浙江省杭州市2021年中考数学试卷-附答案解析

浙江省杭州市2021年中考数学试卷

阅卷入

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个

得分选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.-(-2021)=()

1

A.-2021B.2021C.D

2021-品

2.“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟10909米的我国载人深潜记录。数据10909用科学记数法

可表示为（）

A.0.10909X105B.1.0909X104

C.10.909X103D.109.09X102

3.因式分解：l-4y2()

A.(1-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+y)

C.(l-2y)(2+y)D-(2-y)(l+2y)

4.如图，设点P是直线l外一点，PQ±I,垂足为点Q,点T是直线I上的一个动点，连结PT,则

A.PT>2PQB.PT<2PQC.PT>PQD.PT<PQ

5.下列计算正确的是（)

A•"=2B.=-2C."=±2D.±2

6.某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客

人次的增长率为%（久＞o）,贝U（）

A.60.5(1-%)=25B.25(1-%)=60.5

C.60.5(1+%)=25D.25(1+%)=60.5

7.某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等。某天甲、乙两位乘客同时乘同一

列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）

A.B-IcID-1

8.在“探索函数y=a/+b£+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系

中的四个点：A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二

次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为()

A-fB.|C.|D.J

9.已知线段AB,按如下步骤作图：①作射线AC,使ACJ_AB；②作NBAC的平分线AD；③以点A

为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EPLAB于点P,则AP：AB=()

A.1：V5B.1--2C.1：V3D.1,-V2

io.已知和y2均是以x为自变量的函数，当x=m时，函数值分别是M］和“2，若存在实

数m,使得Ml+“2=0，则称函数为和y2具有性质P。以下函数%和y2具有性质P的是

()

A.%=/+2尢和%=一久一1B.乃=/+2x和y2——X+1

C.y1=-Mny2=-%-1D.=-Mny2=-x+l

阅卷人

二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)

得分

11.sin30°=

12.计算2a+3a=

13.如图，已知。。的半径为1,点P是。。外一点，且OP=2。若PT是。O的切线，T为切点，连结

OT,则PT=

T

14.现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示

甲种糖果乙种糖果

单价(元/千克)3020

千克数23

将这2千克甲种糖果盒3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果

的单价，则这5千克什锦糖果的单价为元/千克

15.如图，在直角坐标系中，以点A(3,1)为端点的四条射线AB,AC,AD,AE分别过点B(1,

1),点C(1,3),点D(4,4),点E(5,2),贝Ij/BACZDAE(填〈”中的一

个)

16.如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折

叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF,EF。若MF=AB,则NDAF=度。

阅卷人

三、解答题(本题有7小题，共66分)

得分

17.以下是圆圆解不等式组/?+?>一1母

1-(1-%)>一2②

的解答过程：

解：由，得2+久>—1,所以x>—3

由（2），得1—x>2,所以一支>1,所以久>—1

所以原不等式组的解是X>-1o

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程。

18.为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并

把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每一组不含前一个边界值，含

后一个边界值）

某校某年级360名学生一分钟跳

绳次数的频数直方图

组别（次）频数

100-13048

130-16096

160-190a

190〜22072

（1）求a的值；

（2）把频数直方图补充完整；

（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比。

19.在①AD=AE,②NABE=NACD,③FB=FC这三个条件中选择其中二个，补充在下面的问题中,

并完成问题的解答。

问题：如图，在AABC中，/ABC=NACB,点D在AB边上（不与点A,点B重合），点E在AC

边上（不与点A,点C重合），连结BE,CD,BE与CD相交于点F。若▲，求证：BE=CD。

E

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。

20.在直角坐标系中，设函数=勺（的是常数，fci＞0,久＞0）与函数七=七久（七是

常数，七不0）的图象交于点A,点A关于y轴的对称点为点B。

（1）若点B的坐标为（-1,2）,

①求七，k2的值；②当当＜丫2时，直接写出x的取值范围；

⑵若点B在函数当=勺（备是常数，七力0）的图象上，求七+七的值。

21.如图，在△ABC中，NABC的平分线BD交AC边于点D,AELBC于点E。已知/ABC=60。,

ZC=45°o

（1）求证：AB=BD；

（2）若AE=3,求△ABC的面积。

22.在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+1（a,b是常数，aW0）。

（1）若该函数的图象经过（1,0）和（2,1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐

标；

（2）写出一组a、b的值，使函数产ax2+bx+l的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由.

（3）已知a=b=l,当x=p,q（p,q是实数，p丰q）时，该函数对应的函数值分别

为P,Qo若p+q=2,求证：P+Q>6o

23.如图，锐角三角形ABC内接于。O,NBAC的平分线AG交。O于点G,交BC边于点F,连结

BGo

(1)求证：△ABGS/\AFC；

(2)已知AB=a,AC=AF=b,求线段FG的长(用含a,b的代数式表示)；

(3)已知点E在线段AF上(不与点A,点F重合)，点D在线段AE上(不与点A,点E重合),

ZABD=ZCBE,求证：BG2=GE-GD

答案解析部分

L【答案】B

【知识点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】解：-(-2021)=2021.

故答案为：B.

【分析】根据负数的相反数是正数，可得答案.

2.【答案】B

【知识点】科学记数法一记绝对值大于1的数

【解析】【解答】解：10909用科学记数法可表示为1.0909X104,

故答案为：B.

【分析】根据科学记数法的表示形式为：ax10",其中区间<10,此题是绝对值较大的数，因此n=整数

数位-1.

3.【答案】A

【知识点】因式分解-公式法

【解析】【解答】解：l-4y2=(1-2y)(l+2y),

故答案为：A.

【分析】利用a2-b2=(a+b)(a-b),由此可得答案.

4.【答案】C

【知识点】垂线段最短

【解析】【解答】解：根据点P是直线I外一点，PQ11,垂足为点Q,

：.PQ是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，

当点T与点Q重合时有PQ=PT,

综上所述：PT>PQ,

故答案为：C.

【分析】利用垂线段最短，可得答案.

5.【答案】A

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：底=四=2，故A正确，C错误；

J(—2)2=2，故B、D错误;

故答案为：A.

【分析】利用二次根式的性质：病=@，由此可求解.

6.【答案】D

【知识点】一元一次方程的其他应用

【解析】【解答】解：由题意得：

25(1+%)=60.5；

故答案为：D.

【分析】利用今年四月接待游客的人次(1+增长率)=今年五月接待游客的人次，据此列方程即可.

7.【答案】C

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的

结果，

甲|23

AA

乙1A23123123

共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，

即甲和乙从同一节车厢上车的概率是1=1,

故答案为：C.

【分析】利用已知条件可知此事件是抽取放回，列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及

甲和乙从同一节车厢上车的情况数，然后利用概率公式进行计算.

8.【答案】A

【知识点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】解：设过三个点4(0,2),B(l,0),C(3,1)的抛物线解析式为：y=a/+

分别代入4(0,2),5(1,0),C(3,1)得

c=2

a+b+c=0

9a+3b+c=1

5

6

17；

设过三个点A(0,2)，B(l,0)，D(2,3)的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

分别代入4(0,2),B(l,0),0(2,3)得

c=2

a+b+c=0

Aa+2b+c=3

解得

设过三个点4(0,2)，C(3,1)，D(2,3)的抛物线解析式为：y=a/+bx+c

分别代入4(0,2),C(3,1)，0(2,3)得

'c=2

9。+3b+c=1

Aa+2b+c=3

f_5

\a=~6

解得,=春；

1c=2

设过三个点B(l,0),C(3,1)，D(2,3)的抛物线解析式为：yax2+bx+c

分别代入B(L0),C(3,1),0(2,3)得

a+b+c=0

9a+36+c=1

Aa+2b+c=3

「一2

解得Ah=21；

(c=-8

5555

v2>6>_6>_2

•1•a最大为|,

故答案为：A.

【分析】利用待定系数法，分别求出过点A,B,C；过点A,B,D；过点A,C,D；过点B,C,D的

函数解析式，再比较a的大小，即可求解.

9.【答案】D

【知识点】勾股定理；等腰直角三角形

【解析】【解答】'JACVAB,

：.^CAB=90°，

：AD平分ABAC，

；.NBAD=45°,

,：EPLAB,

；.△APE是等腰直角三角形，

；.AP=PE,

'-AE=7Ap2+PE2=y/2AP,

VAB=AE,

■\AB=42AP,

■,-AP：AB=1：V2;

故答案为：D.

【分析】利用垂直的定义可证得/CAB=90。，利用角平分线的定义求出/BAD的度数，由此可证得

△APE是等腰直角三角形，可推出AP=PE；利用勾股定理表示出AE,可得到AB的长；然后求出AP与

AB的比值.

10.【答案】A

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象与一元二次方

程的综合应用

【解析】【解答】解：当尤=m时，函数值分别为Mi和M2,若存在实数m，使得MI+“2=

0,

对于A选项则有m2+m-l=0,由一元二次方程根的判别式可得：/—4ac=1+4=5>0，所

以存在实数m,故符合题意；

对于B选项则有m2+m+l=0,由一元二次方程根的判别式可得：/_=1—4=—3<0，所

以不存在实数m,故不符合题意；

对于C选项则有—工―巾―1=。，化简得：m2+m+l=0,由一元二次方程根的判别式可得：

m

必―4ac=1—4=—3<0，所以不存在实数m,故不符合题意；

对于D选项则有一工一加+1=0,化简得：m2-m+l=0,由一元二次方程根的判别式可得：

m

b2-4ac=1-4=-3<0，所以不存在实数m,故不符合题意；

故答案为：A.

【分析】利用已知条件，由A选项可知m2+m-l=0,利用一元二次方程根的判别式，可知b2-4ac>0,可

对A作出判断；由A选项可知m2+m+l=0,利用一元二次方程根的判别式，可知b2-4acV0,可对B作出

判断；由C选项可知一工一租一1二0,可得至I」m2+m+l=0,利用一元二次方程根的判别式，可知b2-4ac

<0,可对C作出判断；由D选项可知一。一m+1=0,可得至Um2-m+l=0,利用一元二次方程根的判

m

别式，可知b2-4acV0,可对D作出判断.

11.【答案】|

【知识点】特殊角的三角函数值

【解析】【解答】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30*1.

【分析】利用特殊角的三角函数值可求出sin30。的值.

12.【答案】5a

【知识点】合并同类项法则及应用

【解析】【解答】解：原式=(2+3)a

=5a.

【分析】利用合并同类项就是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可得答案.

13.【答案】V3

【知识点】勾股定理；切线的性质

【解析】【解答】»：'：PT是。。的切线，T为切点

"OTP=90°

-"-PT=NOP2一。。2

VO0的半径为1

OT=1

-,-PT=70P2—。。2=V22-1=V3

故答案为：V3.

【分析】利用切线的性质可证得NOTP=90。，利用勾股定理求出PT的长.

14.【答案】24

【知识点】加权平均数及其计算

【解析】【解答】解：由题意得：

30X2+20X3=24(元/千克)；

故答案为24.

【分析】利用加权平均数公式进行计算，可求出这5千克什锦糖果的单价.

15.【答案】=

AB=BC=2,^ABC=90°,

/.△ABC是等腰直角三角形；

"：AE=DE=V22+l2=V5>AD=V32+l2=V10，

：.AE2+DE2=AD2，

C.^AED=90°,

...△ADE是等腰直角三角形；

：.^BAC=/.DAE=45°；

故答案为：=.

【分析】连接DE,观察图形可知△ABC是等腰直角三角形；利用勾股定理可求出AE,DE,AD的长；

再证明AE2+DE2=AD2,由此可求出NAED的度数，即可求出NDAE的度数；然后比较NBAC和NDAE

的大小.

16.【答案】18

【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：连接MD,设NDAF=x

根据矩形的基本性质可知AM=MD,AD〃:BC,ZBCD=ZADC=90°

.\ZMDA=ZDAF=x,ZACB=ZDAC=x

ZDMF=2x

DCE折叠得到^DFE

；.DF=CD=AB,DEXFC,ZFDE=ZCDE

又MF=AB

；.MF=DF

ZMDF=2x

ZBCD=ZACB+ZACD=90°,ZEDC+ZFCD=90°

NCDE=NACD=x

ZFDE=ZCDE=x

ZADC=ZADM+ZMDF+ZFDE+ZCDE=x+2x+x+x=5x=90°

Ax=18°

故/DAF=18°

故答案为18.

【分析】连接MD,设/DAF=x,利用矩形的性质可证得AM=MD,AD//BC,ZBCD=ZADC=90°,可

表示出NDMF,利用折叠的性质可证得DF=CD=AB,DE±FC,ZFDE=ZCDE,利用等腰三角形的性质

表示出/MDF、/CDE、ZFDE；然后根据/ADC=NADM+NMDF+NFDE+NCDE,建立关于x的方

程，解方程求出x的值，可得到/DAF的度数.

17.【答案】解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

由①，得2+2%>-1,

所以2x>-3,

所以x>—1;

由（2）,得一1+支>一2,

所以1—久<2,

所以一为<1,

所以x>-1,

将不等式组的解集表示在数轴上：

所以原不等式组的解是%>-1.

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【分析】先观察解答过程，可知圆圆的解答过程有错误，再分别求出不等式组中的每一个不等

式的解集，再确定出不等式组的解集.

18.【答案】（1）解：a=360-48-96-72=144；

则a的值为144；

（2）解：补全频数直方图，如图，

（3）解：因为72+360X100%=20%,

所以该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的20%.

【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图

【解析】【分析】（1）利用频数=总数-其它三个组的频数和，列式计算可求出a的值.

（2）利用（1）中a的值补全频数分布直方图.

（3）利用频数十总数=频率，可求出结果.

19.【答案】解：选择条件①的证明：

,：AABC=AACB,

：.AB=AC,

X'.'AD=AE,ZX=ZX,

△ABE/AACD,

：.BE=CD.

选择条件②的证明：

VzXBC=AACB,

：.AB=AC,

又：乙4=乙4,^ABE=^ACD,

△ABE/4ACD,

：.BE=CD.

选择条件③的证明:

"：FB=FC,

：.^FBC=/.FCB,

又..ZBC=Z力CB,BC=CB,

：.△CBE/ABCD,

：.BE=CD

【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质

【解析】【分析】选择条件①，利用等角对等边可证得AB=AC,利用SAS可证得△ABE会4ACD,利用

全等三角形的对应边相等，可证得结论；选择条件②，利用等角对等边，可证得AB=AC,再利用ASA

可证得△ABE丝AACD,利用全等三角形的性质，可证得结论；选择条件③，利用等边对等角可证得

ZFBC=ZFCB,再利用ASA可证得△CBE0ABCD,然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.

20.【答案】（1）解：①由题意得，点A的坐标是（1,2）,

•.•函数yi=h的图象过点A,

k\=2,

同理矽=2.

②％>1.

（2）解：设点A的坐标是（%。，y0）,则点B的坐标是y0），

女。

：.k±=%oyo，3=Toy，

/q+依=0.

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【解答］（1）②由图象可知，当当<丫2时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，

即当当<丫2时，X>1.

【分析】（1）①将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出ki的值；将点A的坐标代入正比例函数

解析式，可求出k2的值；②利用点A的横坐标，观察函数图象可得到yi<y?时自变量x的取值范围.

（2）设点A（xo,yo）,利用点A关于y轴对称的为点B,由此可得到点B的坐标；利用函数解析式，

求出ki+k3的值.

21.【答案】（1）证明：平分乙ABC,

1

:•乙DBC=^ABC=30°.

"ADB=乙DBC+ZC=75°,

又T4BAC=180°―/.ABC一乙C=75°,

J.^BAC=^ADB,

：.AB=BD.

4EAE

(2)由题意，得BE=V3EC

tanZ.ABCtanzf

：.BC=3+V3,

9+

AABC的面积为^BC-AE=1^.

【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形；角平分线的定义

【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义可求出NDBC的度数，再利用三角形的外角的性质求出

NADB的度数；然后利用三角形的内角和定理求出/BAC的度数，可推出NBAC=NADB,利用等角对

等边可证得结论.

(2)利用垂直的定义可得/AEB=NAEC=90。；在RlAABE中，利用解直角三角形求出BE的长；在

RtAAEC中，利用解直角三角形求出EC的长，由BC=BE+CE,可得到BC的长；然后利用三角形的面

积公式可求出△ABC的面积.

22•【答案】(1)解：把点(1,0)和(2,1)代入得：>

vv714。+28+1=1

解得fE=\，

lb=-2

：.y=%2-2%+1,则化为顶点式为y=(%-l)2,

・・・该函数图象的顶点坐标是(1,0);

(2)解：例如a=1,b=3,此时y=%2+3%+1；

,:仔—4ac=5>0，

.・・函数y=/+3%+i图象与x轴有两个不同的交点；

(3)证明：由题意，得P=p2+p+i,Q=q2+q+1,

*.*p+q=2,

/.P+Q=p2+p+l+q2+q+l

=p2+勺2+4

=(2—q)2+q2+4

=2(q-l)2+6>6,

由题意，知qW1,

所以P+Q>6.

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程

的综合应用

【解析】【分析】(1)分别将点(1,0)和(2,1)代入函数解析式，建立关于a,b的方程组，解方程

组求出a,b的值，可得到函数解析式；将函数解析式转化为顶点式，可求出二次函数的顶点坐标.

(2)利用b2-4ac>0,写出符合题意的a,b的值即可.

(3)利用已知条件求出P+Q与p,q的函数解析式，由已知可知p=2-q,可将将函数解析式转化为顶点

式，即可证得结论.

23.【答案】(1)证明：平分ABAC,

：.^BAG=Z.FAC,

XVzG=NC,

/.△ABG-'AAFC.

(2)证明：由(1),知非=第，

AC=AF,

：.AG=AB,

：.FG=AG-AF=a-b.

(3)证明：U：^CAG=乙CBG,

又.••乙BAG=cCAG,

:•乙BAG=(CBG,

9：Z.ABD=L.CBE,

;•乙BDG=ABAG+Z.ABD=乙CBG+乙CBE=乙EBG,

又•：乙DGB=(BGE,

△DGB〜△BGE,

.GD_BG

^BG=GE'

：.BG2=GE-GD.

【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义可证得NBAG=NFAC,利用同弧所对的圆周角相等可得到

ZG=ZC,利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得结论.

(2)利用相似三角形的对应边成比例，可证得AG=AB,然后根据FG=AG-AF,代入可得答案.

(3)先证明NBDG=NEBG,利用两组对应角相等的两三角形相似，可证得△DGBsaBGE,利用相似

三角形的对应边成比例，可证得结论.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：120分

客观题（占比）38.0(31.7%)

分值分布

主观题（占比）82.0(68.3%)

客观题（占比）12(52.2%)

题量分布

主观题（占比）11(47.8%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题（本题有6小

题，每小题4分，共6(26.1%)24.0(20.0%)

24分）

解答题（本题有7小

7(30.4%)66.0(55.0%)

题，共66分）

选择题（本题有10

小题，每小题3分，

共30分.在每小题给

10(43.5%)30.0(25.0%)

出的四个选项中，只

有一项是符合题目要

求的.）

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(82.6%)

2容易(13.0%)

3困难(4.3%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1频数（率）分布表8.0(67%)18

2角平分线的定义10.0(8.3%)21

3解一元一次不等式组6.0(5.0%)17

4二次函数图象与系数的关系3.0(2.5%)8

5列表法与树状图法3.0(2.5%)7

6坐标与图形性质4.0(3.3%)15

7矩形的性质4.0(3.3%)16

8相反数及有理数的相反数3.0(2.5%)1

9全等三角形的判定与性质