江西省“山江湖”协作体2025届高一下数学期末检测试题含解析

江西省“山江湖”协作体2025届高一下数学期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0 B．C．2 D．2．已知三条相交于一点的线段两两垂直且在同一平面内，在平面外、平面于，则垂足是的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心3．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件，则的对立事件是（）A．至多有一件次品 B．两件全是正品 C．两件全是次品 D．至多有一件正品4．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是（）A．恰有一次击中 B．三次都没击中C．三次都击中 D．至多击中一次5．若直线上存在点满足则实数的最大值为A． B． C． D．6．已知函数的图象如图所示，则的解析式为（）A． B．C． D．7．在正方体中，E，F，G，H分别是，，，的中点，K是底面ABCD上的动点，且平面EFG，则HK与平面ABCD所成角的正弦值的最小值是（）A． B． C． D．8．已知函数是奇函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．10．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则取最大值时，的值为（）A． B． C． D．或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如果奇函数f（x）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①减函数且最小值是-5；②减函数且最大值是-5；③增函数且最小值是-5；④增函数且最大值是-512．设函数，则的值为__________．13．函数的最小正周期___________.14．若，且，则的最小值为_______.15．在中，，则_____________16．正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足.(1)求证：三点共线；(2)已知的最小值为，求实数的值.18．某购物中心举行抽奖活动，顾客从装有编号分别为0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出1个球，记下编号后放回，连续取两次（假设取到任何一个小球的可能性相同）.若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于4，则中二等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于3，则中三等奖；其它情况不中奖.（Ⅰ）求顾客中三等奖的概率；（Ⅱ）求顾客未中奖的概率.19．若，解关于的不等式.20．在凸四边形中，．（1）若，，，求的大小．（2）若，且，求四边形的面积．21．已知四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，，，，，E为DC中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的高．（注：棱台的两底面相似）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由题得z=x2+4y2-3xy≥4xy-3xy=xy(x,y,z>0),即z≥xy,≥1.当且仅当x=2y时等号成立,则x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.当y=1时,x+2y-z有最大值2.故选C.2、D【解析】

根据题意，结合线线垂直推证线面垂直，以及根据线面垂直推证线线垂直，即可求解。【详解】连接BH，延长BH与AC相交于E，连接AH，延长AH交BC于D，作图如下：因为，故平面PBC，又平面PBC，故；因为平面ABC，平面ABC，故；又平面PAH，平面PAH故平面PAH，又平面PAH，故，即；同理可得：，又BE与AD交于点H，故H点为的垂心.故选：D.【点睛】本题考查线线垂直与线面垂直之间的相互转化，属综合中档题.3、B【解析】

根据对立事件的概念，选出正确选项.【详解】从四件正品、两件次品中随机取出两件，“至少有一件次品”的对立事件为两件全是正品.故选：B【点睛】本小题主要考查对立事件的理解，属于基础题.4、D【解析】

根据判断的原则：“至少有个”的对立是“至多有个”.【详解】根据判断的原则：“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”，故选D.【点睛】至多至少的对立事件问题，可以采用集合的补集思想进行转化.如“至少有个”则对应“”，其补集应为“”.5、B【解析】

首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m的最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由，得：，即C点坐标为（－1，－2），平移直线x＝m，移到C点或C点的左边时，直线上存在点在平面区域内，所以，m≤－1，即实数的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.6、D【解析】

由函数图象求出，由周期求出，由五点发作图求出的值，即可求出函数的解析式.【详解】解：根据函数的图象，可得，，所以.再根据五点法作图可得，所以，故.故选：D.【点睛】本题主要考查由函数的部分图像求解析式，属于基础题.7、A【解析】

根据题意取的中点，可得平面平面，从而可得K在上移动，平面，即可HK与平面ABCD所成角中最小的为【详解】如图，取的中点，连接，由E，F，G，H分别是，，，的中点，所以，，且，则平面平面，若K是底面ABCD上的动点，且平面EFG，则K在上移动，由正方体的性质可知平面，所以HK与平面ABCD所成角中最小的为，不妨设正方体的边长为，在中，.故选：A【点睛】本题考查了求线面角，同时考查了面面平行的判定定理，解题的关键是找出线面角，属于基础题.8、C【解析】

由题意首先求得m的值，然后结合函数的性质求解不等式即可.【详解】函数为奇函数，则恒成立，即恒成立，整理可得：，据此可得：，即恒成立，据此可得：.函数的解析式为：，，当且仅当时等号成立，故奇函数是定义域内的单调递增函数，不等式即，据此有：，由函数的单调性可得：，求解不等式可得的取值范围是.本题选择C选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．9、A【解析】

由余弦定理可直接求出边的长.【详解】由余弦定理可得，，所以.故选A.【点睛】本题考查了余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题.10、D【解析】

利用等比数列的性质求出、的值，可求出和的值，利用等比数列的通项公式可求出，由此得出，并求出数列的前项和，然后求出，利用二次函数的性质求出当取最大值时对应的值.【详解】由题意可知，由等比数列的性质可得，解得，所以，解得，，，则数列为等差数列，，，，因此，当或时，取最大值，故选：D.【点睛】本题考查等比数列的性质，同时也考查了等差数列求和以及等差数列前项和的最值，在求解时将问题转化为二次函数的最值求解，考查方程与函数思想的应用，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、④【解析】

由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果．【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为1，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣1．故答案为：④．【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．12、【解析】

根据反正切函数的值域，结合条件得出的值.【详解】，且，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.13、【解析】

利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期.【详解】依题意，故函数的周期.故填：.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.14、【解析】

将变换为，展开利用均值不等式得到答案.【详解】若，且，则时等号成立.故答案为【点睛】本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键.15、【解析】

先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值．【详解】由，结合正弦定理可得，故设，，()，由余弦定理可得，故.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题．16、【解析】

由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明过程见解析；（2）【解析】试题分析：（1）只需证得即可。（2）由题意可求得的解析式，利用换元法转换成，讨论的单调性，可知其在上为单调减函数，得可解得的值。（1）证明：三点共线.（2），，令，其对称轴方程为在上是减函数，。点睛：证明三点共线的方法有两种：一、求出其中两点所在直线方程，验证第三点满足直线方程即可；二、任取两点构造两个向量，证明两向量共线即可。在考试中经常采用第二种方法，便于计算。证明四点共线一般采用第一种方法。18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用列举法列出所有可能,设事件为“顾客中三等奖”,的事件.由古典概型概率计算公式即可求解.（Ⅱ）先分别求得中一等奖、二等奖和三等奖的概率,根据对立事件的概率性质即可求得未中奖的概率.【详解】（Ⅰ）所有基本事件包括共16个设事件为“顾客中三等奖”,事件包含基本事件共4个,所以.（Ⅱ）由题意,中一等奖时“两个小球号码相加之和等于5”,这一事件包括基本事件共2个中二等奖时,“两个小球号码相加之和等于4”,这一事件包括基本事件共3个由（Ⅰ）可知中三等奖的概率为设事件为“顾客未中奖”则由对立事件概率的性质可得所以未中奖的概率为.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,对立事件概率性质的应用,属于基础题.19、当0<a<1时，原不等式的解集为，当a<0时，原不等式的解集为；当a=0时，原不等式的解集为⌀.【解析】

试题分析：（1），利用，可得，分三种情况对讨论的范围：0<a<1，a<0，a=0，分别求得相应情况下的解集即可.试题解析：不等式>1可化为>0.因为a<1，所以a-1<0，故原不等式可化为<0.故当0<a<1时，原不等式的解集为，当a<0时，原不等式的解集为，当a=0时，原不等式的解集为⌀.20、(1)；(2)【解析】

（1）在中利用余弦定理可求得，从而可知，求得；在中利用正弦定理求得结果；（2）在中利用余弦定理和可表示出；在中利用余弦定理可得，从而构造出关于的方程，结合和为锐角可求得；根据化简求值可得到结果.【详解】（1）连接在中，，，由余弦定理得：，则在中，由正弦定理得：，解得：（2）连接在中，由余弦定理得：又在中，由余弦定理得：，即又为锐角，则四边形面积：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用；关键是能够利用余弦定理构造出关于角的正余弦值的方程，结合同角三角函数的平方关系构造方程可求得三角函数值；易错点是忽略角的范围，造成求解错误.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】

（1）连结，可证四边形为平行四边形，故可证平面；（2）连结BD，在中运用余弦定理可得：，利用勾股定理和线面垂直的性质，可得平面，因此可证；（3）根据题意，不难求，再利用即可求三棱锥的高．【详解】（