陕西省西安市某中学2024届高三第四次质量监测文科数学试题（含答案与解析）

西安市第一中学2024届高三第四次模拟考试

数学（文）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合”"={止2<%<2},则（）

A.{0,1}B.{々0,1,2}

C.[x\-2<x<2}D.何-2cx<2}

2.已知复数z=H^,则z在复平面内对应的点位于（）

i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量a=（9,2）1=（8,l）,c=（5,m）,若必佃-卜）,则机=（)

3

A1B.-C.34D.-30

2

03

4.已知a=ln5,b=log35,c=5->则（）

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c

5.设抛物线C：必=12丁的焦点为八点尸在c上，Q（0,9）,^\PF\=\QF\,则|P@=（）

A.4A/2B.6C.4君D.6点

6.函数/（x）=（V—8归的极小值点为（）

A.2B.-4e2C.-4D.8厂

7.执行如图所示的程序框图，若输入的a=256,则输出的5=（

8.某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考

试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图（分成[40,50）,

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六组）,下列结论中不正确的是（）

频率

B.若从成绩在[70,80）,[80,90）,[90,100]内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在

[80,90）内的有3人

C.这100名学生成绩的中位数约为65

D.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2

9.《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将《西游记》

《红楼梦》《水浒传》《三国演义》各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则《西游记》和《红楼

梦》被分给同一个同学的概率为（）

10.在正四棱锥P—ABCD中，E为尸C的中点，且则异面直线助与AC所成角的余弦值为

A近A/6

A.---Ro.-V-2-C.---nL）.V6

6436

11.定义在R上的奇函数"％）在[0,+a）上单调递增，则不等式/（%+2）+/（尤）＞0的解集为（）

A.B,C.（-1,+8）D.（0,+co）

12.已知等差数列｛%｝的前〃项和S“,且4是%和4的等比中项，则左=（）

A.3B.4C.5D.6

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

22

13.椭圆土+2L=1上的一点到两个焦点的距离之和为.

69

14.如图，一个圆柱内接于圆锥，且圆柱的底面圆半径是圆锥底面圆半径的一半，则该圆柱与圆锥的体积

,、1

15.数列｛。“｝满足4+1—,%=3,则％=

1一

16已知函数/（x）=sin[x+tj,给出下列结论:

①〃%）的最小正周期为2兀；

②/[W]是'（"）的最大值；

③把函数y=sinx的图象向左平移△个单位长度，可以得到y=/(%)的图象.

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin23=、/5sin3.

(1)求角8的大小；

(2)若ABC的面积为6,。=4,求6的长.

18.某工厂的工人生产内径为28.50mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂

的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸(单位：mm)如下：

28.51x1328.52x628.50x428.48x11

28.49xp28.54x128.53x728.47

这里用XX"表示有九个尺寸为xmm的零件，P,q均为正整数.若从这60个零件中随机抽取1个，则这

4

个零件的内径尺寸小干28.49mm的概率为—.

(1)求乙4的值.

(2)已知这60个零件内径尺寸平均数为京m，标准差为smm,且s=0.02,在某次抽检中，若抽取

的零件中至少有80%的零件内径尺寸在［x-s,x+s］内，则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的零件

是否合格？说明你的理由.

19.如图，几何体ABC-DEF为三棱台.

(1)证明：OE7/平面AB厂.

(2)已知平面ACED,平面OERAC,3cAe=40=。/=6,5。=3,。/=12,求三棱台

ABC—OEF的体积.

参考公式：台体的体积V=；/z(Si+J啊+S2),其中d,S2分别为台体的上底面面积、下底面面积，〃为

台体的高.

20.已知函数/(X)=31nx-x2+%.

(1)求了(%)的单调区间；

(2)若过点(2,1)作直线与函数g(x)=/(x)-31n%+gx3的图象相切，判断切线的条数.

21.已知双曲线C:5-4=im>0,6>0)的离心率为巫，虚轴长为2.

ab-3

(1)求双曲线C的方程；

(2)若动直线/与双曲线。恰有1个公共点，且与双曲线。的两条渐近线分别交于P,Q两点，。为坐标

原点，证明：△OPQ的面积为定值.

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一个题目计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

+1

X=^3

22.在直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为《a为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正

乌r

y=1+

2

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕?+3夕2sin29=4.

(1)求直线/的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)记直线/与曲线。的两个交点分别为M,N,求1MM.

［选修4—5：不等式选讲］

23已知函数“无)=,-。2|+|尤-4a+4］.

(1)若a=l,求不等式/(九)W5解集;

(2)若“无)>9,求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合M="={止2<x<2},则（）

A.{0,1}B.{-2,0,1,2）

C.[x\-2<x<2}D.{刃-2<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】由集合的并集运算求解即可.

【详解】因为M={0,1,2},N={H—2cx<2},

所以〃DN=1%|-2<x<2}

故选：C.

2.已知复数z=±2,贝ijz在复平面内对应的点位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的运算法则，得到z=2-i，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由复数z=]?=-（l+2i）i=2-i,所以z在复平面内对应的点（2,-1）位于第四象限.

故选：D.

3.已知向量a=（9,2）,Z?=（8』）,c=（5,加），若■（商一仁）,则冷=（）

A.1B.-C.34D.-30

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，求得。一。=（4,2-加），结合〃，（a-c）,列出方程，即可求解.

【详解】由向量a=（9,2）1=（8,l）,c=（5,〃z）,可得a—c=（4,2—相），

因为人J_（a—c）,可得32+（2—/"）=0,解得m=34.

故选：C.

3

4.已知a=ln5,b=log35,c=5~0-,则（

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】C

【解析】

【分析】通过和1比较可得答案.

3

【详解】因为a=ln5〉b=log35〉l,c=5"°<1.所以c<》<a.

故选：C

5.设抛物线C：必=12〉的焦点为口，点/>在c上，Q(0,9),^\PF\=\QF\,则|P@=()

A.4A/2B.6C.4A/3D.6点

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线的方程求出焦点歹(0,3),然后计算|尸耳=|Q耳，可知Py轴，故由勾股定理求解

|PQ|即可.

【详解】由题意可知—0,3),|Q同=6,所以典=6.

因为抛物线C的通径长为2P=12,所以尸尸，y轴，

所以|=V62+62=6A/2.

故选：D

6.函数/(尤)=(¥—8卜,的极小值点为()

A.2B.-4e2C.-4D.8e-4

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点.

【详解】因为/'(x)=(/+2x-8)e-(x-2)(x+4)e"

所以/(九)在(一”,T),(2,+“)上单调递增，在(—4,2)上单调递减，故极小值点为2.

故选：A

7.执行如图所示的程序框图，若输入的a=256,则输出的人=()

1

C.-D.8

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，结合给定的程序框图，逐次计算，即可求解.

【详解】输入a=256,不满足。<2,可得a=log2256=8；

当a=8时，不满足。<2,可得a=log28=3；

当a=3时，不满足a<2,PJW«=log23；

当。=log23时，满足a<2,可得人=2-1°也3=§.

故选：C.

8.某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考

试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图(分成[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组),下列结论中不正确的是()

频率

B.若从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在

［80,90）内的有3人

C.这100名学生成绩的中位数约为65

D.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2

【答案】C

【解析】

［分析］根据频率分布直方图的特点逐个进行分析计算即可.

【详解】由（0.008x2+a+0.02x2+0.032）xl0=l,=0.012,所以A正确；

这100名学生中成绩在［70,80）,［80,90）,［90,100］内的频率分别为0.2,0.12,0.08,所以采用分层抽

n12

样抽取的10名学生中成绩在［80,90）内的有10x而=3人，故B正确；

根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在（60,7。）之间，设中位数为x,则

（x—60）x0.032=0.22,所以x=66.875,故C错误；

根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得

x=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x0.2+85x0.12+95x0.08=68.2,D正确.

故选：C

9.《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将《西游记》

《红楼梦》《水浒传》《三国演义》各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则《西游记》和《红楼

梦》被分给同一个同学的概率为（）

1111

A.-B.-C.—D.一

63124

【答案】A

【解析】

【分析】古典概型的应用，找准四本书分成三组的方法总数和《西游记》与《红楼梦》分在一组时的方法总

n（A）

数，利用尸=一曷求出概率.

【详解】设《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》这四本书分别为A、B、C、D.

将四本书分成三组的情况有（AB,C,D）、（AC,B,D）、（AD,B,C）、（BC,A,D）、（BD,A,C）、

（CDAB）共6种.

其中A、B在一组的情况有1种，所以《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为

6

故选：A

10.在正四棱锥尸—A5CD中，E为PC的中点，且鹿，PC,则异面直线仍与AC所成角的余弦值为

()

人近

RV2CA/6nV6

6436

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，推得正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，设四棱锥P-ABCD的棱长均为2,在

△BEF中,利用余弦定理，即可求解.

【详解】连接交AC于。，取Q4的中点尸，再连接

因为跖〃AC,所以N3所为所求角或其补角,

在11PBe中，E为尸。的中点，且BE,尸C,所以PB=BC,

所以正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等.

设四棱锥P—ABCD的棱长均为2,在/\REP中,EF=6，BE=BF=6

BE?+EF?-BF°2+3-3_V6

所以cosZBEF=

2BEEF273x72-6

故选：D.

11.定义在R上的奇函数在［0,+")上单调递增，则不等式/(x+2)+/(x)>0的解集为()

A.(-8,1)B.(-oo,0)D.(0,+«?)

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得了(%)在R上单调递增，再根据函数为奇函数可得不等式/(x+2)+/(x)>0,

即为不等式/(x+2)>/(-力，再根据函数的单调性即可得解.

【详解】解：因为奇函数/(九)在［0,+。)上单调递增，所以/(%)在R上单调递增，

因为/(x+2)+/(x)>0,所以/(x+2)>―/(%)=/(-X),

所以无+2>—九，解得尤>一1.

故选：C.

12.已知等差数列｛。“｝的前几项和S.=,且矿是％和为的等比中项，贝心=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用％与S”的关系，结合等差数列的概念与等比中项计算即可.

【详解】设｛%｝的公差为d,

当“22时，an=S“=77%=(277-1)0,,

所以a,—3%,d-2%,€1卜=%+(k—1)d(2k—1)%.

又因为的是为和4的等比中项，所以…即(3q)2=q-(2左一l)q.

易得q/。，解得左=5.

故选：c.

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

22

13.椭圆土+乙=1上的一点到两个焦点的距离之和为.

69

【答案】6

【解析】

【分析】根据椭圆的标准方程，求得a=3,结合椭圆的定义，即可求解.

【详解】由椭圆三+乙=1,可得标=9,所以。=3,

69

根据椭圆的定义，可得椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2a,

22

所以椭圆工+2L=1上的一点到两个焦点的距离之和为6.

69

故答案为：6.

14.如图，一个圆柱内接于圆锥，且圆柱的底面圆半径是圆锥底面圆半径的一半，则该圆柱与圆锥的体积

的比值为.

3

【答案】1##0.375

O

【解析】

【分析】设该圆柱的底面圆半径为「，高为〃，则圆锥的底面圆半径为2厂，高为2〃，然后表示出圆柱和圆

锥的体积，从而可求得结果.

【详解】设该圆柱的底面圆半径为,，高为〃，则该圆柱的体积为兀尸鼠

因为一个圆柱内接于圆锥，且圆柱的底面圆半径是圆锥底面圆半径的一半，

8兀产/z

所以圆锥的底面圆半径为2/，高为2〃，则该圆锥的体积为叱2.

nr2h3

故该圆柱与圆锥的体积的比值为嬴而

故答案为:

15.数列｛4｝满足4+1—，%=3,则％=

1一凡

【答案】--##-0.5

2

【解析】

【分析】由数列的递推关系，求出几项可以发现该数列是一个周期数列，且周期为3,求解即可.

1,1

【详解】因为4+]=■;——，所以4=1-----.

1-*4+1

1231

因为。9=3,所以。8=]_§=§，^7=~~^2f^6—1+2=3,

所以｛4｝是一个周期数列，且周期为3,故q=%=—；.

故答案为：—

2

16.己知函数/(x)=sin卜+已)，给出下列结论：

①“可的最小正周期为2兀;

②/[W]是/(")的最大值；

③把函数y=sinx的图象向左平移△个单位长度，可以得到y=f(x)的图象.

其中所有正确结论的序号为.

【答案】①③

【解析】

【分析】根据题意，结合最小正周期，三角函数的对称性，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数〃x)=sin[x+2],可得的最小正周期为7=牛=2兀，所以①正确；

又由=所以②错误•

71

把函数y=sinx的图象向左平移一个单位长度,可以得到〃x)=sinx+弓的图象，所以③正确.

6

故答案为：①③.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.在.ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin23=、/5sin3.

(1)求角B的大小；

(2)若ABC的面积为6,a=4,求b的长.

TT

【答案】(1)B=—

4

(2)b=M

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式化简得cos5=也，即可求解.

2

(2)利用三角形面积公式求解c,然后利用余弦定理求解b即可.

【小问1详解】

因为sin2B=^2sinB，所以2sinBcosB=

因为sinB/O,所以cosB=也,又，0<5<兀，所以3=乌.

24

【小问2详解】

因为5A.sc=—acsinB=—x4xcx^-=6>所以c=3五.

△ABC222

由余弦定理可得/=/+02—2accos3=16+18—2x4x3应义正=10，

2

所以/?=\/10-

18.某工厂的工人生产内径为28.50mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂

的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸(单位：mm)如下：

28.51x1328.52x628.50x428.48x11

28.49X7?28,54x128.53x728.47

这里用XX”表示有九个尺寸为xmm的零件，P,q均为正整数.若从这60个零件中随机抽取1个，则这

4

个零件的内径尺寸小干28.49mm的概率为—.

(1)求0,q的值.

(2)已知这60个零件内径尺寸的平均数为嬴m，标准差为smm,且s=0.02,在某次抽检中，若抽取

的零件中至少有80%的零件内径尺寸在［1-5,_¥+S］内，则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的零件

是否合格？说明你的理由.

p=13

【答案】(1)\u

＜7=5

(2)不合格，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据零件个数和概率值建立方程求解即可；

(2)求出平均数，然后求出零件内径尺寸在内的个数即可判断.

【小问1详解】

13+6+4+11+p+1+7+q=60

依题意可得＜11+q4，

.60-15

p=13

解得一

q=5

【小问2详解】

将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为

^[0.01x13+0.02x6+0x4+(-0.02)x11+(-0.01)x13+0.04x1+0.03x7+(-0.03)x5]

二0,

所以7=0+28.50=28.50,所以7—s=28.48，i+s=28.52・

所以这60个零件内径尺寸在[7—s，+s]内个数为60—1—7—5=47,

4748

因为一＜一=0.8,所以这次抽检的零件不合格.

6060

19.如图，几何体ABC-DEF为三棱台.

(1)证明：OE7/平面AB厂.

(2)已知平面ACED,平面OERAC,3cAe=40=。/=6,5。=3,。歹=12,求三棱台

ABC—DEF的体积.

参考公式：台体的体积V=g//(S]+/X+S2),其中凡分别为台体的上底面面积、下底面面积，h为

台体的高.

【答案】（1）证明见解析

（2）63A/3

【解析】

【分析】（1）利用线面平行的判定即可证明；

（2）首先利用面面垂直的性质得平面。跖，再利用台体的体积公式即可得到答案.

【小问1详解】

根据三棱台的几何性质可知，DE//AB,

因为。£仁平面A88ABu平面AB广，所以OE//平面AB/.

【小问2详解】

根据三棱台几何性质可知，DF//AC.

过A作的垂线，垂足为G.

因为平面ACED，平面DEF，平面ACFD〕平面。防=。?，AGu平面ACFD,

所以AGL平面。跖.

r)p_AT

因为AC=AD=B=6,。尸=12,所以。G=-----------=3,

2

AG=>JAD2-DG2=3y/3'则三棱台MC—DE尸的高为

因为ACIBC,所以，ABC的面积为工x3x6=9.

2

「DF

又——=2所以」无户的面积为9x2?=36.

AC

故三棱台ABC-DEF的体积V=gx(9+J9x36+36)x373=6373.

20.已知函数4%）=31nx-12+%.

（1）求外力的单调区间；

(2)若过点(2,1)作直线与函数g(x)=/(x)-31n%+；x3的图象相切，判断切线的条数.

【答案】(1)/(%)的单调递减区间为［T，+s］，单调递增区间为

(2)三条

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

(2)设出切点(%o，g(/))，将切线方程表示为含有参数为的直线方程，根据切线过点(2,1)可得关于参数

%的方程，判断方程根的个数即可求解.

【小问1详解】

因/(x)=31nx-x2+x,

所以r(x)、_2x+］=3+x2x2」+l)(2x—3)

XXX

令盟x)>0,得令/(x)<0,得xe1|>+oo］.

所以了(%)的单调递减区间为［T,+s］，单调递增区间为.

【小问2详解】

13

g(%)=-X3-x2+x,则g'(x)=—x2-2%+1,

设切点为(尤o，g(尤0))(无0>0),

［3

则g(%0)=一君+/，g'(x0)=-x^-2x0+1,

所以切线方程为丁一1万片~xo+毛］=［5"：—2毛+l}x—/).

将点(2,1)代入得l——x；+x°^=^"|xo-2x0+1^(2-x0)>

整理得XQ—4%Q+4%o—1=(%o—1)(%；—3x0+1)=0.

因为方程f—3x+l=0有两个不相等正根，

所以方程(%。T(需-3%+1)=0共有三个不相等正根.

故过点(2,1)可以作出三条直线与曲线y=g(x)相切.

21.已知双曲线的离心率为巫，虚轴长为2.

a-b-3

(1)求双曲线C的方程；

(2)若动直线/与双曲线。恰有1个公共点，且与双曲线。的两条渐近线分别交于P,Q两点，。为坐标

原点，证明：的面积为定值.

【答案】(1)--y2=l

9-

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据已知条件求得。，仇c,从而求得双曲线的方程.

(2)根据直线/的斜率是否存在进行分类讨论，由直线/的方程求得三角形OPQ的面积，从而证得结论成

立.

【小问1详解】

因为双曲线C的虚轴长为2,所以3=1.

因为e=£=巫，且42+32=02,

a3

所以。=3,c=A/1-0，

所以双曲线C的方程为工-丁=1.

9-

【小问2详解】

证明：当直线/斜率不存在时，/的方程为x=±3,

此时|PQ|=2,Sop°=gx2><3=3.

当直线/的斜率存在时，不妨设直线/：y=Ax+m,且%士；・

y=kx+m

,得（1一9左2）/一］8欣x-9病一9=0.

联立方程组《必21

19'

由A=324mk2+4（1—9左2）（9m2+9）=0,得9左？=/+1.

y=kx+m

/口3m

联立方程组《1，倚x=~~~

y=—xl-3k

3

13m

不妨设/与y=—x的交点为P,则马=厂高.

-I.K/

同理可求勺=一事或,所以户0=&+4鬲_%|=6|^^2：・

Iml_11八八|,3m2

因为原点。到直线/的距离d=所以5。丝=不归。口=|卜

a+12|l-9/r|

【点睛】方法点睛：求解双曲线的标准方程，关键是根据已知条件求得。和b是两个未知参数，要

求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“双曲线的离心率以及虚轴长”两个已知条件，再结合

c2=a1+b1即可求得a力，从而求得双曲线的标准方程.

(-)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一个题目计分.

［选修4—4：坐标系与参数方程］

X=y［?>H--1,

2

22.在直角坐标系中，直线/的参数方程为《「(/为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正

产1+乌

12

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22+322s