可得出a的值，进而依据点A的坐标得到k的值.

【详解】

过点A作AMJ_x轴于点M,如图所示.

设OA=a=OB,贝!J,

在R3OAM中，/AMO=90。，OA=a,sin/AOB=,

/.AM=OA*sinZAOB=a,OM=a,

22J.

Zi7i

...点A的坐标为（a,a）.

•.•四边形OACB是菱形，SAAOF=

JOBxAM=,

ixJ

即xaxa=39,

112

2Ji

解得a=±而a>0,

a=,即A(,6),

・・,点A在反比例函数y=的图象上，

••k—x6=L

J

■

故选A.

【解答】

解：

【点评】

本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用SAAOF=.S菱形OBCA.

7、B

【解析】

I•四边形ABCD是平行四边形，；.DC=AB,AD=BC,

VAC的垂直平分线交AD于点E,AE=CE,

:.ACDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6,:严ABCD的周长=2x6=12,

故选B.

8、C

【解析】

利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以27r即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高.

【详解】

1201x6/、

L=------=4n(cm)；

180

圆锥的底面半径为47r-27r=2(cm),

这个圆锥形筒的高为病二手'=4四(cm).

故选C.

【点睛】

此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长=丝三；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；

180

圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形.

9、D

【解析】

试题分析：△=22-4X4=-12<0,故没有实数根；

故选D.

考点：根的判别式.

10、A

【解析】

利用配方法，根据非负数的性质即可解决问题；

【详解】

解：*.,x2+4y2+6x-4y+ll=(x+3)2+(2y-l)2+1,

又•••(x+3)2>0,(2y-l)2>0,

.,.x2+4y2+6x-4y+ll>l,

故选：A.

【点睛】

本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握配方法.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

1

11、-

2

【解析】

根据同弧或等弧所对的圆周角相等知所以tanZAED的值就是tanB的值.

【详解】

解：,.•/4即=/43。(同弧所对的圆周角相等)，

AD1

tanZA£'Z)=tanB=-----=—.

AB2

故答案为:

2

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义.解答网格中的角的三角函数值时,一般是将所求的角与直角三角形中

的等角联系起来,通过解直角三角形中的三角函数值来解答问题.

12、5\W

【解析】

试题分析：根据图形可知圆锥的侧面展开图的弧长为27rxi0+2=10九(cm),因此圆锥的底面半径为10九+2九=5(cm),

因此圆锥的高为：..)-1=5•匚(cm).

考点：圆锥的计算

5%+6y=16

13、〈

4x+y=5y+x

【解析】

设每只雀、燕的重量各为x两，y两，由题意得:

5x+6y=16

4x+y=5y+x

5x+6y=165x+6y=16

故答案是:{

4x+y=5y+x3x=4y

14、1

【解析】

分析：利用同分母分式的减法法则计算，分子整理后分解因式，约分即可得到结果.

X1x—1

详解：原式=--——-=--=1.

x—IX~1X~1

故答案为：1.

点睛：本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母.

15、10%.

【解析】

设平均每次降价的百分率为X,那么第一次降价后的售价是原来的(1-X),那么第二次降价后的售价是原来的(1-X)2,

根据题意列方程解答即可.

【详解】

设平均每次降价的百分率为X,根据题意列方程得，

100x(l-x)2=81,

解得为=0.1=10%,%=L9（不符合题意，舍去），

答：这个百分率是10%.

故答案为10%.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为变化后的量为b,平均变化率为x,

则经过两次变化后的数量关系为土X）2=b.

16、65°

【解析】

因为AB〃CD,所以NBEF=180O-Nl=130。，因为EG平分NBEF,所以NBEG=65。，因为AB〃CD,所以

Z2=ZBEG=65°.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）50；（2）108°；（3）

2

【解析】

分析：（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；用360乘以A组所占

的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；（2）画出树状图,

由概率公式即可得出答案.

本题解析：解：（1）调查的总人数是：19+38%=50（人）.C组的人数有50—15—19-4=12（人），补全条形图如图所示.

⑵画树状图如下.共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，二尸（恰好选中甲）=3=：.

122

人做的条附统竹西

IS…开始

I4・号・R一

|：1：/木木木

▲哀DrtiMl/CMrHI山raizrin/iu

点睛：本题考查了列表法与树状图、条形统计图的综合运用.熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必

要的信息是解决问题的关键.

3

18、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）①BC=4&；②3

【解析】

分析：（1）由菱形知ND=NBEC,由NA+/D=NBEC+NAEC=180。可得NA=NAEC,据此得证；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作。C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,贝!JCF=CG=AC=CE=CD,证

BEBG

△BEF^>ABGA得一=——，即BF・BG=BE・AB,将BF=BC-CF=BC-AC>BG=BC+CG=BC+AC代入可得；

BFBA

(1)①设AB=5k、AC=lk,由BC2-AC2=AB«AC知BC=2"k,连接ED交BC于点M,RtADMC中由DC=AC=lk、

MC=^BC=V6k求得DM=J。》_CM?=百k,可知OM=OD-DM=1-J^k,在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2

可得答案.②设OM=d,则MD=l-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,继而知BC2=(2MC)2=16-4d\AC2=DC2=DM2+CM2=

(1-d)2+9/2,由(2)得AB・AC=BC2-AC2,据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案.

详解：(1)二•四边形EBDC为菱形，

/.ZD=ZBEC,

四边形ABDC是圆的内接四边形，

.,.ZA+ZD=180°,

XZBEC+ZAEC=180°,

.\ZA=ZAEC,

.*.AC=CE；

(2)以点C为圆心，CE长为半径作。C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG,

由⑴知AC=CE=CD,

.\CF=CG=AC,

•..四边形AEFG是。C的内接四边形，

.\ZG+ZAEF=180°,

又；ZAEF+ZBEF=180°,

.\ZG=ZBEF,

,.,ZEBF=ZGBA,

/.△BEF^ABGA,

BEBG

：.—=——，a即nBF・BG=BE・AB,

BFBA

VBF=BC-CF=BC-AC,BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,

:.(BC-AC)(BC+AC)=AB«AC,BPBC2-AC2=AB«AC；

(1)设AB=5k、AC=lk,

VBC2-AC2=AB«AC,

.•.BC=2«k,

连接ED交BC于点M,

•••四边形BDCE是菱形，

ADE垂直平分BC,

则点E、O、M、D共线，

在R3DMC中，DC=AC=lk,MC=；BC=#k,

；•DM=7CD2-CM2=上k，

/.OM=OD-DM=1-6k,

在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2得（1-逝k）2+（娓k）2=12,

解得：k=2叵或k=0（舍），

3

，BC=2"k=4直；

②设OM=d,贝！］MD=1-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,

/.BC2=（2MC）2=16-4d2,

AC2=DC2=DM2+CM2=（1-d）2+9-d2,

由（2）WAB«AC=BC2-AC2

=-4d2+6d+18

3381

.,.当d=—,即OM=—时，AB・AC最大，最大值为一,

444

,27

.\DC2=—,

2

-,.AC=DC=^I,

2

9^/6“…A33

•*.AB=------>此时----=—

4AC2

点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角

形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.

8

19、(1)真；(2)j；(3)AP=2或AP=8或AP=V?1_5.

【解析】

(1)先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知MP=M3,从而然后根据三角形外角的性质

说明即可；

(2)先证明APAC^APMB,然后根据相似三角形的性质求解即可；

(3)分三种情况求解：P为线段AB上的“好点”，P为线段AB延长线上的“好点”，P为线段BA延长线上的“好点”.

【详解】

⑴真.

理由如下：如图，当NA5C=90。时，M为PC中点，BM=PM,

贝！IZMPB=ZMBP>ZACP,

所以在线段AB上不存在“好点”；

C

//11

WX.

(2)I•尸为3A延长线上一个“好点”；

NACP=NMBP；

：./\PAC^/\PMB^

PMPA

：.——=——即尸=

PBPC

为PC中点,

：.MP=2,

.••2x4=524；

APA=~.

5

⑶第一种情况，尸为线段AB上的“好点”，则NACP=NM3A,找AP中点O,连结M。；

为CP中点;

:.MD为&CPA中位线；

：.MD=2,MD//CA；

：.ZDMP=ZACP=ZMBA；

IADMPSADBM；

...。吩二力尸心吕即4=Z)P(5-OP)；

解得OP=LDP=4（不在43边上，舍去；）

：.AP=2

第二种情况（1）,P为线段A8延长线上的“好点”，贝！JNACP=/M5A,找AP中点O,此时，O在线段A3上，如图,

连结MD；

为CP中点；

:.MD为XCB4中位线；

：.MD=2,MD//CA；

：.ZDMP=ZACP=ZMBA；

：./\DMP^/\DBM

J.D^DPDBBP4=DP-C5-DA）=DP-（5一。尸）；

解得OP=1（不在A3延长线上，舍去），DP=4

：.AP=8；

第二种情况（2）,尸为线段45延长线上的“好点”，找AP中点。，此时，。在A8延长线上，如图，连结M。；

此时，NMBA>NMZZB>NZ>M尸=NACP,则这种情况不存在，舍去;

c

第三种情况，P为线段3A延长线上的“好点”，贝!|NACP=NMBA,

：.APAC^APMB；

:.NPMB=NPAC=90。

...5M垂直平分PC贝!|3。=5尸=历；

•*-AP=V41-5

综上所述，AP=2或AP=8或AP=4T—5；

【点睛】

本题考查了信息迁移，三角形外角的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，相似三角形的判定与性质及分类

讨论的数学思想，理解“好点”的定义并能进行分类讨论是解答本题的关键.

20、(l)c>-2；(2)xi=-1,X2=l.

【解析】

(1)根据抛物线与X轴有两个交点，b2-4ac>0列不等式求解即可；

(2)先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后根据二次函数与一

元二次方程的关系解答.

【详解】

(D解：；抛物线与x轴有两个交点，

/.b2-4ac>0,

即16+8c>0,

解得O-2；

(2)解：由y=-2x?+4x+c得抛物线的对称轴为直线x=l,

•.•抛物线经过点(-1,0),

.,.抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),

方程-2x?+4x+c=0的根为xi=-1,X2=l.

【点睛】

考查了抛物线与x轴的交点问题、二次函数与一元二次方程，解题关键是运用了根与系数的关系以及二次函数的对称

性.

21、(1)见解析;(2)史.

2

【解析】

(1)连接OD,根据切线的判定方法即可求出答案；

(2)由于OD〃AC,点O是AB的中点，从而可知OD为AABC的中位线，在R3CDE中，NC=60。，CE=-CD

2

=1,所以AE=AC-CE=4-1=3,在RtAAEF中，所以EF=AE・sinA=3xsin60°=

2

【详解】

(1)连接OD,

VAABC是等边三角形，

.*.NC=NA=NB=60。，

VOD=OB,

/.△ODB是等边三角形，

/.ZODB=60°

.,.ZODB=ZC,

；.OD〃AC,

/.DE±AC

；.OD_LDE,

；.DE是。O的切线

(2)VOD/7AC,点。是AB的中点,

AOD为XABC的中位线，

.\BD=CD=2

在RtACDE中，

ZC=60°,

ZCDE=30°,

1

/.CE=-CD=1

2

AAE=AC-CE=4-1=3

在RtAAEF中，

ZA=60°,

:.EF=AE»sinA=3xsin60°=-

2

【点睛】

本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定，锐角三角函数，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，本题

属于中等题型.

22、(1)每次下调10%(2)第一种方案更优惠.

【解析】

(1)设出平均每次下调的百分率为X,利用预订每平方米销售价格X(1-每次下调的百分率)2=开盘每平方米销售价格

列方程解答即可.

(2)求出打折后的售价，再求出不打折减去送物业管理费的钱，再进行比较，据此解答.

【详解】

解：(1)设平均每次下调的百分率为X,根据题意得

5000x(1-x)2=4050

解得x=10%或x=L9(舍去)

答:平均每次下调10%.

(2)9.8折=98%,

100x4050x98%=396900(元)

100x4050-100x1.5x12x2=401400(元)，

396900<401400,所以第一种方案更优惠.

答：第一种方案更优惠.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，能找到等量关系式，并根据等量关系式正确列出方程是解决本题的关键.

23、(1)所抽取的学生人数为40人(2)37.5%(3)①视力x<4.4之间活动前有9人，活动后只有5人，人数明显减

少.②活动前合格率37.5%,活动后合格率55%,说明视力保健活动的效果比较好

【解析】

【分析】(1)求出频数之和即可；

(2)根据合格率=合格人数+总人数xlOO%即可得解；

(3)从两个不同的角度分析即可，答案不唯一.

【详解】(1)I•频数之和=3+6+7