北京市2024届高考数学模拟试题（二）（含答案）

北京市2024届高考数学模拟试题(二)

一、单选题

1.已知集合4={尤=,244},3={小>-1},则()

A.{1,2}B.{0,1,2}

C.{-2,-1,0,1,2}D.{x|-l<x<2}

2.已知复数z=i(2+i),则|z卜()

A.V3B.5C.3D.75

3.在(«-2『的展开式中，Y的系数为()

A.-10B.10C.-80D.80

4.下列函数中，在区间(0,+A)上单调递减的是()

A.〃x)=-logi尤B.f{x)=-\x-\\

2

C./(x)=2~xD.f(x)=-x2+x

TT

5.在小ABC中，"sinA=cosB"是"C=—”的()

一2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知抛物线C：V=8x的焦点为F,。是坐标原点，点M在C上.若性阳=4,则|。必=()

A.2A/5B.733C.4四D.4

7.已知等差数列｛%｝和等比数列也｝,q=4=-4,4=2,%=砌，则满足4“心”>1的数值机()

A.有且仅有1个值B.有且仅有2个值C.有且仅有3个值D.有无数多个值

8.一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工

成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为()

1

A.3B.3C.逑D.也

4338

9.已知A(LO),B(O,-1),P是曲线y=上一个动点，则BPBA的最大值是()

A.2B.20C.亚+2D.V2+1

10.设点A(l,0),动直线/：x+ay+2a-i=Q,作AAf_L/于点则点M到坐标原点。距离的最小值为()

A.1B.垃+1C.72-1D.y/3

二、填空题

11.已知向量。=(f,4),6=(lj),若a〃b，则实数7=.

12.设数列｛%｝的前〃项和5"=4"7-1,则%=；使得命题都有°川-4,>1。0”为

真命题的一个N。的值为.

13.已知圆C:/+(y-l)2=2,若点尸在圆C上，并且点P到直线y=x的距离为正，则满足条件的点P的个

2

数为.

14.已知函数/⑺=^叫酬+⑴,加加生:满足：VxeR,/^x+^=-/(x),f^x

且在「ll'Cl上单调递减，贝1；中=.

15.已知集合「=｛5，)1(*-35。)2+(3；-血。)2=4,()4,4兀｝.由集合「中所有的点组成的图形如图中阴影部分

所示，中间白色部分形如美丽的"水滴".给出下列结论:

2

c

x

D

①白色"水滴"区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1+

②在阴影部分任取一点V,则“到坐标轴的距离小于等于3；

③阴影部分的面积为包；

④阴影部分的内外边界曲线长为8兀.

其中正确的有.

三、解答题

16.在AA8C中，已知A/§c=6bcosA+asinB

⑴求B的大小；

（2）在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积.

①6=A/13,G=4②A=?,6=2W（3）c=4,Z?=A/21

17.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职

工乙微信记步数情况：

3

步数15524步数12396

85661989116820520713022118601552411845105779780487217022965512396

职工甲职工乙

(1)从3月2日至3月7日中任选一天,求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率;

(2)从3月1日至3月7日中任选两天,记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X,求X的分

布列及数学期望;

⑶下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方

图.已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名(按照从大到小排序)分别为第68和第142,

请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图(不用说明理由).

18.如图，在四棱锥尸—ABCD中，CD,平面ARI。为等边三角形，AD//BC,AD=CD=2BC=2,

平面尸交平面出。直线/,E、/分别为棱PC,P8的中点.

4

⑴求证：BCII/；

⑵求平面AEP与平面PAD所成锐二面角的余弦值；

⑶在棱PC上是否存在点G,使得。GII平面AEF?若存在，求等的值，若不存在，说明理由.

3

19.已如〃x）=e，-

⑴求曲线y=在点（0,〃0））处的切线方程;

⑵判断“X）极值点个数，并说明理由；

1Q

⑶解不等式

5

20.已知椭圆C：靛+方=1（。>6>0）的离心率为万，过椭圆右焦点厂的直线/与椭圆交于A,B两点,当直

线/与尤轴垂直时，|AB|=3.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵当直线/的斜率为H%w0）时，在X轴上是否存在一点尸（异于点尸），使X轴上任意一点到直线必与到直

线尸2的距离相等？若存在，求尸点坐标；若不存在，请说明理由.

21.设A是由机X”个实数组成的相行"列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或

该列）中所有数的符号，称为一次“操作

⑴数表A如表1所示，若经过两次"操作"，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，

请写出每次"操作"后所得的数表（写出一种方法即可）：

（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作"，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非

负整数，求擎婺a的所有可能值：

a/—I-a-a1

2—CL1-a2a—2a2

表2

⑶对由机X”个实数组成的m行„列的任意一个数表A,能否经过有限次"操作"以后，使得到的数表每行的各

6

数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由.

参考答案：

1.B

【分析】先解一元二次不等式确定集合A的元素，再由交集运算即可求解；

【详解】由解得一24X<2,又xeZ,所以&=0,1,2}.

于是Ac3={-2,-1,0,1,2}c卜卜>一1}={0,1,2}.

故选：B.

2.D

【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解.

【详解】由题意z=i（2+i）=—l+2i,则目==石.

故选：D.

3.A

【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出d的系数.

【详解】在（«-2/的展开式中，f项为C；（石y•（-2）i=-10*,

所以/的系数为-10.

故选：A

4.C

【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得.

【详解】函数在区间（。,+8）上单调递增，A不是；

2

।।I-X+1,X21

函数/。）=-卜-1=,,在（0,1］上单调递增，B不是；

函数/（x）=2-，在R上单调递减，C是；

函数/（吗=-/+彳在（0』上单调递增，D不是.

故选：C

5.B

【解析】由sinA=cos8,贝!|A+B="或A-B='和C='，贝!|A+B=四，则sinA=sin（3-8）=cosB,可得

22222

7

出答案.

【详解】若sinA=cos3,则4+8=5或=即0=、或A-B=：,

-71

所以在△A5c中，〃sinA=cos3〃是“。=5〃的不充分条件

若C=四，则A+5=巴，则sinA=sin(——B)=cosB,

222

TT

所以在△ABC中，"sinA=cos3〃是“C=5〃的必要条件.

故选：B.

【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.

6.A

【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点”的坐标，再利用两点间的距离公式求出|。河|.

【详解】设/(1,%),则4=8%,

由C：V=8x得2P=8,即舁2,贝1]|岫=无。+_|=%+2=4,解得々=2,

于是就=8x2=16,即％=±4,则M(2,±4).

所以=M+y；=V4+16=2A/5.

7.A

【分析】根据题意求公差和公比,,分情况讨论，结合数列单调性分析判断.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列也,｝的公比为4,

因为,=,=_4,%=2,a5=8b4,

f-4-1-3/7=?d=2

则L华父―解得1，

[-4+4(7=8x(—4%q=——

、2

8

令q=am-b,n=[-4+2(m-l)]

可得q=16q=-4,q=0,此时满足或>1只有机=1成立;

若加24,贝!］加一3>0,

(1)若加为奇数，则q=16(加一3)<0,不满足%>1;

(2)若加为偶数，贝|%，%+2

4(/M-3)4vm—3)4

即J+2<。，可得1=。4>。6>。8>…，即c,“>l不成立；

综上所述：满足4“心”>1的数值机有且仅有1个值，该值为1.

故选：A.

8.B

【分析】根据给定条件，结合正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的斜高及底面边心距即可计算得解.

【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形边长为6,斜高为〃=5,则底面正方形边心距为r=3,

于是正四棱锥的高为九二行二二小

,h4

所以这个容器侧面与底面的夹角正切值为-=:.

r3

【分析】根据向量数量积的坐标运算可得BP8A=x+y+l,再利用直线与圆利用数形结合即可得解.

【详解】因为y=庐，20,即d+V=l(y20),

则曲线y=71=7表示以坐标原点。为圆心，半径为1的上半圆，

设点尸(x,y),则3P=(x,y+l),3A=(1,1),

9

所以5P.5A=x+y+l,令/=%+y+l,则y=_%+.—l,

故直线y=-x+-i（斜率为-L纵截距为-1）与曲线。有公共点，如图所示:

直线4：y=-x+根过点。（―1,0）,贝Uo=i+祖，即加=—1,

n

直线4：y=-尤+"与曲线c相切，则\\1,解得〃=&或〃=一&（舍去）,

所以-lWf-140，贝1Jow拒+1，所以3P54的最大值为0+1.

故选：D.

10.C

【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以C（l,-1）为圆心，半径/-I的圆，即可得|河。|神=夜-1.

【详解】由AM，/以及％+殁+2。一1=0可得直线AM的方程为y=1）,

x+ay+2a-i=0oo

联立y=a(l)，消去a整理可得(f+e+l)』；

所以可知点M的轨迹是以C（L-1）为圆心，半径r=1的圆;

因止匕1Molmin=\CO\-r=^(1-0)2+(-1-0)2-1=72-1.

故选：C

11.±2

【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式即可求出结果.

【详解】因为向量〃=&4）,6=（1,。且〃〃人,

所以4x1=0,解得,=±2，

故答案为：±2

0,n=1

12.3X4,-2'>2'"eN3(答案不唯一，N。Z3)

【分析】根据给定的前〃项和求出通项〃〃即可，由。用-4>1。。求出〃的取值范围作答.

10

【详解】数列｛%｝的前"项和S"=4"T-1,当〃=1时，《=S[=4°-1=。,

]22

当时，an=Sn-=(4«--1)-(4"--1)=3x4«-,显然4=。不满足上式,

O,n=l*

所以4,=,neN；

3x4n-2,n>2

当〃=1时，〃2-4=3<100,不等式4+1-4>100不成立，

当〃22时，4+1—%=3x4~—3x4〃一2=9x下一？，

不等式。〃+1>100=4〃一?,而〃eN*,解得〃N4,

因此对V〃>3,〃eN*,不等式。〃+1>10。恒成立,

所以〃都有%—%>100〃为真命题的N023,取N°的一个值为3.

0,n=l

故答案为:，几£N*3

3x4〃—2,心2

13.3

【分析】设夕(外，几)，根据点尸到直线y=x的距离为弓，求得君+尤-2%%=1,再由(毛,%)在圆C上,

得到%(毛-1)=。，取得%=。或%=1,进而求得满足条件的点的个数，得到答案.

【详解】设p(x0,几)，由点P到直线y=x的距离为自，得区短=#

两边平方整理得到第+呼-2尤。%=1①

因为(〜，%)在圆C上，所以其+(%-1丫=2,即石+此一2%=1②

联立①②得%(%—1)=0,

解得%=。或%=1，

当先=0时，由①②可得x；=l,解得*=1或无。=-1,即尸(1,0)或尸(-1,0)

当为=1时，由①②可得必-2%=0,解得%=。或%=2,即尸(1,0)或尸(1,2)

综上，满足条件的点尸的个数为3.

故答案为：3.

71.1

14.2——/——兀

33

11

【分析】根据给定条件，探讨函数”X）的周期及对称中心，结合单调递减区间求解作答.

【详解】由VxeR,小+gj=-"x）,得+兀）=-/（尤+全=/（尤），因此兀是函数/（元）的一个周期,

又函数"X）在-上单调递减，则函数〃盼的周期722右-（-=）］=等,

1，3/3126

因此函数/（X）的最小正周期为兀，则。='=2,

兀

由/卜+野=-7［一d知，函数/（X）图象的一个对称中心为（*（））,

即有2x'+0=E,左EZ,而|夕|<?，于是2=0,"=—4

623

.■./小兀、、[,,7171.,_71,7171.

止匕时/(%)=—sin(2x-3),当尤£(一石,金)时，2X-—G(——,—)F

I.»_/乙»_z

正弦函数〉=持在（一封）上单调递增，于是函数/（X）在（一上单调递减,

所以。=2,。=-；.

故答案为：2;-y

15.①②④

【分析】对于①，令x=0,求出［百,3］,求出点A,B坐标即得解；对于②，利用圆的参数方程设

点，再利用绝对值三角不等式得解；对于③，利用割补法求解；对于④，求出阴影部分的内外边界曲线的各

个部分即得解.

3

【详解】对于①，由于（x-cos6）2+（y-sine）2=4,令x=0时，整理得ZsinOMy-7e［。？，

解得ye［-如［6,3］,“水滴”图形与>轴相交，最高点记为4

则点A的坐标为(0,V3)，点5(0,-D,

白色"水滴"区域(含边界)任意两点间距离的最大值为|AB|=1+B,故①正确；

cc,=2cosa+cos6

对于②，由于(x-cosO)2+(y—sind)2=4,整理得：...八,

[y=2sina+sin〃

所以Af(2cosa+cosa2sina+sin。)，所以M到坐标轴的距离为12cosa+cos9|或|2sina+sin6|,

因为cos0G[-1,1],sin0G[0,1],

所以12coscr+cos01<|2cosa|+1cos8区2+1=3,12sma+sin^|<|2sincr|+|sin^|<2+l=3,

所以V到坐标轴的距离小于等于3,故②正确；

3

对于③，由于(％-85。)2+0-5由夕)2=4,令y=0时，整理得2cos。2,2],

12

解得xe[-3,-1]3],

因为。-<：05。）2+（卜-5111。）2=4表示以。（0»。应110）为圆心，半径为厂=2的圆，

则1=一|00W|0P闫00+厂=3,

且0<6（兀，则。（《»。应110）在工轴上以及无轴上方，

故白色"水滴”的下半部分的边界为以。为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以。为圆心，半

径为3的半圆，

根据对称可知：白色"水滴"在第一象限的边界是以以M（T,O）为圆心，半径为2的圆弧，

设N（1,O）,贝U|A7V|=|AM|=|W|=2,即AN所对的圆心角为:，

JT

同理府所在圆的半径为2,所对的圆心角为三，

阴影部分在第四象限的外边界为以N（1,O）为圆心，半径为2的圆弧，

设G（3,0）,H（—3,0）,可得|ON|=l,|O£>|=^,NON£>=g,DG所对的圆心角为g，

27r

同理08所在圆的半径为2,所对的圆心角为

故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，

所以它的面积是S=S半圆+2S弓形+SV=：XTIX12+2X[4-6]+:X2X#=^-8

213J20

1Q

X轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为:兀X32=£%

第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，

且等于兀x22+—x^3xl=—71+^-,

3232

所以阴影部分的面积为京+2++#）-*+百='+25故③错误；

对于④，x轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为:x27ix3+1x2x2=37i+g兀=£兀,

13

X轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为gx27rxl+(gx2兀x2-g7ix2)x2=m7i,

所以阴影部分的内外边界曲线长为手+手=8兀，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法求不

规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标.

,、兀

16.⑴H

⑵答案不唯一，具体见解析

【分析】(1)利用正弦定理将边变角，然后整理化简可得8的大小；

(2)利用正弦余弦定理求出三角形其他边角，再利用面积公式求出面积.

【详解】(1),=V3Z?cosA+asinB

由正弦定理得石sinC=^3sinBcosA+sinAsinB

6sinBcosA+sinAsinB=\/3sin(A+B)=^3sinAcosB+V3sinBcosA

sinAsinB=^3sinAcosBf.sinAwO

/.sinB=^3cosB,即tan5=

TT

又b<B<7T,B=—•

(2)选①：b1=(^+C1—laccosB

13=16+c2-2x4xcxcos—

3

.•.c=l或。=3,所以△A3C不唯一存在

所以①不能选;

a_2^3

ab

选②:即.TT.71

sinAsinBsin—sin—

43

a-2\/2

<A=7-4

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=x—+x+

v722224

:.S=-absinC=-x2s/2x2^x^^=3+y/3

224

14

选③"=/+。2—2〃ccosB

冗

即21=4+16-2x4x4xcos]

，。=5或。=一1(舍)

/.S=-ticsinB=—x5x4xsin—=.

223

17.(1)1

Q

⑵分布列见解析，E(X)=,

(3)3月3日

【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.

C214C22

（2）根据题意得到X=0,1,2,P（X=0）=清=干尸（X=l）=章=,P（X=2）=蕾=],再写出分布

列数学期望即可.

（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.

【详解】（1）令时间A为"职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000",

从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，

甲乙微信记步数都不低于10000,

31

故P（A）=q=]・

（2）由（1）知：X=0,1,2,

尸"=。）=制，/（X=l）=警=3尸（X=2）噌4

X的分布列为:

X012

£42

P

777

147R

E（X）=0x"+lx：+2x：=,3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在[20,25],[15,20）,[10,15）,[5,10）,

[0,5）（单位：千步）区间内的人数依次为200*0.15=30人，200x0.25=50人，

200x0.3=60人，200x0.2=40人，200x0.1=20人,

由甲微信记步数排名第68,可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间,

15

根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.

由乙微信记步数排名第142,可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间,

根据折线图知：只有3月3日和3月6日，

所以3月3日符合要求.

18.⑴证明见详解

（2）姮

17

⑶存在，蓝=1

【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；

（2）根据题意可在。尸，平面ABCZ）,建系，利用空间向量求面面夹角；

（3）设PG=2PC，求点G的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算.

【详解】（1）因为A£>〃3C,A£>u平面MD,平面上4D,

所以〃平面PAD,

又因为BCu平面PBC,平面「平面加D=直线/,

所以8cliI.

（2）取AD的中点O,连接。尸,。8,

由题意可得：BC//OD,且3c=6©,

则OBCD为平行四边形，可得OB〃CD,

且CD_L平面E4D,则O3_L平面

由OPu平面B4。，则QP_LOB,

又因为为等边三角形，则。为的中点，可得OPLAD,

OBAD=O,。3,/1。<=平面?15。。，则OPJ.平面A3CO,

如图，以。为坐标原点，OA,OB,OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则4（1,0,0）,2（0,2,0）（（-1,2,0）,。（-1,0,0）,尸（0,0,右）,£，尸

可得AE=l,o1

3,乖）八

n•AE=——XH----Z=0

设平面AEF的法向量〃二（%,y,z）,则＜22

n-EF==0

16

令x=2,则y=—1,z=2V§\即〃=,

由题意可知：平面以。的法向量根二（04,0）,

n-m-1

可得cos〃，机=

|n|-|m|717xl17

所以平面用与平面外。所成锐二面角的余弦值*

设尸G=4尸C，G(a,b,c),则PG=(a,b,c—6),

a——/Ia=—A

可得<0=24,解得<b=2/l,

c—A/3=—^3Ac=y(3(1—

即G(-2,22,6(1-2)),可得DG=(1-2,22,6(1-2)),

若。GII平面AER则“LOG，

4

nT^7t-DG=2(l-/l)-22+6(l-A)=0,解得％=1，

PG4

所以存在点G,使得。GII平面AER此时正=1.

19.(l).x-y+l=0；

⑵函数极值点个数为2,理由见解析；

1a

⑶不等式的解集为(-1,+8).

【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程；

（2）利用导数判断函数尸（力的单调性，结合零点存在性定理求零点，并判断其两侧的导数值的正负，由此

确定函数/'（X）的极值点的个数；

17

(3)根据函数〃尤)的单调性，极值及-鼻i确3定不等式的1解3集.

【详解】(1)函数〃x)=e-：x2的定义域为R,导函数r(x)=e-3x,

所以〃0)=1,r(0)=1-

所以曲线y=/(x)在点(0,〃0))处的切线斜率为1,

所以曲线y=〃x)在点(0,〃0))处的切线方程为x-y+l=0.

(2)设g(x)=e“—3x,则g(x)=e*-3,

令g'(x)=0,可得x=ln3,又g'(x)=眇-3为R上的增函数,

当x<ln3时，g'(x)<0,函数g(x)=e*-3x在(-oo,ln3)上单调递减，

当x>ln3时，g'(x)>0,函数g(x)=e*-3x在(ln3,4<o)上单调递增，

Xg(ln3)=eln3-31n3=3-31n3<0,g(0)=e°-0=1>0,g(2)=e2-6>0,

所以存在石©(。，地),々e(ln3,2)使得8(%)=8(七)=0,

当尤<玉时，g(x)>0,即用x)>0,函数/(无)在(T»,菁)上单调递增，

当不<x<%时，g(x)<0,gp/(x)<0,函数f(x)在(再,％)上单调递减,

当x>三时，g(x)>0,即/心)>0,函数f(x)在(孙+⑹上单调递增，

所以x=玉为函数的极大值点，元=尤2为函数/(元)的极小值点，

所以函数/(无)有两个极值点；

1Q

⑶因为函数“X)在(F,引上单调递增，不«0/113),/(-1)=--|,

1Q

所以当XV匹时，不等式的解为-1<尤V%,

因为函数/'(X)在(王，龙2)上单调递减，在［x2，+°°)上单调递增，

所以函数/(尤)在(占,内)上的最小值为〃*2),

因为ae(ln3,2),g(苞)=e%—3叫=0,

18

iQ

所以当X＞不时，不等式的解为x＞为，

1Q

所以不等式“力＞E-1的解集为（-1,a）.

20.（1）—+^-=1

43

⑵存在，P（4,0）

【分析】（1）根据题意列式求解“涉，。，即可得结果;

（2）根据题意分析可得x轴为直线R1与直线网的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解.

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c＞0,

a2=b2+c2cc

a-2

由题意可得一=3,解得b=&,

a_

c1

e=—

、a2

22

所以椭圆c的标准方程为—+^=1.

43

（2）由（1）可得：F（l,0）,

根据题意可设直线/：y=Mx-1）,4（%,必）,3（程力）,尸（加,0）（加工1）,

y=左(％-1)

联立方程<冗2y2,消去〉得(4左2+3)X2—8左2%+4左2—12=。,

----1------1

[43

则A=646-4（4左2+3）（4左z一12）=144（公+1）＞0,

把,8左24左212不

1-4^+3124/+3J

由题意可知无轴为直线朋与直线尸8的对称轴，则kPA+kPB=+一^=0,

xx—mx2—m

可得以上5+必31=。，

x1—mx2—m

因为左W0,可得(5-l)(x2-m)+(jq-m)(x2-1)=0,

2-(

整理得2石％m+1)(玉+x2)+2m=0,②

7"郎*2…,解得…

将①代入②得：-

19

所以存在点P,使无轴上任意一点到直线用与到直线P8的距离相等，此时打4,0）.

【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略

（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在.

（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；

②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况.

21.⑴答案见解析;

(2)〃=0或a=—1

⑶证明见解析.

【分析】（1）根据题中一次"操作〃的含义，将原数表改变第4歹U,再改变第2行即可；或者改变第2