倍长中线与截长补短

已知：在中，，，求证：．方法一：在上取一点，使，如图1，在和中，，，．∴．∴，．又∵∴，∴∴．方法二：延长到点，使，如图2，∴．∵，∴．在和中，，，．∴．∴．∵∴．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法：⑴延长短边。⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。【变式一】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45°，求证：EF=DE+BF．延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，∴AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=GE=GD+DE=BF+DE【变式二】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？数量关系为：EF=BFDE．理由如下：在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90°，AD=AB又DE=BG∴△ADE≌△ABG（SAS）∴EAD=GAB，AE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE∴GAF=GAEEAF=90°45°=45°∴GAF=EAF=45°又∵AG=AE，AF=AF∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=GF=BFBG=BFDE【变式三】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？数量关系为：EF=DEBF.理由如下：在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=EG=EDGD=DEBF【变式四】正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？数量关系为：EF=BE+FC，理由如下延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG由△ABC是正三角形得：ABC=ACB=60°又∵DB=DC，BDC=120°，∴DBC=DCB=30°∴DBE=ABC+DBC=60°+30°=90°，ACD=ACB+DCB=60°+30°=90°∴GCD=180°ACD=90°∴DBE=DCG=90°又∵DB=DC，BE=CG，∴△DBE≌△DCG（SAS）∴EDB=GDC，DE=DG又∵DBC=120°=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG∴GDF=EDGEDF=12060°=60°∴GDF=EDF=60°又∵DG=DE，DF=DF∴△GDF≌△EDF（SAS）∴EF=GF=CG+FC=BE+FC【变式五】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15°，FAB=30°，AD=，求△AEF的面积．延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG，过E作EHAG前面如变式一所证，△ADG≌△ABF，△EAG≌△EAFGAD=FAB=30°，S△EAG=S△EAF在Rt△ADG中，GAD=30°，AD=∴AGD=60°，AG=2设EH=x在Rt△EGH中和Rt△EHA中∵AGD=60°，HAE=45°∴HG=，AH=xAG=2=HG+AH=，∴EH=x=3S△EAG=S△EAF=EHAG=．巅峰突破已知：正方形中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．⑴如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．⑴图1中的结论仍然成立，即．证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE．易证（SAS）．∴AE=AN；∠EAB=∠NAD．∴∴∴．又AM为公共边，∴．∴ME=MN．∴即．⑵猜想：线段BM、DN和MN之间的等量关系为：．证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结AE．易证（SAS）．∴AM=AE；∠MAB=∠EAD．易证（SAS）．∴．∵，∴．

巩固题型一倍长中线课后演练在中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？【解析】中线倍长，在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．【解析】如图，延长至点，使得，联结、．由，有∴，，∴∴，∴,∴．又，，∴．题型二截长补短课后演练如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?(提示：过点作交于点)猜测.过点作交于点，，∴又∵，∴，而，∴，∴．如图所示，已知中，，，平分，求证：．解法一：如图，过作于．，，，．又，，为等腰直角三角形．有，故．．解法二：如图，延长到，使．，．又，，公共，，有．故．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM∵∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.课后测如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥．延长到，使，连结，利用证明，∴，，又，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴∥．已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．，理由是：在上截取，连结，利用证得≌，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，利用证得≌，∴，∴．巧问巧答巧问巧答从前，有个有智慧的国王在大臣们的陪同下，来到御花园散步。国王瞧着前面的水池，忽然心血来潮，灵机一动，出了一个题目考问身边的大臣：“这水池里共有多少桶水？”

众臣一听，面面相觑，全答不上来。

国王发旨：“给你们三天考虑，谁回答上来就重赏！”

大臣们用桶量来量去，怎么也量不出一个确切数据。

很快三天到了，大臣们仍一筹莫展。就在此时，一个少年走向宫殿，向国王声称自己知道池塘有多少桶水。

国王命令那些战战兢兢的大臣带少年去看池塘。少年轻松地笑道：“不用看了，这个问题太容易了！”

国王乐了：“哦，那你就说说吧。”

少年眨了眨眼说：“这个问题关键取决于桶的大小，如果和水池一样大，那池里就是一桶水；如果桶只有水池的一半大，那池里就有两桶水；如果桶只有水池的三分之一大，那池里就有三桶水；如果……”

“好，完全正确！”国王重赏了这个少年。知识本身不会