陕西省铜川市2024届高三一模数学试题（理）（解析版）

陕西省铜川市2024届高三一模数学试题（理）

第I卷（选择题）

一、选择题

1,已知集合.=bA，。」,%N=W+2x-8训，则（）

A.{-2,2}B.{-2}C.{2}D,2

k答案1C

k解析》因为N={x|%2+2x—820}={x|x<—4或x»2},

所以/W={2}.故选：C.

2.已知a,beR,i2=—i则=。=1”是“（。+历/=2i”的（）

A.充分不必要条件B,充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

［答案》A

［解析》充分性：若。=。=1,贝U（a+bi）2=（l+i）2=l+2i+i2=2i；

必要性：若（a+历］=2i贝！J（a+/）-=a2+2abi+b2i2=a2—b~+2abi=2i,

a1-b1=0fa=1fa=-l

则，得<，，或，，，故不满足必要性

lab=2［b=1［Z?=-l

综上“。=人=1”是“（a+历7=2i”充分不必要条件，故选：A.

3.在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中，来

自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世

界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45。之

A.54B.54—36后

C.IO8-72V2D.81-725/2

K答案》c

K解析』如图,

转动了45°后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰

直角三角形，

设直角边X,则斜边为夜X，则有2x+0x=3,得到x=3-孚，由几何关系得：阴

279加

影部分的面积为SI=-（3-

12~4

27

所以增加的面积为S=16S]16(—108-72V2.

4

故选：C.

屋21Y

4.已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（）

1

110

A./B.一洲D.-2

（答案』A

（解析》,T9y"-20,所以2〃一20=0,则〃=10,

~2

令x=l,可得5一=源，所以展开式中的各项系数之和为

故选：A.

2+Y

5.函数/（X）=x21og4------的大致图象是（）

2-x

k解析』方法一：因为5二〉0,即(x+2>(x—2)<0,所以—2<%<2,

2+V

2

所以函数/(x)=xlog4--的定义域为(-2,2),关于原点对称，

2-x

又〃T)=(T)21og4早上=-/(X),所以函数“X)是奇函数，其图象关于原点对称,

/十X

故排除B,C；

2+YO_i_Y

当xe(O,2)时，-->1,即log,V二>0,因此/(x)>0,故排除A.

故选:D.

方法二：由方法一，知函数/(X)奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；

又/(l)=；log23>。，所以排除A.

故选：D.

2兀

6.在^ABC中，c—2Z?cosB,C--.则/B—()

3

兀兀兀兀一兀

A.—B.—C.—D.一或一

34636

K答案Xc

2兀

(解析』在一ABC中，由。=2Z?COS5及正弦定理得sinC=2sin3cos6=sin25,而。=,

3

则sin2B=sin0=走，显然Be(o,g),2Be(0,—),解得23='，所以3=]

323336

故选：C

7.过直线/：3x+4y—1=0上一点尸作圆M：/+()；—4了=1的两条切线，切点分别是

A,B,则四边形MAP8的面积最小值是（）

A.1B.72C.2D.2&

［答案》D

［解析》圆M-.必+（丁—4）2=1的圆心M（0,4）到直线/：3x+4y—1=0的距离

故的最小值是3,又因为^|AP|=^|MP|2-1>2A/2,

故..AMP的面积的最小值是S=；xlx20=0,故四边形MAPB的面积的最小值是2起.

故选：D.

8.北京时间2023年2月10日。时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费

俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载

人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级

d（x）（单位：dB）与声强x（单位：W/n?）满足关系式：d（x）=101g靛.若某人交

谈时的声强级约为60dB,且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为10%,则火

箭发射时的声强级约为（）

A.125dBB.132dBC.138dBD.

156dB

k答案》C

K解析X设人交谈时的声强为/W/m2;则火箭发射时的声强为IO小芭，且60=101g涡，

得Xi=10『

则火箭发射时的声强约为KFXi。"=1018W/m2,

将其代入d（x）=101g/产中，得〃（1018）=10炮端苏=138dB,

故火箭发射时的声强级约为138dB,

故选:C.

9.已知函数/（九）=cos（（yx+o）（0<ty<10,0<°<7i）图象一个对称中心是A

点、B0,^-在/a）的图象上，下列说法错误的是（)

2

A./（%）=cos（2x+：J

5jr

B.直线x=不是fM图象的一条对称轴

,77111兀、，一

/（九）在——上单调递减

OO

/1x+gj是奇函数

D.

K答案』B

K解析H因为点30,在F（X）的图象上，所以/（0）=COS0=.又。<夕<兀，所以

兀

am71717

因为"X）图象的一个对称中心是A（三,O）,所以等H---=----FK11,左WZ,

842

则。=2+8左，左wZ.又0VG<10,所以①二2,则/(%)=cos[2x+1],A正确.

cos3^=0,则直线x=」5不是了（无）图象一条对称轴，B不正确.

28

7兀］1_兀兀

当XE时，2x-\—£［2兀,3兀］,/（九）单调递减，C正确.

884

ffx+-^Ucosf2x+^兀j=-sin2x,是奇函数，D正确.

2

故选：B.

10.在A5c中，。是AB边上的点，满足的>=2。8,石在线段CD上（不含端点）,

且AE=xAB+yAC（x,ywR）,则三会的最小值为（

A.3+2百B.4+26C.8+4A/3D.8

（答案』B

k解析U因为。是AB边上的点，满足AD=2OB，则AD=2Z>5，

所以，CD=AD-AC=-AB-AC,

3

因为E在线段CD上(不含端点)，则存在实数丸e(0,1),使得

.一2——

CE=ACD=-AAB-AAC,

3

2—.9

所以，AE=AC+CE=AC+-AAB-AAC=-2AB+(1-A)AC,

,、x=-X3

又因为AE=xAB+yAC(x,yeR),且AB、AC不共线，贝!!'3，故jx+yul,

。=1-2

因为XG(0,1),则x=,_y=l-2e(0,l),

,,,x+2y211/C\(21)1(3x1f/3x4y'

所以—=-(3x+2y)—+—=—8+—+—>—8+2l-

孙xy2{xy)yxJ2^\yx)

=4+26,

3-石

—=—(%>0,y>0)x=--------

yx3

当且仅当《时,即当《丁时，等号成立,

3,V3-1

—x+y=1

12-y=丁

x+2y厂

故----^的最小值为4+26.

孙

故选：B.

11.古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴

长和短半轴长乘积的兀倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆。的面积为12百兀，

2

离心率为耳，R,尸2是椭圆C的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（）

①椭圆C的标准方程可以为②若则%"2=20括

③存在点A,使得N£A月=］+而［的最小值为；+专

A.①③B.②④C.②③D.①④

［答案XD

ab=1245

c2

K解析』对于①：由〈一二7，解得。=6,b=2«,c=4,

a3

a2=b2+c2

22

则椭圆C的标准方程为一+匕=1,故①正确；

3620

对于②：由定义可知1M|+|4月|=12,

由余弦定理可得:

「（|44|+|4闾）2—2|4川4阊一闺阊2

cosZF4AF2-21Ml』l.一小

2|同的|

122-29|A闾—641on

=3,整理得用

21MA囚

则—伍=g|AK||A词sin/f；A鸟=,故②错误;

2(

对于③：设4（6,。,京+—=1,52=361-£、=36-g/,

20207

片(TO),乙(4,0),斫宿=(-4-S,T).(4-S,F)=仁一16+1

94

=36——^2—16+^2=20——^2,由于一2</«2,

0<Z2<4,0<-Z2<—,—<20--r<20,

5555

JT

则不存在点A,使得/耳公6=5,故③错误;

…2112

对于④：函+函=+向M+小）

/

12|AK|官+2回士?,当且仅当明二圈,

2+-J^+1+

12的

即|人司=及|9I时,等号成立，故④正确;

故选：D.

(1、

12.已知函数/(%)=/+〃一"+以%%+%2(〃>1),则-ee,/7C71的大小关

7

系为()

(1、c(\\

A.f兀兀71■71<f-ee

7\7

(\\

C.f兀"-eeD.f-ee<fit71

\7\7\7

K答案』B

K解析H易知/(%)=优+a龙+COSX+%2(Q>1)是偶函数,

/'(X)=(〃，-a~x^kia+2x-siwc,当％>0时,

因为々>1,所以lno>0,优一。一%>0.

令夕(%)=2%-siiix,%>0,贝ij0'(x)=2-cosx>O,所以o(x)单调递增,

所以以力>Mo)=。，所以1aA0"⑺在(o,+“)上单调递增.

构造函数g(x)=U^,则g，(x)=l产

JCJC

令g'(x)>0,得o<x<e,令g'(%)<0,得%>e,所以g(x)在区间(O,e)上单调递增,

在区间(e,+8)上单调递减.又当■=等,所以g(4)<g(兀)<g(e),

~…ln2ln4In兀Ine广…_L_L1

所以一丁二——<—，所以

24Tle2万<兀兀<ee'

/j_A(\\(\\(1A

兀71</兀71<f-ee.

7\7\7

故选:B.

第n卷(非选择题)

二、填空题

13.已知有三个性质：①最小正周期为2；②/（—力+/（力=2；③无零点.写出一个同

时具有性质①②③，且定义域为R的函数/（%）=

（答案X|sin（7LX）+l（k答案』不唯一）

12兀

K解析X〃x）=—sin（口）+1的定义域为R,最小正周期为T=—=2,

2兀

/（一九）+/（尤）=gsin（-7Lx）+l+gsin（7Ex）+l=-gsin（7tx）+l+；sin（7ix）+l=2,

i3

因为一l<sin（7LX）Wl,所以耳47（九）45,所以/（X）无零点.

综上，函数/（'=不足（公）+1符合题意.

故（答案U为：；sin（7tx）+l.

14.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向，铜川市第一中学

积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动。如图所示的是该校高三（1）、

（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育

越好），则下列结论正确的是.

实线：高三（1）班的数据

虚线：高三（2）班的数据

①高三（2）班五项评价得分的极差为1.

②除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分.

③高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高.

④各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大.

（答案X①③

k解析1高三（1）班德智体美劳各项得分依次为9.5,9.5,9,9.5,9.25,

高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5,

对于①，高三（2）班极差为9.5—8.5=1,①正确；

对于②，两班的德育分相等，②错误；

,„TH-J,,,-r-9.5+9.25+9.5+9+9.5___

对于③，IWJ—(1)班的平均数为---------------------=9.35,

(2)班的平均数为十+>=9.1,故③正确；

对于④，两班的体育分相差9.5—9=0.5,而两班的劳育得分相差9.25—8.5=0.75,④错

误，

故K答案》为：①③

15.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又

称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性

最强的一部分.唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏

饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山

脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，

设将军的出发点是4(2,4),军营所在位置为8(6,2),河岸线所在直线的方程为

x+y-3=。，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则

将军在河边饮马地点的坐标为

1311

(答案H

K解析』由题可知A3在x+y—3=。的同侧,

设点B关于直线x+y—3=0的对称点为B'(a,b),

-+--3=0

22〃=1,/、

则解得/.即5'。,—3）.

b-2b=-3,

----------X（一1）=T

、a-6

将军从出发点到河边的路线所在直线即为A3',又4(2,4),

所以直线AB的方程为7无一y-10=0,

设将军在河边饮马的地点为//,

则”即为7x-y-10=0与x+y-3=。的交点,

16.A,B,C,。是球。的球面上四点，AB=AC=BC=6,球心。是AD的中点，四

面体A5CD的体积为立，则球。的表面积为.

2

k答案》8兀

K解析工由题意可知A。为球。的直径，设。到面ABC的距离为d，

所以%ABC-=~d-S==d=2，

L)—t\D\^32

则球心。到面ABC的距离为1,

设面ABC,易知”为等边，RC的外心,

所以2AH=2BH=6=2=AH=1，

sin60°

故=V2^S=4TI-A(92=871.

故［答案X为：8K.

三、解答题

13

17.从①%,出成等差数列；②%,4+1，生成等比数列；③S3=a这三个条件中

任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.

已知5”为数列｛4｝的前“项和，3s〃=4+2q(〃eN*),qN。，且________.

Cl)求数列｛%｝的通项公式；

一、1/rn、肚/:

(2)记么=,求数列也｝的前2〃+1项和汽+「

Jogsq,“为奇数

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解：(1)由3S〃=a“+2q,〃eN*，当2时，3sLi=。一］+2可，

a1,、1

两式相减得34=4一。“_1，即口=一不，所以数列｛4｝为等比数列，公比为一

an-\,2

选①，由〃1,一，出成等差数列，

4

可得〃］+%=2乂1=5，即。1-5。1=5，解得％=1,

选②，由%,4+1，。3成等比数列，得4%=(。2+1)二

(1v(1丫

即％•%,——=——%+i,解得勾=1,

\2JI2)

选③，由S3二

(2)当〃为奇数时，bn=log3an-log3——=log3—=-(n-l)log32,

\27\2y

记前2n+1项和Tln+i中的奇数项之和为T奇,

/、(n+lY2n

则。=4+&+々++^2«+1=-(0+2+4++2n)log32=-----log32

=-n(n+l)log32.

当”为偶数时，2=（一£|=一］£|，记前2〃+1项和七+1中的偶数项之和为金

则0=4+…++b2n=-出+出+出++出

4

故&+i=—〃("+l)l°g32_g

18.如图，在直三棱柱ABC-44£中，AB=A4=y/3,ABAC＞。为AG的中点•

（1）证明：AB,LBD.

（2）若点C到平面ABD的距离为石，求平面ABC与平面BCD的夹角的正弦值.

（1）证明：连接43,

因为四边形A&与5为正方形，所以

在直三棱柱ABC-441cl中，平面A\BXB±平面44£,

由得4G又平面A4143c平面4片。1=4片,

所以4G，平面又A3]U平面所以人6工人与，

又45AG=4，A5u平面ABO,4Gu平面43。，

所以ABj,平面ABO,又BDu平面4友九

所以A4LBD.

(2)解：以A为原点，AB,AC,A4所在直线分别为无，y,z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，

设AC=2a,则4（0,0,0）,3（若,0,0）,C（0,2a,0）,D（0,a,V3）,

AB=（^3,0,0j,AC=（0,2a,0）,AD=（0,a,6）.

r

设“=（%,y,z）为平面ABD的一个法向量，

n-AD-0ay+A/3Z=0「

则〈，即〈L,得％=0,令Z=〃，则y=—g,

n-AB=0y/3x=0

故”=（0,—G,a）,

|AC-n|2mlar-

由题意，—rq——/—＜3,解得Q=1,

|n|A/3+/

所以3C=（—"2,0）,CD=（0,-l,V3）.

设，=(p,q,r)为平面BCD的一个法向量,

i-BC=0—^3p+2q=0

则一，即＜

i-CD=0-q+垂＞r=0

令q=y/3,则p=2,r=l，即i=（2,11

平面ABC的一个法向量为J=(0,0,1),

设平面ABC和平面BCD的夹角为。，

i-J]=也

则cos°=w口

22+(A/3V+12X14'

所以sin6=\/l-cos26="工

4

所以平面ABC和平面BCD的夹角的正弦值为士.

4

19.概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切

比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.马尔科夫

不等式的形式如下：

设X为一个非负随机变量，其数学期望为E(X),则对任意£>0,均有

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概

率与其数学期望间的关系.当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设X的分布列为P(X=%)=R，/•=1,2,其中

p”(0,+co),Xje[0,+oo)(i=1,2,•,72)，ZPi=1，则对任意£>0，P(XN£)=

i=l

£piPi=_£xiP,《一£xiPi=——',其中符号X4表示对所有满足

Xi£

Xt>£Xi>£2&X{>£&i=\£~

Xj>£的指标i所对应的4求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

设随机变量X的期望为E(X),方差为D(X),则对任意£>0,均有

P(|X-E(X)|泊卜竽

(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立.

（2）某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名

患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药

厂的宣传内容是否真实可信.

解：（1）法一：对非负离散型随机变量［X-E（X）］2及正数占使用马尔科夫不等式，

有P（|x-E（X）|>^）=P（［X-E（x）f>片）<E［X—f（X）f=D（x）.

法二：设X的分布列为

P（X=xj=p"=1,2」,n,

其中PXe(0,+oo)(i=1,2,=1,记〃=£(X),则对任意£>0,

Z=1

D(X)

匕Z=1

（2）设在100名患者中治愈的人数为X.假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真

实的，

那么在此假设下，

X〜5（100,0.8）倒X）=100x0.8=80,D（X）=100x0.8x（1-0.8）=16.

由切比雪夫不等式，WP（X<60）<P（|x-80|>20）<=0.04.

即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04,此概率很小，

据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信.

20.已知椭圆C：W+.=1（。〉6〉0）的离心率为，，且过点g,—

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）已知过右焦点厂的直线/与。交于A,3两点，在x轴上是否存在一个定点「，使

NOPA=NOPB?若存在,求出定点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）因为，所以a=2Z?.

22

所以椭圆C的方程为市X+"京=1.

因为点［—』,一［］在椭圆C上，所以3,Z1,解得/=3,

I2）族+m=1

所以/=12.

22

所以椭圆C的标准方程为土+匕=1.

123

（2）存在定点P（4,0）,使NOP4=NO?B.理由如下:

由⑴知，°?=12—3=9,则点歹(3,0).

设在x轴上存在定点F&0）,使NO/%=NO尸5成立.

当直线/斜率为0时，直线右焦点口的直线，即x轴与。交于长轴两端点,

若NOPA=NOPB,贝卜＞26，或/＜一26

当直线/斜率不为。时，设直线/的方程为1=阳+3,4（%,%）,3（%2，%）,

\22

土+匕=1

由＜123'消去x并整理，得（4+加2）丁2+6加、一3二。，

x=my+3

6m3

则%+%=_4+加之’"'4+m2

因为NOE4=NO?B,所以原A+与B=°，

所以士+产7=°，即％(/_/)+%(%―/)=0・

七一I42-I

所以y(阳2+37)+%(叼i+37)=0，

即2阳1%+3(y+%)T(M+%)=。，

6m18m6mt6m(t-4)

--——7--——r+-——r=—,———=0恒成"，

4+m4+m4+m4+m

即对VmeR,6-(’—:)=o恒成立,则/=4,即P(4,0).

4+m-

又点P(4,0)满足条件t>26.

综上所述，故存在定点P(4,0),使NOPA=NOPB.

21.已知函数/'(x)=x—alnx-4,aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当a=l时，令/(x)=(x—2)e*—若x=/为网尤)的极大值点，证明：

0<F(x0)<1.

(1)解：函数4％)的定义域为(o,+8),ra)=i—@=二卫，

XX

①当aWO时，制x)>0,函数/(x)在(0,+。)上单调递增；

②当a>0时，由制x)>0,得x〉a,由/'(x)<0,得0(尤<a,

所以，函数)(可在(。,内)上单调递增，在(0,。)上单调递减.

综上，当aWO时，函数/(x)在(0,+。)上单调递增；当a〉0时，函数/(x)在(a,+8)上

单调递增，在(0,a)上单调递减.

(2)证明：当a=l时，/(％)=(x—2)e*—x+lnx+4,

F,(x)=(x-l)eA-l+-=(x-l)feA--

设g(x)=eX—‘，则g'(x)=eX+3，