河南驻许昌市2024年高考模拟卷数学试题含解析

河南驻许昌市2024年高考卷数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量。，人满足|a|=l,IZ?1=2,且a与人的夹角为120。，则,-3。|=()

A.而B.后C.2A/10D.743

2.从装有除颜色外完全相同的3个白球和加个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X,

已知E(X)=3,则。(X)=()

8642

A.—B.—C.—D.一

5555

,、111，、

3.已知等差数列｛4｝的公差不为零，且一，一，一构成新的等差数列，S"为｛%｝的前“项和，若存在“使得S.=0,

4]。3^^4

则〃二()

A.10B.11C.12D.13

4.1%-的展开式中，含/项的系数为()

A.-60B.-12C.12D.60

5.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在

后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取

一数，则其差的绝对值为5的概率为

o~o~o~o~o~o~o

1682

A.-B.—C.—D.-

525255

6.已知数列｛%｝中，％=2,"（a“+i—a“）=a“+l,〃eN*,若对于任意的ae[—2,2],“eN*,不等式

3<2『+G-1恒成立，则实数，的取值范围为（）

〃+1

A.(-oo,-2]u[l,+oo)B.(-00,-2]U[2,+oo)

C.(^o,-l]o[2,+co)D.[-2,2]

7.已知函数y=log〃(x+c)(a,c是常数，其中a>0且awl)的大致图象如图所示，下列关于a,c的表述正确

的是()

A.a>l,c>lB.a>l90<c<1

C.0<avl,c>lD.0<QV1,O<C<1

8.已知函数=若关于x的方程/（x）-相+1=0恰好有3个不相等的实数根，则实数加的取值范

ex

围为（）

A.（§/）B.（0,筌）C.（l,j+l）D.（1*+1）

22

9.已知双曲线=-==1（。〉0]〉0）的左、右焦点分别为耳、F2,圆好+/=/与双曲线在第一象限内的交点

ab

为M,若|孙|=3|叫|.则该双曲线的离心率为

A.2B.3C.72D.73

10.函数/（》）=吧士在[—2过2扪的图象大致为

cosx-x

11.已知函数/(,=(夕一。)［戈+，］,若/(x)NO(xeR)恒成立，则满足条件的a的个数为()

A.0B.1C.2D.3

12.对于任意xeR,函数/Xx)满足/(2—x)=—/(%),且当X..1时，函数/(x)=JE.若

a===g］，则”,仇c大小关系是()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知同=,卜2,(a+2/?J(a—b)=-2,则a与人的夹角为.

14.3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖.甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是

15.给出下列等式：A/2=2COS-,也+&=2cos工,^2+^2+^=2cos—,…请从中归纳出第〃个等式:

4816

J2+…+^2+^2二

〃个2

16.(3x-l)-|--l|的展开式中的常数项为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，四棱锥E-ABC。的侧棱OE与四棱锥尸-A3C。的侧棱5F都与底面ABC。垂直，ADLCD,

AB//CD,AB=3,AD=CD=4,AE=5,AF=3^/2.

(1)证明：DF//平面BCE.

(2)设平面AB歹与平面CD尸所成的二面角为仇求COS26.

18.(12分)已知函数=x—L—In%.

X

⑴若/(x)=x----lax在%=%,9(菁w9)处导数相等，证明：/(%)+/(W)>3—21n2；

X

(2)若对于任意左，直线y=^+b与曲线y=/(x)都有唯一公共点，求实数b的取值范围.

19.(12分)某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的

销售数据按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.

(1)从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；

(2)试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发

成本60元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱

(计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶).

①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X,批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量F,

求X和F的分布列和数学期望；

②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？

注：销售额=销量x定价；利润=销售额一批发成本.

20.(12分)数列｛4｝满足q=1,%是—1与%+i的等差中项.

(1)证明：数列｛%+1｝为等比数列，并求数列｛4｝的通项公式;

(2)求数列｛%+2科的前几项和3.

ax2+1

21.(12分)已知函数/(%)=其中a>0,6>0.

2bx

(1)①求函数/(x)的单调区间;

4a

②若飞,%2满足M>7=('=1，)，且玉+九2>°，％2>0.求证：>

~b

11)

(2)函数g(x)=7«x2_[nx.若%,%e0,方=对任意，x产/，都有I/(%)-/(々)目8(%)一8(%)1，求^一。

21J

的最大值.

22.(10分)在AABC中，GasinC=ccosA.

(I)求角4的大小；

(II)若5MBe=6，b+c=2+2^3,求。的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

先计算。力，然后将卜-3。|进行平方,，可得结果.

【详解】

由题意可得：

a-b=|6Z||/?|COS120=1X2X-1

.**=a-6tz-/?+9Z?2=1+6+36=43

.*•贝！11a—30=J43.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

2、B

【解析】

333

由题意知，X〜3(5,——),由EX=5x——=3,知X〜3(5,—),由此能求出。(X).

m+3m+35

【详解】

3

由题意知，X〜3(5,——),

m+3

3

:.EX=5x------=3,解得根=2,

m+3

3

・•・X〜3(57

.-.D(X)=5x|x(l-|)=|.

故选：B.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用.

3、D

【解析】

利用等差数列的通项公式可得％=-6d,再利用等差数列的前几项和公式即可求解.

【详解】

111

由一，一，一构成等差数列可得

6Z]^^4

J___1_

CI3^^4^^3

%-CI3_%-%——2d_.d—a

即―Q]—

ci-y^^2a^aci-y^^4

又%=4+3d=>%=2(%+3d)

解得：4=—6d

所以y=0时，〃=13.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

4、B

【解析】

在二项展开式的通项公式中，令x的事指数等于3,求出厂的值，即可求得含V项的系数.

【详解】

c

的展开式通项为T+}=C；•/J—W]=6-（—2广声3,，

令6-3r=3,得r=1,可得含/项的系数为Cx（—2）=—12.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

5、A

【解析】

阳数：1,3,5,7,9,阴数：2,4,6,8,10,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.

【详解】

因为阳数：1,3,5,7,9,阴数：2,4,6,8,10,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5x5=25个，满足差的绝

对值为5的有：（1,6）,（3,8）,（5,10）,（7,2）,（9,4）共5个，则。$=\

故选：A.

【点睛】

目标事件的个数

本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P=甘？；墨工绫翔.

基本本事件的总个数

6、B

【解析】

<7„a„111n1

先根据题意，对原式进行化简可得-xl—字=7^五=——77,然后利用累加法求得3k=3--然后不等

n+1nn\n+\）nn+1“+1n+\

式娱<2/+s—i恒成立转化为2t2+at-\>3恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.

〃+1

【详解】

由题，〃(4+1_g)=为+In%+1=(〃+1)%+1

口nan+lan_1_11

即----(

n+71----n-_~〃(几+71\)~--n----n--+-71

由累加法可得：-组[+&-勺[++作-父+4

〃+1(〃+1n)(〃n-lj(21)

+”]+2=3，<3

〃+1(〃n+lj\n—ln)(2)〃+1

对于任意的。£[—2,2],neN*,不等式巴包<2〃+成—1恒成立

L」〃+1

即2r+成一123=2/+成—420

令f(a)=2厂+at—4=cit+2厂—4,(ae[—2,2])

可得“2"。且/(-2)20

t2+t-2>0t>1或，<-2

即《

t2-t-2>Qt>2或f<-1

可得出2或Y—2

故选B

【点睛】

本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求

出通项公式和后面的转化函数，属于难题.

7、D

【解析】

根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.

【详解】

从题设中提供的图像可以看出

0<a<1,log“c>0,logo(l+c)>0,

故得0<c<l,0<a<l,

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.

8、D

【解析】

讨论x>0,x=Q,尤<0三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】

当x>0时，/(x)=B，故尸(x)=5^,函数在L上单调递增，在1上单调递减，且=雪;

当％=0时，/(0)=0；

当》<0时，/(x)=士工,/'(x)=——『7<°，函数单调递减;

ex27xe

如图所示画出函数图像，则0(根—1</(工］=必，故〃2€(1,4工+1)・

I2J2e2e

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

9、D

【解析】

本题首先可以通过题意画出图像并过〃点作FR垂线交FE于点H,然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形

。班的形状并求出高的长度，V"的长度即"点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出M点坐

标，最后将M点坐标带入双曲线方程即可得出结果。

【详解】

根据题意可画出以上图像，过M点作耳巴垂线并交耳月于点"，

因为|加用=3|"国，M在双曲线上，

所以根据双曲线性质可知，|阿6|=2a,即3|加招|-|〃巴|=2a,|人里|=。,

因为圆/+3?=尸的半径为万，00是圆Y+y2=62的半径，所以Q0=b,

因为。W=Z?,=a,OF2-c,储+万2=02,

所以？OMg90,三角形。”，是直角三角形，

因为“8人06，所以O8?M〃OMIMF2,MH=q,即〃点纵坐标为一，

将M点纵坐标带入圆的方程中可得必+哆=/，解得尤=?,Af(?，用，

将M点坐标带入双曲线中可得号-《=1,

化简得/=九2,1-,°?=3〃，e=-^=\/3,故选D。

【点睛】

本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结

合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。

10、A

【解析】

因为/(0)=1,所以排除c、D.当X从负方向趋近于0时，O＜cosx+x＜cosx—x,可得。＜/(幻＜1.故选A.

11、C

【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当。=0,②当。＜0,③当。＞0,考查方程/寓=-'的解的个数，综合①②③得

ae

解.

【详解】

①当a=0时，/(x)=e%-1>0..0,满足题意，

②当。<0时，e'—(7>0>3xF(---,+°°),ax—<0,故/(x)..0(xeR)不恒成立，

0aee

③当〃>0时，设g(%)=/-a,h(x)=ax+-

e9

令g(%)=e*-a=0,得x=痴,h(x)=ax+-=0,得1=---,

eae

下面考查方程lna=--的解的个数，

ae

设9(a)=alna,贝!)0,(Q)=l+lna

由导数的应用可得：

9(«)=出也在(0」)为减函数，在d,+8)为增函数，

ee

贝!19(“)加=」，

e

即加a=----有一■解，

ae

又g(x)=e'-a,/?(尤)=ax+，均为增函数，

e

所以存在1个。使得fM..0(xeR)成立，

综合①②③得：满足条件的。的个数是2个，

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的

题型.

12、A

【解析】

由已知可得［1,+<功的单调性，再由/(2-x)=-/(%)可得/(x)对称性，可求出“X)在(f,l)单调性，即可求出结论.

【详解】

对于任意xeR,函数/(x)满足/(2—x)=—/(x),

因为函数f(x)关于点(1,0)对称，

当时，/(x)=GT是单调增函数，

所以Ax)在定义域R上是单调增函数.

因为所以>/

b<c<a.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题“

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、60°

【解析】

根据已知条件(4+26)<4-6)=—2,去括号得：|tz|2+t?-Z?-2|/?|=4+2x2xcos61-2x4=-2,

二>cos0=­,0=60°

2

1

14、-

3

【解析】

利用排列组合公式进行计算，再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可.

【详解】

解：3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，

甲、乙两人同时各抽取1张奖券，

则两人同时抽取两张共有：C港=6种排法

排除特等奖外两人选两张共有：尺=2种排法.

21

故两人都未抽得特等奖的概率是：P=-=~

63

故答案为：-

3

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率公式的应用，是基础题.

一n

15、2cos-2例-

【解析】

通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第九个等式即可.

【详解】

解：因为：=2cos—,^2+42=2cos—,,2+,2+血=2cos2,

4816

171

等式的右边系数是2,且角是等比数列，公比为一，则角满足：第〃个等式中的角丁打，

22

所以』2+…+/2+"=2c°s券;

/2

.、冗

故答案为：2cos

【点睛】

本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题.

16、31

【解析】

由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为[2-1)的展开式得通项为4+1=(』)'•25-则

(3x-1)[2—1)的展开式中的常数项为：3x(-l)4CX-l)5Cf=14,得解.

【详解】

解：加=(-1)'•25-

则(3x-1)[2-1]的展开式中的常数项为：

3x(—if.?.或―(—1)5.2。C=31.

故答案为：31.

【点睛】

本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7

17、(1)证明见解析(2)—-

25

【解析】

(1)根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF,然后根据勾股定理计算可得AF=OE,最后利用线面平行的判定定理,

可得结果.

(2)利用建系的方法，可得平面A5F的一个法向量为"，平面3户的法向量为相，然后利用向量的夹角公式以及

平方关系，可得结果.

【详解】

(1)因为。EJ_平面A3C。，所以Z>EJ_AO,

因为AO=4,AE=5,DE=3,同理3F=3,

又Z>E_L平面45cZ),BF工平面ABCD,

所以DE//BF,XBF=DE,

所以平行四边形BE。歹，故DFHBE，

因为3EU平面J5CE,。尸(2平面5CE

所以。尸〃平面BCE；

(2)建立如图空间直角坐标系，

则O(0,0,0),A(4,0,0),

C(0,4,0),F(4,3,-3),

DC=(0,4,0),DF=(4,3,-3),

设平面C。歹的法向量为"?=(x,y,z),

由〈-，令x=3,得加=(3,0,4),

m-DF=4x+3y-3z=0'7

易知平面ABF的一个法向量为n=(1,0,0)，

3

所以cosV牲n>=—,

7

故cos26=2cos023-1=-----.

25

【点睛】

本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.

18、(I)见解析(II)Z?>-ln2

【解析】

，

(1)由题X>0,/(x)=l+^r--,由f(X)在X=X1,X2(X#X2)处导数相等，得到/'(%)=/'(X2)=和，得

XX

111八

---------=

Xfxx

111c'

*1%

由韦达定理得，+'=l,由基本不等式得玉+%2=石,得石・马〉4,由题意得

/(玉)+/(%2)=芯入2_卜(不入2)—1，令1=%.九2〉4,则耳与一1n(石N2)_1=/_1皿_1，令

g⑺="直—1。>4),,利用导数性质能证明g")>g(4)=3—21n2.

⑵由/(x)=L+b得「：”一：T1n―.令

XX

利用反证法可证明证明M”<i恒成立.

由对任意左€(口1)，只有一个解，得人⑴为(o,+8)上的递增函数，.1⑴I。得

X2_

22

b>----lnx+1,令加(元)二-----lnx+l(x>0),由此可求6的取值范围..

XX

【详解】

⑴r(x)=i+』」

XX

11,

—-----F1-m=n0

令/'(%)=/'(%2)=加，得，;；)

--------bl-m=0

x2x2

111

由韦达定理得一+一=l

玉x2

即％+%2=%•%2>2"1%2,得%.％2>4

(11)

「./(西)+/(%2)=(玉+%2)——।(In%]+lux2)

XX

\127

)

=XyX2一111(再次2—1

令”石・％2>4,则%%-1n（中2）—1=%—1皿一1，令g⑺=%-1皿-1«>4）,

则g3=l-；>0（/>4）,得g“）>g（4）=3-21n2

（II）由/（同=区+人得沙_x—1K一”

K—

X

1I,

.x------mx-b

令心）=—--------'

X

贝!lx-O+,xf+<»,/z（x）f1

下面先证明人（力<1恒成立.

_1，_h

若存在/«o,y）,使得x-o+,力（九）———且当自变量》充分大时，M,=X-%—-<冒

X

所以存在玉G（O,XO）,x,e（/,+oo）,使得//（%）<1,取k=max{〃（石）,/?（%2）}<1，则y=左与y=〃（尤）

至少有两个交点，矛盾.

由对任意力（力=上只有一个解，得可刈为（0,转）上的递增函数，.以同；11n+或I。

X

r\r\。1G

得bN----lnr+1,令租（%）=----lnx+l（x>0）,贝!）根'（%）=）——=一,

xxxxx

得62加（］丫”=加（2）=—ln2

【点睛】

本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题.

19、（1）0.657；（2）①详见解析；②应该批发一大箱.

【解析】

（1）酸奶每天销量大于35瓶的概率为0.3,不大于35瓶的概率为0.7,设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸

奶销量大于35瓶”为事件A,则］表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.

（2）①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20,30,40,50四种情况，分别求出相应概率，

列出分布列，求出X的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20,30两种情况，分

别求出相应概率，由此求出「的分布列和数学期望；②根据①中的计算结果，E（X）>E（y）,从而早餐应该批发一大

箱.

【详解】

解：(1)根据图中数据，酸奶每天销量大于35瓶的概率为(0.02+0.01)x10=0.3,不大于35瓶的概率为Q7.

设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A,则何表示“这三天酸奶的销量都不大于35

瓶

所以尸（A）=l-P（A）=1-0.73=0.657.

(2)①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20,30,40,50四种情况.

当销量为20瓶时，利润为5?2075=25元;

当销量为30瓶时,利润为5?3075=75元;

当销量为40瓶时，利润为5?4075=125元;

当销量为50瓶时，利润为5?5075=175元

随机变量X的分布列为

若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20,30两种情况.

当销量为20瓶时，利润为5?2060=40元；

当销量为30瓶时，利润为5?3060=90元.

随机变量Y的分布列为

Y4090

P0.30.7

所以灰丫）=40?0.390?0.775（元）.

②根据①中的计算结果，E(X)>E(y),

所以早餐店应该批发一大箱.

【点睛】

本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属

于中档题.

nn+12

20、(1)见解析，an=2-l(2)Sn=2+n-2

【解析】

(1)根据等差中项的定义得。用-1=24，然后构造新等比数列｛4+1｝,写出｛4+1｝的通项即可求

(2)根据(1)的结果，分组求和即可

【详解】

解：(1)由已知可得"「I=2a“，即可+i=24+l,可化为%+1+1=2(4+1),故数列也,+1｝是以q+l=2为

首项，2为公比的等比数列.

,,

即有%+1=(q+1)-2-1=2\所以an=2"-1.

(2)由⑴知，数列｛%+2科的通项为：a„+2n=2"+2n-l,

23

:.Sn=(2'+2+2++2")+(1+3+5++2n-l)

”2

故5“=2用+〃2=2.

【点睛】

考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.

、11

21、(1)①单调递增区间,+8,单调递减区间;②详见解析；(2)

7■Ja4a716

【解析】

⑴①求导可得f'(x)=竺二,Xw0,再分别求解/'(x)>0与/''(x)<0的解集，结合定义域分析函数的单调区间即

2bx

可.

②根据⑴中的结论，求出/(%)+2/(%)的表达式，再分七<0与%>。两种情况，结合函数的单调性分析

)+2/(%)的范围即可.

⑵求导分析g(x)=；取2-InX的单调性,再结合/(x)单调性，设石<々,去绝对值化简可得

(1

/(石)一8(%)-"(%2)-8(兀2)]>0,再构造函数河(%)=/(%)-8(%)/€0,下，根据函数的单调性与恒成立问

,2b八

题可知1-一尸20，再换元表达b-a求解最大值即可.

7a

【详解】

解：⑴广⑴:寨1,"。，

1、(1、/_1_1、

故函数的单调递增区间