2024年山东省济南市九年级学业水平考试数学适应性练习试卷

2024年山东省济南市九年级学业水平考试数学适应性练习试卷及解答

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。

4.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），

请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.两千多年前，中国人就开始使用负数.某班期末考试数学的平均成绩是83分，

小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作-3分，表示得了（）分.

A.86B.83C.87D.80

2.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

3.华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机.预计至2024年底，

这款手机的出货量将达到70000000台.将70000000用科学记数法表示应为（）

A.7x10sB.70xl06C.7xl07D.0.7xlO8

4.已知直线a〃小将一块含45。角的直角三角板A6C按如图方式放置，若4=24。，则N2的度数是（)

A

A.56°B.66°C.76°D.86°

5.在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示,

则这7次成绩的中位数和平均数分别是（)

成绩，m

A.9.7加，9.9mB.9.7m,9.gmC.9.8加，9.7加D.9.8m,9.9/71

6.如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道.若点。与点A的水平距离DE=a米,

水平赛道3c=匕米，赛道AB,。的坡角均为凡则点A的高AE为（）

A.(a-»tane米B.--^米C.(a-b)sin。米D.(a-b)cos。米

tan。

7.若点A（TM）,8（1,%），。（5,%）都在反比例函数＞=-?的图象上，则%，为，%的大小关系是（）

A.%＜为＜为B.%＜为〈为C.D.必<%<%

8.如图，在ABC中，AB=AC,分别以点/、5为圆心，以适当的长为半径作弧,

两弧分别交于£,F,作直线然，为回的中点，〃为直线〃上任意一点.

若BC=4,ABC面积为10,则即如长度的最小值为（）

A.-B.3C.4D.5

2

9.如图，正方形46缪的对角线/C,劭相交于点。点尸是切上一点，OELOF交BC于点、E,

连接力£,跖交于点R连接研则下列结论：

4

①AE_L3R；②NOE4=45。；③AP-BPgOP；④若BE:CE=2:3,则tan/C4E=,；

⑤四边形磔F的面积是正方形46切面积的I.其中正确的结论是（）

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

10.关于x的一元二次方程0?+版+:=0有一个根是一1,

2

若二次函数>=依2+法+：的图象的顶点在第一象限，设f=2a+b,贝"的取值范围是（

A.—</<—B.—1</W—C.—Kf<—D.—1<t<一

424222

第II卷

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.分解因式：ab1-a-.

12.在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共20个，除着色外其它都相同,

小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，

则口袋中红色球可能有个

13

13.代数式——与代数式一的值相等，则x=______.

x+3x

14.如图，在平面上，将边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,

则Z3+Z1-Z2=度.

15.小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动,

如图折线（MB和线段8分别表示小泽和小帅离甲地的距离丁（千米）与时间x（小时）之间

函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为千米.

16.如图，在矩形纸片加口中，AA10,AB=8,将四沿〃翻折，使点8落在9处，丝为折痕;

再将以沿鳍翻折，使点。恰好落在线段座上的点C'处，外为折痕，连接AC'.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算：（兀-2023）。+卜-码-2cos30。+

x+31八

--------x+1>0

18.解不等式组：■2在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解.

3（尤-5）<2x-1

19.如图，在口ABCD中，对角线AC,初相交于点0,过点0的一条直线分别交AD,8c于点E,F.

求证：AE=CF.

20.图I是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知XB=lm,5c=0.6m,/ASC=l23。,

该车的高度AO=L7m.如图2,打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角ZB'AD=2T.

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面/的距离；

(2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险?请说明理由.

(筝墨精娜到0.01m,参考数据：sin27°«0.454,cos27°»0.891,tan27°«0.510,6*1.732)

21.某校政治实践小组就近期人们比较关注的五个话题：

“A.5G通讯；B.民法典；C.北斗导航；D.数字经济；反小康社会”，对学生进行了随机抽样调查，

每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图.

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

(1)政治实践小组在这次活动中，调查的学生共有人；

(2)将图中的最关注话题条形统计图补充完整；

(3)政治实践小组进行专题讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B.民法典；C.北斗导航”

中抽签(不放回)选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择48话题发言的概率.

22.如图，是;。的直径，射线交于点A£是劣弧AD上一点，S.AE=DE>

过点£作跖工3。于点片延长FE和54的延长线交与点G.

C

⑴证明：GF是。的切线;

(2)若AG=6,GE=60，求O的半径.

23.“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，

某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，

其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，

并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍.

(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？

⑵已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩

具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”

数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元.为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”

降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销

售利润最大，并求出最大利润.

k

24.如图1,直线/与坐标轴的正半轴分别交于46两点，与反比例函数y=—(左>0,x>0)的图像

x

交于G，两点(点。在点，的左边)，过点。作轴于点£,过点〃作OFLx轴于点凡

CE与DF交于点、G(4,3).

O\F

图1图2图3

(1)当点〃恰好是FG中点时,求此时点，的横坐标；

⑵如图2,连接E尸，求证：CD//EF；

⑶如图3,将△CGD沿8折叠，点G恰好落在边上的点〃处，求此时反比例函数的解析式.

25.如图1,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=1-4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0,5）,

图象的顶点为矩形A3CO的顶点，与原点。重合，顶点4C分别在x轴，y轴上,

顶点6的坐标为（L5）.

⑵如图2,将矩形ABC。沿x轴正方向平移力个单位（0<f<3）得到对应的矩形已知边A'B'

分别与函数y=x2-4x+c的图象交于点只Q,连接PQ,过点尸作PG_LA3'于点G.

①当f=2时，求QG的长；

②当点G与点0不重合时，是否存在这样的t,使得△产强的面积为1?若存在，求出此时力的值；若不存

在，请说明理由.

26.【问题发现】

（1）如图1,在等腰直角.ABC中，点〃是斜边8C上任意一点，在AO的右侧作等腰直角VADE,使

ZZME=90°,AD=AE,连接CE,则/ABC和/ACE的数量关系为；

【拓展延伸】

（2）如图2,在等腰ABC中，AB=3C,点力是BC边上任意一点（不与点⑹。重合），在的右侧作

等腰VADE,使AO=DE.,ZABC=ZADE,连接CE,则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

【归纳应用】

（3）在（2）的条件下，若AB=3C=6,AC=4,点〃是射线8C上任意一点，请直接写出当CD=3时CE

的长.

D

图2

2024年山东省济南市九年级学业水平考试数学适应性练习试卷解答

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。

4.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），

请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.两千多年前，中国人就开始使用负数.某班期末考试数学的平均成绩是83分,

小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作-3分，表示得了（）分.

A.86B.83C.87D.80

【答案】D

【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义.由正负数的概念可计算.

【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作-3分，

则83-3=80

表示得了80分，

故选：D.

3.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】A

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋

转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故选A.

3.华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机.预计至2024年底，

这款手机的出货量将达到70000000台.将70000000用科学记数法表示应为（）

A.7xlO8B.7OxlO6C.7xl07D.0.7xlO8

【答案】C

【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为0X10”的形式，其中1＜忖＜10,〃为整数，

这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案.

【详解】解：70000000=7X1()7,

故选：C.

4.已知直线将一块含45。角的直角三角板力及;按如图方式放置，若4=24。，则/2的度数是()

A.56°B.66°C.76°D.86°

【答案】B

【分析】由平行线的性质可以得到N1+N掰3/2=180。，然后由Nl、的度数可以得到解答.

【详解】解：；a〃6,

曲仆/2=180°,

又/]=24°,ZBAC=9Q°,

.\Z2=180o-(24°+90°)=66°,

故选B.

6.在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，

则这7次成绩的中位数和平均数分别是()

成绩，m

A.9.7m,9.9mB.9.7优,9.8mC.9.8m,9.7mD.9.8"J9.9加

【答案】B

【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，

利用算术平均数的计算公式进行计算即可.

【详解】把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7%，因此中位数是9.7，"，

平均数为：(9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2)4-7=9.8w,

故选B.

7.如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道.若点。与点A的水平距离。E=a米,

水平赛道3c=6米，赛道A3,8的坡角均为风则点A的高AE为()

A.(a-Z^tan，米B.十^米C.(a-b)sin。米D.(4-6)cos6米

【答案】A

【分析】延长相交顺于凡得到平行四边形瓦％和直角△/即通过解直角三角形得出结果.

【详解】解：延长四交功于月,

,:BC〃DE,

:・/AF/9,

:・/CDg/BF序9,

：.BF//CD,

・・・四边形式如是平行四边形，

:・D六BOb,

：.EF^DE-DF^a-b,

在直角△45F中，

VtanZ^T^^^-,

EF

A斤EF•tan夕=(a-b)tan夕，

故选择A.

7.若点A(Tx),3。,%)，C(5,%)都在反比例函数片-?的图象上，则%，为，%的大小关系是(

A.B.C.为<%<%D.

【答案】C

【分析】分别求出%,%，%的值，即可得出结论.

【详解】解：A(TX)，3(1,%)，。(5,%)都在反比例函数丫=-?的图象上，

...当<%<3.

故选c.

8.如图，在，ABC中，AB=AC,分别以点/、8为圆心，以适当的长为半径作弧,

两弧分别交于反F,作直线M，为充的中点，〃为直线切上任意一点.

若BC=4,ABC面积为10,则时仞9长度的最小值为（）

A.-B.3C.4D.5

2

【答案】D

【分析】由基本作图得到得砂垂直平分四则颇=也，所以B除MD=MA+MD,连接例、DA,如图，利用两

点之间线段最短可判断也+刈的最小值为AD,再利用等腰三角形的性质得到ADVBC,然后利用三角形面积

公式计算出4?即可.

【详解】解：由作法得必垂直平分/氏

连接物、DA,如图,

c

.：MA+MD/AD（当且仅当〃点在4?上时取等号）,

；.M1+如的最小值为/〃，

'：AB=AC,2点为优1的中点，

：.AD±BC,

'：SABC=^BC-AD=10,

.•.即如长度的最小值为5.

故选：D.

9.如图，正方形的对角线〃；劭相交于点。，点尸是切上一点，OELOF交BC于点、E,

连接力反BF交于点、P,连接。.则下列结论：

4

①AEJ.M；②/OB4=45°；@AP-BP=y/2OP;④若BE:CE=2:3,®ijtanZC4E=-；

⑤四边形以F的面积是正方形力6切面积的!.其中正确的结论是（）

AD

BC

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

【答案】B

【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：

①通过证明■DOFgCOE(ASA)得到小外，再证明•以CRKBD(SAS)得到/明华/您?，从而证明/勿0/

加090°,即

②通过等弦对等角可证明NOPA=ZOBA=45°；

③通过正切定义得tanNBAE=1f=啜，利用合比性质变形得到4尸-3尸=空空，再通过证明.AOPS.AEC得

ABAPBE

到位=n把p.A启F，代入前式得AP-8尸=O%P-等AF#-B,P最后根据三角形面积公式得到他.叱=钙.防，整体代

AOAO•BE

入即可证得结论正确；

FGFG

④作员杜”于点G可得皮〃60,根据tanNC4E=▽=,设正方形边长为5a,分别求出刀G、ZC、CG

AGAC-CG

的长，可求出tan/C4E=],结论错误；

⑤将四边形侬F的面积分割成两个三角形面积，利用一。0尸注ACOE(ASA),可证明S四边形OEC2s△C0E+SK0F=S

△DOF+SKOF二8CM即可证明结论正确.

【详解】①:四边形/皿是正方形，。是对角线物的交点，

AOOOD,0CL0D,/OD2/OC斤45°

9：OE1OF

：./D0F+/F0O/F0C+/E0小90°

:•乙D024E0C

在△戊加与△。应中

ZODF=ZOCE

<OC=OD

/DOF=ZEOC

：..DOF^COE(ASA)

：.EOFD

EC=FD

•・•在△£4C与△上切中＜ZECA=ZFDB=45°

AC=BD

...EAC^FBD(SAS)

：.ZEA(=ZFBD

又V/BQk/AQ0

:・/BPF/AOgG

：.AELBF

所以①正确;

②•：NA0B=NAPB^9U°

・••点R。在以四为直径的圆上

・・・/。是该圆的弦

・・・ZOPA=ZOBA=45°

所以②正确;

iE上”

ABAP

.ABAP

BEBP

.AB-BEAP-BP

BEBP

.AP-BPCE

BPBE

BE

*.*ZEAC=ZOAP,ZOPA=ZACE=45°

AOP^AEC

.OPAO

'~CE~~^E

,,,-AEBP=-ABBE=S

22ABE

AEBP=ABBE

：.AP-BP=OPABBE^o^o

AOBEPP

所以③正确;

④作于点G,则EG//BO,

.EGCECG

'~OB~~BC~~OC

设正方形边长为5a,则叱5%OB^OO—a,

2

BE_2

若BE:CE=2:3,则

CE-3

.BE+CE2+3

CE3

CE_3

BC-5

BC522

EGVAC,N/®45°,

・・・/必信45°

：.CG=EG=—a

2

3e

-----a

EG3

tanZCAE=—2

AGAC-CG5缶—述。7

2

所以④错误；

⑤・.•DOF^COE（ASA）fS四边形0EC2S40E+S40F

:・S四边形0EC2SADOF+SACOF^SACOD

•S/COD^—S正方形A5CO

・・S四边形OEC广—S正方形4BCD

所以⑤正确；

综上，①②③⑤正确，④错误，

故选B

11.关于X的一元二次方程a?+bx+!=O有一个根是-1,

2

若二次函数>=依2+6无+）的图象的顶点在第一象限，设t=2a+b,贝〃的取值范围是（

A.—<t<—B.-l<t<—C.~—<t<—D.-l<t<-

424222

【答案】D

【分析】二次函数的图象过点（-L0）,则。-6+：=0,而t=2a+b,贝必=三」，6=巴;,二次函数的

266

图象的顶点在第一象限，则-3>0,--->0,即可求解.

2a2^a

【详解】二.关于x的一元二次方程公z+6无+：=0有一个根是-1,

...二次函数y=ax2+bx+^的图象过点(-1,0),

a—b~\—=0,

2

b=a~\—,t=2a+b，

2

皿21.2,+2

贝1b=-------

66

V二次函数y=/+fe+1的图象的顶点在第一象限,

2t—172t+2

将〃=,b=——代入上式得:

66

2t+2

§।>0,解得：

2x^12

6

---『r>0,解得：V或1</<3，

24”)2

6

故：-1</<5,

故选D.

第n卷

二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)

11.分解因式：ab2-a=.

【答案】&(加1)(6-1)

【详解】解：原式二〃("—l)=a(ZrH)(Z?-1),

故答案为a(八1)(A-1).

12.在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共20个，除着色外其它都相同,

小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，

则口袋中红色球可能有个

【答案】3

【分析】设有红球有x个，利用频率约等于概率进行计算即可.

【详解】解：设红球有x个，

X

根据题意得：—X100%=15%,

解得：兀=3,

即红色球的个数为3个，

故答案为：3.

13

14.代数式——与代数式一的值相等，则x=______.

x+3x

【答案】

【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可.

13

【详解】解：根据题意得：—-=

x+3x

去分母得：A=3(X+3),

9

解得：,

经检验户-£o是分式方程的根.

故答案为：人

14.如图，在平面上，将边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,

则/3+/1-/2=度.

【答案】24

【分析】根据〃边形内角和定理分别求出等边三角形，正方形，正五边形，正六边形的内角即可求解.

【详解】解：由题意知，等边三角形的内角是60。,

正方形的内角是（4一221800=90。，

4

正五边形的内角"J180。=1080,

正六边形的内角侨一180。=J2。。，

6

.•.Zl=120°-108°=12°,

Z2=108°-90°=18°,

N3=90。一60。=30,

.•.N3+Nl—N2=300+12。-18。=24。.

故答案为：24.

15.小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，

如图折线。4B和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离V（千米）与时间x（小时）之间

函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为千米.

【答案】20

【分析】设直线8的解析式为：％=脑+6（左W0）,直线48的解析式为：％=3+6亿彳。）；得到直线8

和的解析式，求出当尤=2时，%的值，即可.

【详解】由图象可知，点（1,8）和（2,24）在直线CD上，

.•.设直线。的解析式为：乂=g+6亿#0）,

8=k+b

24=2%+6

直线8的解析式为：％=16国-8；

当多=。时，尤=J，

:点点B（2.5,24）在直线上，

直线的解析式为：y2=kx2+b（k^0）,

S=-k+b

：.i2,

24=2.5左+6

优=8

解得：L「

[b=4

，直线AB的解析式为：%=8马+4；

.,.当x=2时，y2=20,

...小泽距甲地的距离为：20（千米）.

故答案为：20.

17.如图，在矩形纸片26口中，AD^IO,26=8,将四沿〃翻折，使点8落在9处，丝为折痕;

再将以沿旗翻折，使点C恰好落在线段切上的点C处，）为折痕，连接AC'.

若少=3,贝lJtan/8'AC'=.

【答案】7

【分析】连接没CE=x,用x表示/£、EF,再证明//哥'=90°,由勾股定理得通过"'进行等量代换

列出方程便可求得x,再进一步求出HC,便可求得结果.

【详解】解：连接/凡设CE=x,则C，E=CE=x,BE=B'£=10-x,

•••四边形/及/是矩形，

:.AB=CD=8,AABC=\Q,/B=/C=/A9Q°,

:.AE=AF+BE=++(10-X)164-20x+x2,

EF=CE+CF=/+32=/+9,

由折叠知，/AEB=/AEB',/CEF=/CEF,

■:/AEB+/AEB'+/CEF+/。砂=180°,

：.NAEF=/AEB'+ACEF=9G,

.•.册=仙朋=164-20^+/+/+9=2/-20^+173,

■:而=初+印=10,(g-3)J25,

.*.2/-20^+173=125,

解得，x=4或6,

当x=6时，EgEC=6,BE=B'£=8-6=2,EC'>B'E,不合题意，应舍去，

:.CE=C£=4,

：.B'C=B'E-CE=(10-4)-4=2,

,/ZB'=/8=90°,AB'=48=8,

.•.ta-C，=些二」.

A'B'84

故答案为：—.

4

三、解答题(本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.计算：(n-2023)°+11-V3|-2cos30°+(.

【答案】2

【分析】首先计算零指数幕、负整数指数幕、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向

右依次计算，求出算式的值即可.

(it-2023)°+|1-V3|-2cos30°+[g]

【详解】解:

=1+（A/3-1）-2X^+2

=1+A/3-1-A/3+2

=2.

x+31八

-----%+1>0

18.解不等式组：2在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解.

3（尤-5）<2x-1

【答案】x<5；数轴见解析；正整数解为：I,2,3,4,5

【分析】先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其正整数即可求解.

^i2-x+l>0@

【详解】解：2,

3（x-5）<2x-l②

解不等式①得，尤<5,

解不等式②得，%<14,

...不等式组的解集为xW5,

其解集在数轴上表示如下：

IL」IIL,」」.」.，

-I0I23456789101112131415

该不等式组的正整数解为：1,2,3,4,5.

20.如图，在口ABCD中，对角线AC,必相交于点0,过点0的一条直线分别交AD,比■于点E,F.

求证：AE=CF.

1EQ

fi

【答案】证明见解析.

【分析】利用平行四边形的性质得出AO-CO,AD//BC,进而得出/成俏/尸CO,再利用ASA求出庞必

△。况即可得出答案.

【详解】•:口ABCD的对角线AC,初交于点0,

：.AO=CO,AD//BC,

AEAC=Z.FCO,

ZEAO=ZFCO

在△/庞1和△萩中|AO=OC

ZAOE=ZCOF

:.XAOE会XCOF(ASA),

：.AE=CF.

20.图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=lm,BC=0.6m,NASC=123。,

该车的高度AO=L7m.如图2,打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB与水平面的夹角/3'">=27。.

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点3'到地面/的距离;

(2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由.

(结果精确到QOlm,参考数据：sin27°«0.454,cos27°«0.891,tan27°»0.510,百。1.732)

【答案】(1)车后盖最高点3'到地面的距离为2.15m

(2)没有危险,详见解析

【分析】(1)作B'ELAD,垂足为点E,先求出2Z的长，再求出3'E+AO的长即可;

(2)过C'作垂足为点尸，先求得/AS'E=63。，再得到/。'5'尸=/45'。'-/45'£=60。，再求

得B'F=B'C，cos60。=0.3,从而得出C到地面的距离为2.15-0.3=1.85，最后比较即可.

【详解】(1)如图，作B'ELAD,垂足为点E

在RtZXWE中

VZB,AD=27°,AB'=AB=l

；.sin27。喘

：.B'E=AB'sin27°a1x0.454=0.454

•••平行线间的距离处处相等

3'E+AO=0.454+1.7=2.154Q2.15

答：车后盖最高点3'到地面的距离为2.15m.

(2)没有危险，理由如下:

过C'作C户垂足为点尸

VZB'AD^2T,ZB'EA^9Q°

/.ZAB'E=63°

---ZAB'C'=ZABC=123°

：.ZCB'F=ZAB'C-ZAB'E=60°

在RtB'FC中,B'C'=BC=0.6

：.B'F=B'C'cos600=03.

•••平行线间的距离处处相等

C到地面的距离为2.15-0.3=1.85.

V1.85>1.8

没有危险.

26.某校政治实践小组就近期人们比较关注的五个话题：

“A.5G通讯；B.民法典；C.北斗导航；D.数字经济；反小康社会”，对学生进行了随机抽样调查，

每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图.

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）政治实践小组在这次活动中，调查的学生共有人；

（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）政治实践小组进行专题讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B.民法典；C.北斗导航”

中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择46话题发言的概率.

【答案】（1）200；（2）见解析；（3）|

【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数;

(2)根据(1)中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充

完整；

(3)画树状图，再由概率公式求解即可.

【详解】解：⑴调查的学生共有：604-30%=200(人),

故答案为：200；

(2)选择C的学生有：200义15%=30(人)，

选择A的学生有：200-60-30-20-40=50(人)，

补全的条形统计图如图所示：

最关注话题条形统计图

(3)画树状图如下:

共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择46话题发言的结果有2个,

21

两个小组选择/、6话题发言的概率为二==.

27.如图，是：。的直径，射线交。于点"£是劣弧AD上一点，且AE=Z)E，

过点E作EFJ.BC于点F,延长FE和BA的延长线交与点G.

c

q

GAt-o-

(1)证明：GP是。的切线；

(2)若AG=6,GE=60,求O的半径.

【答案】(1)见解析

(2)3

【分析】(1)连接。E,先证明=再证明NOEB=NFBE,BF〃OE,进而证明OE_LGE,

即可证明G尸是＜O的切线；

(2)设。的半径为？，根据勾股定理得到产+(60『=(6+4，解方程即可得到。的半径，即可.

【详解】(1)证明：如图，连接OE,

AE=DE，

：.ZABE=NCBE,

'：OE=OB,

：.ZOBE=ZOEB,

：.ZOEB=ZFBE,

：.BF//OE,

•/EF±BC,

：.ZBFE=90°,

ZBFE=ZOEG=90°,

OE1.GE,

G尸是CO的切线；

(2)解：设：。的半径为r,AG=6,GE=6啦,

,/在RtAGOE中，0炉+GE2=OG2,

.+(6&)=(6+厂)2,

解得r=3,

即。的半径为3.

28.“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，

某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，

其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，

并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍.

(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？

⑵已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩

具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”

数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元.为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”

降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销

售利润最大，并求出最大利润.

【答案】(1)冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元

(2)冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元

240008000

【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价是X元，可得--------x2,解方程并检验可得“冰墩墩”的销

X%—40

售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元;

800-m<3m

⑵设“冰墩墩”购进/个，一月份销售利润为少元，则100m+60(800-m)<57600,解得：2004—240,

而w=-12m+16000,由一次函数性质可得答案.

【详解】（1）解：设“冰墩墩”的销售单价是x元，则“雪容融”的销售单价是（X-40）元,

8000°

根据题意得空见--------x2,

%—40

解得了=120,

经检验，％=120是原方程的解，也符合题意,

二・元―40=120—40=80（元）,

答：“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元;

（2）解：设1月份销售利润为『元，“冰墩墩”购进0个，则“雪容融”玩具为（800-m）个,

\800-m＜3m

则“00加+60（800-m）＜57600'

解得：2004〃区240,

由题意得：w=（120-120x10%-100）m+（80-60）x（800-m）=-12m+16000,

V-12＜0,

w=-12根+16000随加的增大而减小，

二当相=200时，/最大值=-12x200+16000=13600,

答：冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元.

29.如图1,直线/与坐标轴的正半轴分别交于48两点，与反比例函数丫=与（左＞0,无＞0）的图像

X

交于G〃两点（点。在点，的左边），过点。作轴于点£,过点〃作。尸，x轴于点户,

CE与DF交于点G（4,3）.

（1）当点〃恰好是尸G中点时，求此时点。的横坐标；

⑵如图2,连接斯，求证：CD//EF；

⑶如图3,将△CG。沿CD折叠，点G恰好落在边。3上的点〃处，求此时反比例函数的解析式.

【答案】⑴2

（2）见解析

⑶*

O

【分析】根据点G坐标求出点。坐标，代入表达式即可；（2）根据点坐标表示线段长度，证明△GCDs^GEF

即可；（3）过点C作x轴的垂线，构造一线三直角模型，根据相似列比例式，解出比例式即可.

【详解】（1）解：点。是用中点

3

「•点〃（4,—）,

2

将点〃的坐标代入反比例函数表达式得：k=6

即反比例函数的表达式为：y=-

X

当y=3时，解得：x=2

即此时点。的横坐标是2

(2)解：设点，(4,C也,3),

43

贝l|GD=3—幺

4

则GO_3一:一k

CG_[kGD

同理可得:

CD//EF

（3）解：过点C作。VLB于点儿

设GD=HD=x,CG=CH=a

贝！|EC=4-a,DF=3-x

即点C、〃的坐标分别为(4-“，3)、(4,3-x)

则3(4—a)=4(3—x)①

,?ZCHD=90°ZCHD=90°

：.ZNHC+ZFHD=90°,ZNHC+ZHNC=90°

Z.ZNGH^ZDHF

.NGHsNDHF

3三二宓-9②

xa

联立①②并解得：X=—

则点2（4,三21）

91

将点2的坐标代入反比例函数表达式得：%=今

O

故反比例函数的表达式为：>=2>1

30.如图1,在平面直角坐标系xOy中,二次函数