专题11复数（6知识点5题型）

专题11：复数（6知识点+5题型）复数复数常考题型复数的三角表示复数方程的解复数的乘除法复数的加减法复数的几何意义题型一：复数基本概念应用题型二：复数的几何意义及应用题型三：复数方程的解题型四：复数的四则运算的应用题型五：复数的三角表示复数的概念知识点一：复数的概念（1）复数的有关概念①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是.②虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．③表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．④复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．（2）复数的分类对于复数a＋bi，①当且仅当b＝0时，它是实数；②当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；③当b≠0时，叫做虚数；④当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：.（3）复数相等在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.知识点二：复数的几何意义（1）复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．（2）复数的几何意义①任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．②一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．（3）复数的模①定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.③公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．（4）共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.知识点三：复数的加减法复数加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．（2）复数的减法（1）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．（3）复数加法与减法的几何意义①复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量，.如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量，而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．②复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量等于）对应，这就是复数减法的几何意义．知识点四：复数的乘除法一、复数乘法（1）复数的乘法运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.显然两个复数的积仍是复数．（2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有①z1·z2＝z2·z1(交换律)；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．（3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，，z0＝1；．（4）虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.复数的除法规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）.在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．知识点五：复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：（1）求根公式法：①当时，②当时，（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解.知识点六：复数的三角表示（1）复数的辅角①辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角.②辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作.（2）复数的三角形式定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角.【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连.（3）复数的代数式与三角式互化将复数化为三角形式时，要注意以下两点：①，②，，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，.（4）复数乘法运算的三角表示及其几何意义①复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和.②复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义.（5）复数除法运算的三角表示及其几何意义①复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.②两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义.题型一：复数基本概念应用解题思路：（1）对于复数a＋bi，①当且仅当b＝0时，它是实数；②当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；③当b≠0时，叫做虚数；④当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：.（2）复数相等在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.例1．复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C．的虚部为 D．的虚部为1【答案】B【分析】利用复数的虚部与实部的定义求解.【详解】复数的实部为，虚部为，故选：B.例2．为虚数单位，若，则（

）A．5 B．7 C．9 D．25【答案】A【分析】化简复数，再进行求模计算即可.【详解】因为，所以，故选：A.例3．已知为虚数单位，为实数，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由复数相等可列出方程组求解.【详解】由题意，所以，解得，所以.故选：D.例4．若复数是纯虚数，则（

）A． B．且 C． D．【答案】A【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.【详解】由题意可得：，解得或，又，所以.故选：A变式训练5．下列命题：①若，则是纯虚数；②若，，且，则；③若是纯虚数，则实数；④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断.【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误；对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误；对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.故选：.6．若(为虚数单位)，其中是实数，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先根据复数相等的定义求出，再根据复数的模的计算公式计算即可.【详解】，则由已知，得，所以，解得，所以．故选：BCD．7．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简复数，再利用复数的概念求解即得.【详解】的虚部为2，的实部为，所以所求复数的实部为2，虚部为，复数为．故选：A8．已知复数满足，其中是虚数单位，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出复数，利用复数的模长公式可求得的值.【详解】因为，则，，，故.故选：B.9．已知复数（为虚数单位），则（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】根据复数模长公式计算.【详解】由复数得，.故选：A10．对于复数，下列说法正确的是（

）A．若，则为纯虚数B．若，则C．若，则为实数D．i的平方等于1【答案】C【分析】根据纯虚数定义、复数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可.【详解】A：当时，显然是实数，因此本选项说法不正确；B：，因此本选项说法不正确；C：，，因此本选项说法正确；D：由虚数单位的定义可知：，因此本选项说法不正确，故选：C11．已知i为虚数单位，下列命题正确的是（

）A．若C，则的充要条件是B．(R)是纯虚数C．没有平方根D．当时，复数是纯虚数【答案】BD【分析】利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C.【详解】对于A，取，则，但不满足，A错误；对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确；对于C，的平方根为，C错误；对于D，当时，，则复数是纯虚数，D正确.故选：BD题型二：复数的几何意义及应用解题思路：（1）复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．（2）复数的几何意义①任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．②一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．（3）复数的模①定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.③公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．（4）共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.例1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B例2．复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，根据第二象限坐标的特点可得，从而可得.故选：D.例3．若复数满足，则的最小值为（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【分析】先确定在复平面上对应的点的轨迹为圆，根据圆的性质可得答案.【详解】设（为虚数单位），有，即，在复平面上对应的点在圆上，所以是该圆上的点到原点距离的最小值，的最小值为.故选：.例4．设为非零复数，则下列命题中正确的是（

）A． B．C． D．若，则的最大值为2【答案】BD【分析】对于A，结合题意进行判断，举反例即可，对于B，设,先求出共轭复数和模的平方，求解即可，故B正确，对于C,举反例证明即可，对于D，利用画出图形，利用几何意义求解即可.【详解】对于A，设，当均不为0时，为虚数，而为实数，所以不成立，故A错误；对于B，则，所以，而，所以成立，故B正确；

对于C，设，又，所以，故C错误.对于D，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，的几何意义为复数对应的点与两点间的距离，所以，如图可知，当点为时，最大，取最大值，则最大值为2，故D正确.故选:BD.16．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.【详解】令，由，得，点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，故选：D变式训练5．已知复数满足，在复平面内对应的点为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由复数模的定义计算即可.【详解】在复平面内对应的点为，则，，即，所以有.故选：D6．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解.【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，而成立推不出成立，，所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，故选：B7．已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】D【分析】由题意可得，由解出a的值，结合复数的几何意义即可求解.【详解】由题意知，，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，又该点在实轴上，所以，解得，所以，则.故选：D.8．设是复数且，则的最小值为.【答案】/【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，由图可知，.故答案为：.题型三：复数方程的解解题思路：在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：（1）求根公式法：①当时，②当时，（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解.例1．已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为是关于的实系数一元二次方程的一个根，所以，整理得到:即，故选：D.例2．已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由题意将代入方程，整理并根据复数为0的条件即可得解.【详解】由题意，整理得，所以，解得.故选：C.例3．已知复数且有实数根b，则=（

）A． B．12 C． D．20【答案】D【分析】根据题意可求得，从而得，求解得，从而可求解.【详解】由题意知为的实数根，则，即，则，解得，所以，所以，故D正确.故选：D.变式训练4．已知（i为虚数单位），z为实系数方程的一个根，则．【答案】【分析】由复数的除法求出，利用韦达定理求出的值即可.【详解】已知，则，，z为实系数方程的一个根，则，，所以.故答案为：5．若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数.【答案】2【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出.【详解】（i为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，（i为虚数单位）也是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，，解得.故答案为：2.6．已知复数，i为虚数单位.(1)求；(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.【答案】(1)；(2)；【分析】（1）利用复数的除法运算法则可得，即可求得；（2）将z代入方程利用复数相等的概念即可求得.【详解】（1）因为复数，所以（2）因为复数z是关于x的方程的一个根，所以，可得，即，所以,解得.题型四：复数的四则运算的应用解题思路：（1）复数加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.（2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.（3））复数的乘法：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.（4）复数的除法规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0.例1．已知为虚数单位，若复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的乘法以及除法运算即可化简求解.【详解】由可得，故选：C例2．若复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的模公式及复数除法法则即可得解.【详解】因为，所以由，得.故选：A.例3．设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数除法运算即可求解.【详解】，故，故选：B例4．设，为复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则且C．若，则D．若，且，则在复平面对应的点在一条直线上【答案】D【分析】设出、，对A，借助复数性质计算即可得；对B、C，举出反例即可得；对D：设，由题意可计算出、之间的关系，即可得解.【详解】设、，、、、，对A：若，则有，即且，故A错误；对B：取、，亦有，故B错误；对C：取，，则有，，故C错误；对D：设，、，若，则有，即有，整理得，由，故与不能同时成立，故在复平面对应的点在直线上，故D正确.故选：D.变式训练5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的概念及运算法则即可求解.【详解】设，则，因为，所以，所以，解得，所以.故选：C.6．若复数，则．【答案】【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.【详解】,,故答案为：7．设复数满足，，复数所对应的点位于第四象限；则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出复数，由题意有，且，求出即可得解.【详解】设，则，所以，又，复数所对应的点位于第四象限，所以，解得，从而.故选：B.8．已知复数z，下列说法正确的是（

）A．若，则z为实数 B．若，则C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数【答案】AC【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】设，则，若，即，即，则z为实数，故A正确；若，即，化简可得，即，即，当时，，，此时不一定满足，当时，，，此时不一定满足，故B错误；若，即，所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；若，即，，即，化简可得，则且，此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；故选：AC9．已知复数，下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若，则【答案】AC【分析】A项，由复数的性质可得；BD项，举特例即可判断；C项，先证明命题“若，则，或”成立，再应用所证结论推证可得.【详解】选项A，，则，故A正确；选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误；选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立.证明：设，，若，则有，故有，即，两式相乘变形得，，则有，或，或，①当时，，即；②当，且时，则，又因为不同时为，所以，即；③当，且时，则，同理可得，故；综上所述，命题“若，则，或”成立.下面我们应用刚证明的结论推证选项C，，，，或，即或，故C正确；选项D，令，则，但，不为，故D错误.故选：.10．已知为复数，则（

）A．若，则为实数B．C．若，则D．若，则复数在复平面内所对应的点位于坐标轴上【答案】ABD【分析】根据复数减法的运算法则、共轭复数的定义，结合复数模的运算性质、复数乘法的运算法则逐一判断即可.【详解】设，故为实数，故A正确；，故B正确；令，故，但，故C错误；若，则，故，即或，故D正确.故选：ABD题型五：复数的三角表示解题思路：（1）复数的辅角①辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角.②辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作.（2）复数的三角形式定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角.（3）复数的代数式与三角式互化将复数化为三角形式时，要注意以下两点：①，②，，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，.（4）复数乘法运算的三角表示及其几何意义①复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和.②复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义.（5）复数除法运算的三角表示及其几何意义①复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.②两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义.例1．设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解.【详解】因为，所以的辐角的主值为.故选：D.例2．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.【详解】复数的模为1，辐角为，所以复数的三角形式为.故选：A例3．复数，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（

）A． B．C．1 D．【答案】A【分析】由复数的除法运算得，进一步由复数乘法的几何意义即可运算求解.【详解】，又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转，∴旋转后的向量对应复数.故选：A.变式训练4．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是A． B． C． D．【答案】A【解析】先将复数写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.【详解】复数的三角形式是,向量对应的复数是故选：A【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.5．以下不是复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.故选：AD6．已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于.【答案】【分析】设，根据辐角的定义得到方程组，求解即可.【详解】设，因为的辐角为，所以.因为的辐角为，所以.解得，所以.故答案为：4．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据复数三角形式的乘除运算法则求解即可.【详解】因为，，，所以，故A正确；，故B错误；，故C正确；，所以，故D错误，故选：AC.一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数的运算，得到的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点，从而判断出所在象限.【详解】由题得，则在复平面内对应的点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：.2．若复数z满足：，则为（

）A．2 B． C． D．5【答案】C【分析】利用共轭复数的概念及复数相等的充要条件求出，进而求出.【详解】设，则所以，即，所以.故选：C.3．已知，若为纯虚数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据纯虚数的定义可得，进而利用复数的模长公式即可求解.【详解】由为纯虚数，得，，解得，所以，故选:B．4．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可.【详解】因为，所以，所以，所以，因此所选方程的两根为，仅有符合要求，故选：A.5．已知复数方程其中的一个复数根为，另一个复数根为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：将代入求解，求出另一个根，求出；方法二：根据一元二次方程根与系数的关系、复数的加法、复数的模．【详解】方法二：将代入方程中得，化简得，解得，故方程为，由求根公式解得，故，故.方法二：由一元二次方程根与系数的关系知故,故.故选：D二、多选题6．已知复数，均不为0，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详解】设，则对A，由得所以，，即，故A正确；对B，由得所以，，即，故B正确；对C，由，得，，，即，故C错误；对D，，，即，故D正确.故选：ABD.7．已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（

）A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到D．将的模缩小为原来的