四川省泸州市合江县2021届高三数学一诊模拟考试理试题含解析

2021级高三一诊模拟考试

数学(理工类)

本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡交回

第I卷选择题(60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知"十丁=1(1+1)”,"R,i为虚数单位)，复数z=x+yi,贝ijzi=()

A2B.72C.2+3iD.-2+3i

【答案】A

【解析】

【分析】对xi+y=i(l+i)化简，可求出复数z,从而可求出z。

【详解】由xi+y=i(l+i),得y+;d=-l+i.所以％=l,y=—1

因为z=x+yi,所以z=l—i，z=l+i，

所以z三=(1—i)(l+i)=2.

故选：A

2.设集合M={x|x<0},N={x［g<2'<8，，R是实数集，则g(MUN)=()

A.{尤|无23}B.{x|-l<x<0}C.{x|xW-l或xNO}D.{x|x<3}

【答案】A

【解析】

【分析】先求出集合N,再求解并集和补集.

【详解】因为:<2*<8,所以2T<2、<23，即一l<x<3,AfuN={x|x<3},所以

0(MuN)={x|xN3},故选A.

【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.

3.溶液酸碱度是通过计算的，2”的计算公式为°〃=一值［"+］,其中［H+］表示溶液中氢离子的

浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5x10-2摩尔/升，则胃酸的?”是(参考数据:

/g2ao.3010)

A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数运算以及pH的定义求得此时胃酸的pH值.

【详解】依题意—lg(2.5xl0-2)=一3焉=电段=34()

=lg(4xl0)=lg4+lgl0=21g2+l®2x0.3010+1=1.602.

故选：C

【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.

4.若"log2。？，6=2%c=log020.3,则下列结论正确的是

A.ob>aB.b>a>cC.a>b>cD.b>oa

【答案】D

【解析】

02

【详解】分析：利用指数函数的性质以及对数函数的性质，分别确定"log2。？，b=2,c=log020.3

的范围，从而可得结果.

详解：因为a=log20.2(03=2，1,0<c=log020.3<1,

所以/?><?>〃，故选D.

点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，

常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间(-8,0),(0,1),(1,+8))；二是利用

函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

5.函数=的图象为()

X।JC\

2

【解析】

【分析】根据奇偶性和函数值符号使用排除法可得.

11

【详解】因为了⑴的定义域为{X|XWO},且/(一%)=/(X)

(-X)4+卜XX4+|x|

所以/(x)为偶函数，可排除AB；

又当x>°时,=故C错误.

故选：D

6.在长方体ABC。—A4GR中，直线4。与平面4耳A的交点为M，O为线段42的中点，则下列结

论错误的是()

A.A三点共线B.M,。,4,8四点异不共面

C.5四,0,河四点共面D.C,M四点共面

【答案】C

【解析】

【分析】由长方体性质易知A4，C，C四点共面且。”,3片是异面直线，再根据股与AC、面

ACGA、面A耳2的位置关系知M在面ACQA与面的交线上，同理判断O、.A,即

可判断各选项的正误.

3

则AA，£,C四点共面.

因为MeAjC,

则Afe平面ACGA，

又MG平面ABD,

则点M在平面ACQA与平面Ag2的交线上，

同理，0、A也在平面ACGA与平面的交线上，

所以AM,O三点共线；

从而M,O，A，*A四点共面，都在平面ACGA内，

而点8不在平面内，

所以M,0，A，B四点不共面，故选项B正确；

B,男,0,三点均在平面BBQQ内，

而点/不在平面内，

所以直线力。与平面3片口。相交且点。是交点，

所以点〃不在平面内，

即四点不共面，

故选项C错误；

BC,J=LBC=DiAl,

所以BCQA为平行四边形，

所以C4”3。共面，

所以B,。1,C,M四点共面，

故选项D正确.

故选：C.

7.己知角9的顶点与原点重合，始边与左轴的非负半轴重合，尸(1,2)为角。终边上的一点，将角。终边逆

4

JT

时针旋转彳得到角夕的终边，则

C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式可求得tan尸的值，利用诱导公式、二倍角公式结合弦化切可求得所求代数

式的值.

【详解】由题可知tan6=2,所以tan/7=tan[夕+f]=粤处)=尹^二一3,

I4)1—tan。1-2

cos2/3cos2y0-sin2f31-tan20

1+sin邛sin之/+cos2,+2sin/cos(3tan2/?+1+2tan

1—tanB1+3.

-.................--------=­2

1+tanf31—3

故选：A.

8.己知函数了(%)是A上的奇函数，当x>0时，/(x)=lnx+(，若/(e)+/(O)=—3,e是自然对数

2%

的底数，则/(-1)=()

A.eB.2eC.3eD.4e

【答案】D

【解析】

【分析】依题意根据奇函数的性质得到/(0)=0,即可得到/(e)=-3,代入函数解析求出“，最后根据

=—/(1)计算可得;

【详解】解：依题意得/(0)=0，f(-x)=-f(x),由〃e)+〃0)=-3,即/(e)=lne+f=—3,

i4e।

得a=—8e,所以当X>0时=lnx-----,所以〃-1)=一/。)=一11111一丁)=46.

故选：D

9.若函数/(X)=J+G；2—9在1=—2处取得极值，则。=()

5

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】由/⑴在尤=—2时取得极值，求出/⑴得/•'(—2)=0,解出。的值.

【详解】解：/(x)-x3+ax2-9,：.f\x)-3x2+2ax；

又/(x)在x=—2时取得极值，.•"'(-2)=12-4a=0；

.'.ci=3.

故选：B.

【点睛】本题考查了应用导数求函数极值的问题，是基础题.

10.在三棱锥P—A8C中，上4,平面ABC,BA=BC,ZABC=90°,PA=2,若三棱锥P—ABC

的体积为6,则三棱锥P-A5C外接球的表面积为()

A.18zrB.24万C.36"D.40万

【答案】D

【解析】

【分析】上4,平面A3C,则有PA1BC,然后由得线面垂直后得。

从而可得PC就是外接球直径，再由体积计算出PC长后可得球表面积.

【详解】：刈，平面A3C,二PA1BC,

又5CLAB,PA\=平面

PC中点到四个点P,A,瓦C的距离相等，即PC为三棱锥P—ABC外接球的直径.

12

BC

Vp—ABC=]如,5AA=1S3BC=6,SABC=9,

又8A=AC,ZABC=9O。，SBC=；BA2=9,BA=3屈，：.AC=30x近=6，

PC=A/B42+AC2=V40，

•1.所求外接球表面积为S=4"X(g]=7TXPC2=40%.

故选：D.

【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定外接球的球心，本题是利用直角三角形的性质“直角三

角形斜边中点到三顶点的距离相等”确定的.

11.关于函数/(x)=cos|x|+卜附有下述四个结论：

6

①/(X)的图象关于y轴对称；②“X)在%可有3个零点；

③“X)的最小值为—0；④“X)在区间](，"单调递减.

其中所有正确结论的编号是。

A.①②B.①③C.①④D.③④

【答案】C

【解析】

【分析】

证明函数/(%)的奇偶性判断①；根据函数〃x)=J^sin(x+?),xe[O,句的零点以及单调性判断②④;

根据单调性、周期性以及对称性判断③.

【详解】/(一£)=005|—乂+卜讥一可=。05国+卜闷=/(幻，则函数/(X)为R上的偶函数，故①正确；

当xe[0,句时，/(x)=cosx+sinx=42sin(x+--)

/"(x)=0=>x+[=左乃，即X=A/—£,则/(%)在区间[0,句的零点只有一个，所以/(x)在[―»，]]

有2个零点，故②错误；

「八1TTTT57rJTTT1T5万

当％w[0,乃]时，X+—€——函数y=s讥x在区间上单调递增，在区间上单调递

4444224

减

即函数/(九)在区间0,7上单调递增，在区间5,%上单调递减，故④正确；

所以/(X)在[0,句的最小值为：/(乃)=0sin亨=0x—*]=—1

因为函数/(2乃+尤)=0。5|2乃+耳+卜加(2乃+X)|=英>6国+卜皿乂=/(%),所以函数/(%)的周期为2万

由对称性以及周期性可知，函数/(%)的最小值为：-1,故③错误；

故选：C

【点睛】本题主要考查了函数的零点个数、正弦型函数的单调性和周期性、在给定区间的正弦型函数的最

值，属于较难题.

12.已知函数/(x)=/—以—1,以下结论正确的个数为()

①当。=0时，函数〃无)的图象的对称中心为(0,—1)；

7

②当时，函数/a)在(—1,1)上为单调递减函数；

③若函数"X)在(—1/)上不单调，则0<。<3；

④当a=12时，/⑺在［T,5］上的最大值为15.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

逐一分析选项，①根据函数y=Y的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，

若满足条件，则极值点必在区间(-1,1)；④利用导数求函数在给定区间的最值.

【详解】①y=Y为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数/*)的图象的对称中心为

(0,-1),正确.

②由题意知/(无)=3%2一。.因为当一1<%<1时，3%2<3>

又。之3,所以广(无)<0在(-M)上恒成立，所以函数/a)在(-M)上为单调递减函数，正确.

③由题意知/'(x)=3必-a,当aW0时，/'(%)20,此时/(%)在(-<»,+8)上为增函数,不合题意，故a>0.

令/'(x)=0,解得％=±叵.因为F3在(-M)上不单调,所以(。)=0在得U)上有解,

3

需0<1?<1，解得0<。<3,正确.

3

④令/'(x)=3/—12=0,得％=±2.根据函数的单调性，Ax)在［T,5］上的最大值只可能为〃—2)或

/(5).

因为/'(—2)=15,/(5)=64,所以最大值为64,结论错误.

故选：C

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.

第n卷非选择题(90分)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线f(x)=三半士在x=0处的切线方程为.

8

【答案】2x-y-l=0

【解析】

【分析】利用导数的几何意义可求得切线斜率为左=/'（0）=2,再由直线的点斜式方程即可得出结果.

\（1+sin%）eA-（%-cos%）ev1+sinx-x+cosx

【详解】由题意可知f（x）=----------厂工----------=---------；--------,

W）e

所以切线斜率为k=/'（0）=2,又/（0）=—1,

即切线方程为y-（-l）=2（x-0）,即2x—y—1=0；

故答案为：2x-y-l=0

14.已知函数〃力=初%-85兀在口上单调递增，则7的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意，由/'（x）=m+sinxN0在R上恒成立求解.

【详解】因为函数/（x）=mx—cosx在R上单调递增，

所以/'（x）=〃z+sinx20在R上恒成立，

即m>—sinxitR上恒成立，

所以加21.

故答案为：1

15.已知奇函数无）为R上的减函数，若了（3。2）+/（2。-1）20,则实数。的取值范围是.

【答案】-1,1

【解析】

【详解】分析：由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性得到关于a的不等式求解二次不等式即可确定实

数。的取值范围.

详解：不等式/（3"）+/（2。—1）之0即：/（3«2）>-/（2a-l）,

函数为奇函数，则不等式等价于/（34）2/（—2a+1）,

函数在R上单调递减，脱去了符号有：3«2<-2«+1,

9

即：3a?+2a-1<0,(«+l)(3a-l)<0,-l<a<j,

故答案为：一•

点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数

的符号“产，转化为解不等式(组)的问题，若/"(X)为偶函数，则f(—x)=f(x)=f(|x|).

2兀

16.在二ABC中，已知角A=?-,角A的平分线四与边6c相交于点〃/氏2.则46+2然的最小值为

【答案】6+40

【解析】

【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.

【详解】AB=c,AC=b,BC=a,AD—2,

依题意A。是角A的角平分线，

IIT1IT12JT

由三角形的面积公式得一x2xcxsin—+—x2x/?xsin—=—xbcxsin—,

232323

化简得2c+2Z?=,T+~=~9

bc2

Afi+2AC=c+2Z?=2（c+2&）^1+-^=2^3+|+—

/

>23+26+472.

c2Z?

当且仅当一=」,「・&+26="JI46=2+J^,c=2jI+2时等号成立.

bc

故答案为：6+472

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生

10

都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

I—__兀

17.已知函数于(x)=sincox+V3coscox(a)>0),/(九)图像的相邻两对称轴之间的距离为5.

(1)求Q的值；

(2)若/(a)=g,求sin(K—4。)的值.

7

【答案】(1)啰=2；(2)—

9

【解析】

【分析】(1)利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和。即可.

(2)利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可.

【详解】(1)/(%)=2(^sincox+coscox)=2sin(<yx+,

71

/(九)图象的相邻两对称轴之间的距离为一，

2

T7C2乃

二.一二一,即7=»=一,得①=2.

22co

(2)QG=2,=2sin(2%+1),

f(a)=—,.,.2sin(2a+g)=g,得sin(2a+g)=§,

TT1TT

设6=2a+—，则sin夕=—,且2a=6——,

333

sin(^-4a)=sin[^-2(6-y)]=sin(^一2。+g)=sin(y-26)

TT

=-sin(--26)=-cos20

17

=-(1-2sin926»)=-l+2x-=--

18.已知，ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c.且bsinB-asinA=("?—，sin(A+3).

(1)求力的大小；

(2)过点。作CD〃84,在梯形46切中，BC=4,CD=3布,ZABC=120%求AD的长.

【答案】⑴45°

(2)V15

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化简可得人2一片=(回一c%,利用余弦定理计算即可得出结果.

11

(2)在△BCD中，由正弦定理求得4。=2指，在/ACD中，由余弦定理

AD2=AC-+CD2-2AC-CDcosZACD计算即可求得结果.

【小问1详解】

22

由正弦定理可得：b-a={yflb-c)c>即Z?2+(72—Q2—41bc，

所以cosA="十0—"-=交,又0<A<180,所以A=45。.

2bc2

【小问2详解】

BCAC

在△BCD中，由正弦定理得

sinZBACsinZABC

因为BC=4,ABAC=45°,ZABC=120°,

所以AC=2#.

ACD中，由余弦定理可得，

AD2=AC'+CD2-2ACCDcosZACD=(276)2+(3百产-2x276x3百xcos450=15所以

AD=岳.

19.已知函数/(%)=1+x-exsinx.

(1)求曲线＞=/(%)在点(0"(。))处的切线方程；

JT

(2)求函数/(%)在区间［0,-］上的最大值和最小值.

【答案】(1)y=L

jr—

(2)最大值是1,最小值是1+——e2.

2

【解析】

【分析】(1)求出函数/(X)的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.

12

(2)由⑴的信息判断函数f(x)在［0,2］上的单调性，借助单调性求解作答.

2

【小问1详解】

函数/(x)=l+x-e*sinx定义域为R,求导得：/'(x)=l-e*(sinx+cosx),

则有1(0)=0,而/(0)=1,

所以曲线y=/(尤)在点(0,7(0))处的切线方程是：y=1.

【小问2详解】

由⑴知:/,(x)=l-V2er-sin(x+-),当尤e知,时,X+］,V2sin(x+-)e［l,72］,

424444

而e'Nl，当且仅当x=0时取“="，则当x=0时，J5eLsin(x+工)有最小值1,即当xe(0,工］时,

42

/(x)<0,

因此，函数/⑴在区间［0(上单调递减，/("ax=/(。)=1，f(X)mm=/(|)=l+|-e^,

77jr—

所以函数〃无)在区间［0,—］上的最大值和最小值分别为1和1+2-e2.

22

20.如图，在三棱锥A—加。中，△3CZ)为正三角形，AB±AD,0,E分别为BD,6c的中点，且

AB=AD=AE-2-\/2-

(1)证明：AO1BC-,

(2)求平面/数与平面/2C所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵也

7

【解析】

【小问1详解】

因为AB=AD=20，AB1.AD,。为物的中点，所以A0L3。，80=4，AO=2.

13

因为△BCD是等边三角形，£为笈的中点，所以OE=」CO=2.

2

在AAOE中，AO=2,OE=2,AE=2后，

所以46）2+0^2=.2,所以A。

因为3Dc0E=0,5Du平面比2OEu平面比4

所以AO,平面8az

因为3Cu平面比所以4013c.

【小问2详解】

由（1）知40,平面比2连接。C,可得AOLOC,

因为△3CD是等边三角形，

所以OCLB。，所以的，0B,%两两垂直，分别以08，0C，。4的方向为X,y,z轴的正方向建立

如图所示的空间直角坐标系O-孙z,

则0（0,0,0）,0（—2,0,0）,C（O,2AO）,A（0,0,2）,B（2,0,0）,E（1,"OB

DC=（2,2A/3,0）,AC=（0,273,-2）,况=（0,0,2）,OE=（1,G,0）.

设平面的法向量为机=（%,y,z7

m,DC=2x+2y/3y=0,

m-AC=26y-2z=0,

取y=i,得加=卜百,1,百）.

设平面/数的法向量为〃="c）,

n-OA=2c=0,

则《贝U「二0取Z，=l,得〃=（—右,1,0）.

n-OE=a+43b=Q,

设平面与平面4?C所成锐二面角为。,

14

则3”耳=/B+i+oi=砧

mn03+1+3x:3+1+07

故平面//与平面/比■所成锐二面角的余弦值为m.

7

21.己知函数/（x）=21nx-gar2+（2-a）x,（aeR）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对于%,9W（0,+20），且药＜/，存在正实数与，使得/伍）一/（玉）=/'（七）（马一七），试判断

广（土产］与/'（5）的大小关系，并给出证明.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】⑴求得/•'（x）=_（"+l）（"x2）,分和。＞0,两种情况讨论，结合导数的符号，即可求

X一

解；

⑵根据题意，化简得到广（/）一/（月强）=/^（恒―1叫）—2,=）,*=t,转化为

1皿_2111）«〉］）,令g⑺=3一2；、1）«〉1）,利用导数求得函数g«）的单调性与最值，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，函数/（%）=2山%-；融2+（2一〃）%的定义域为（0,+2,

「“、2/、（%+1）（依一2）

且/（%）=---ax+（2-a）=-----------------

①当"00时，可得力2"）＞。，/（%）在（0,+“）上单调递增;

2

②当a>0时，令/''(x)=0,解得x=",

当xe[o,|■>寸，>0；当xe[/,+oo)寸，/((%)<0,

所以函数/（%）在上单调递增，在上单调递减.

15

【小问2详解】

解：因为函数/（X）=2lnx-^ax2+（2-〃）工

x_x

则/（2）/（i）-2（lnx2-1叫）一3〃（冗2+玉）（%2—玉）+（2—〃）（%2—，

由题设得了'（Xo）=""2）：〃xJ=2（lnx2：lnxJ_：a（x2+3+（2_a）,

JV2JVJ*^2乙

又由4号］4

+（2-a）,

%+x22

所以q4

%+%2

\27%2一百

（1叱-1叫）-2（々—石）

再+X?

f\

2三-1

令上=乙可得In强—一U—2=1皿—止。«〉1），

司XI1+%1+/

令g⑺=1小甘QI）,可得/（叱一2-—明A

2强-1

所以g（。在（1,+8）上是增函数，所以g（7）＞g（l）=O,所以In三—一U_2＞0,

西强+1

%

又因为0＜玉＜多,所以％2-%＞0,

所以/'（%）一/［詈］〉o,即/［罟］＜/'（玉））

【点睛】利用导数研究不等式问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

16

（选修4-4极坐标与参数方程）

22.以直角坐标系的原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线a的极坐标方程为

7T

夕=2cos6,倾斜角为a的直线/过点A/。，点加0的极坐标为（2,§）.

（1）求曲线C的普通方程和直线1的参数方程.

（2）若/与G交于48两点,且点8为的中点，求

%=]+/COSOL

【答案】（1）V+y2=2-{（t为参数）；

y-yj3+tsina

（2）1.

【解析】

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即得C的普通方程，求出点Al。的直角坐标，按条件写

出1的参数方程作答.

（2）将，的参数方程代入G的普通方程，再利用参数的几何意义计算作答.

【小问1详解】

»[pcosO=x,,

曲线G：p2=2pcos6>,把<,22代入得的普通方程：％2+y2=2x,

p~=x+y

因点Mo的极坐标为Q,鼻），则点加0的直角坐标是（1,6）,而直线/的倾斜角为a